Superficies Regulares - Geometria Diferencial I Cruzeiro do Sul Virtual

Geometria Diferencial I Cruzeiro do Sul Virtual Educação a distância Responsável pelo Conteúdo Profª Dra Ana Lucia Nogueira Junqueira Revisão Textual Profª Dra Selma Aparecida Cesarin Superfícies Regulares Superfícies Regulares Estudar superfícies regulares suas parametrizações propriedades e aplicações Estudar e saber expressar o plano tangente a uma superfície em um ponto Estender as noções de diferenciabilidade do Cálculo Diferencial para superfícies OBJETIVOS DE APRENDIZADO Introdução Superfícies Regulares Plano Tangente e Diferenciabilidade em Superfícies Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional siga algumas recomendações básicas Determine um horário fixo para estudar Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias Isso amplia a aprendizagem Aproveite as indicações de Material Complementar Conserve seu material e local de estudos sempre organizados Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Seja original Nunca plagie trabalhos Não se esqueça de se alimentar e de se manter hidratado Assim Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina Por exemplo você poderá determinar um dia e horário fixos como seu momento do estudo Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo No material de cada Unidade há leituras indicadas e entre elas artigos científicos livros vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade Além disso você também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar que ampliarão sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados Após o contato com o conteúdo proposto participe dos debates mediados em fóruns de discussão pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento além de propiciar o contato com seus colegas e tutores o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de aprendizagem Proposição 4 Se f U R² R é uma função diferenciável em um conjunto aberto U então o gráfico de f o subconjunto do R³ u v fu v u v U é uma superfície regular Demonstração Seja X u v u v fu v vamos mostrar que essa aplicação X U R² R³ é uma parametrização do gráfico de f cuja vizinhança coordenada cobre todos os pontos do gráfico A parametrização X u v assim definida tem todas as suas componentes diferenciáveis Logo a condição i é satisfeita Além disso cada ponto x y z do gráfico é a imagem por X de um único ponto q x y U logo X é bijetiva E como X¹ é a restrição ao gráfico de f da projeção do R³ sobre o plano XY que é contínua Então X¹ é contínua Assim a condição ii é satisfeita A condição iii também é satisfeita pois a matriz jacobiana de X é dada por Jx u v 1 0 0 1 fu fv que tem posto 2 para todo u v U Portanto o gráfico de f é uma superfície regular Proposição 5 Dada uma função f V R³ R diferenciável e a fV um valor regular de f então a imagem inversa f¹ a é uma superfície regular Demonstração Seja p um ponto de f¹a x y z R³ fx y z a Como a é um valor regular de f temos que pelo menos uma das derivadas parciais é não nula Vamos supor sem perda de generalidades que fz p 0 Vamos definir a aplicação Φ V R³ R³ tal que Φx y z x y fx y z A diferencial de Φ em p é dada por dΦp 1 0 0 0 1 0 fxp fyp fzp E detdΦp fzp 0 Então pelo Teorema da Função Inversa existem abertos W₁ V e W₂ ΦV contendo p e Φp respectivamente tal que Φ W₁ W₂ é inversível e a inversa Φ¹ W₂ W₁ é diferenciável As funções coordenadas de Φ¹ são diferenciáveis e dadas por xu v t yu v t zu v t UNIDADE Superfícies Regulares Introdução Os estudos de Geometria Diferencial começaram no início do século XVIII com a aplicação do cálculo diferencial e integral à Geometria Analítica Trabalhos relevantes se sucederam segundo Gorodski 2009 como o de Augustin Louis Cauchy 17891857 que ao lecionar cálculo infinitesimal na Escola Politécnica de Paris revolucionou a maneira de apresentar esse assunto no livrotexto Curso de Análise de 1821 e logo depois com a publicação em 1826 Lições sobre a aplica ção do cálculo infinitesimal à Geometria em particular refinando os trabalhos de Monge sobre curvatura e torção de uma curva espacial que depois conduziram às hoje conhecidas como fórmulas de FrenetSerret Ao final do século XIX os fundamentos da teoria de superfícies já estavam bem esta belecidos Parte representativa desse estudo trata da Geometria Diferencial de superfícies no qual algumas propriedades das curvas aparecem de maneira natural Nesse aspecto vale destacar a diferença entre a teoria das curvas e a teoria das su perfícies Para uma curva notadamente regular existe sempre uma parametrização ou seja uma curva pode ser descrita por sua parametrização sendo a parametrização por comprimento de arco a mais utilizada sob o ponto de vista geométrico Já para superfí cies não existe tal tipo de parametrização e na maior parte das vezes sequer é possível encontrar uma parametrização que descreva a superfície como um todo Por exemplo na superfície esférica para qualquer escolha de um par de parâmetros sempre existirá pelo menos um ponto que não poderá ser descrito por essa parametrização Mesmo sob o ponto de vista geográfico a latitude e a longitude usuais falham nos polos Claro que vetores Tangente e Normal também são definidos para uma superfície mas a relação entre eles é muito mais complexa do que no caso de curvas no espaço pois em um dado ponto de uma superfície existe um círculo completo Superfícies Regulares Curvas e superfícies são objetos que qualquer pessoa pode perceber pela visão ou pelo tato e muitas das questões que podem ser levantadas sobre esses objetos pare cem naturais A Geometria Diferencial preocupase com a formulação matemática de algumas dessas questões e usando as técnicas do cálculo diferencial procura encontrar respostas para elas A noção de superfície parece intuitiva e todos nós aceitamos que o plano é a superfície mais simples de todas Talvez para continuar nessa ideia um bom modo de construir modelos de outras superfícies é por colagem de pequenos pedaços de papel ao longo da superfície casca externa de um corpo sólido A definição de superfície é a elaboração matemática dessa ideia 8 9 Definição 1 Um subconjunto 3 S dizse uma superfície regular se para cada p S existir uma vizinhança aberta 3 V de p um aberto 2 U e uma bijeção Φ U V S satisfazendo as seguintes propriedades i Φ é de classe C ii Φ é um homeomorfismo iii se para qualquer q U a matriz jacobiana JΦ q tem característica posto 2 Uma aplicação Φ com essas propriedades dizse uma parametrização ou sistema local carta ou mapa de S Cada ponto p S pertence a pelo uma dessas parametri zações de S Um homeomorfismo topologicamente se assemelha à noção de igualdade Dizse que uma aplicação entre dois espaços topológicos é um homeomorfismo se for contínua injetora e sua inversa for contínua Se o homeomorfismo for bijetor chamado difeomorfismo dizemos que isso equivale aos isomorfismos em espaços topológicos A grosso modo homeomorfismos preservam a distância Os pontos de U são denotados por u v de modo que u e v são os parâmetros locais de S e com Φu e Φv as derivadas parciais de Φ Esses vetores representam as velocidades das curvas coordenadas que são as curvas obtidas fixandose um dos parâ metros e variando o outro Além disso as colunas da matriz JΦ u v são precisamente Φu e Φv de modo que por iii como o posto dessa matriz é 2 então Φu e Φv são linearmente independentes Observações Um subconjunto de S é aberto se for da forma V S com V aberto de 3 Dessa forma qualquer ponto de S tem uma vizinhança aberta em S homeomorfa a um disco e que pode se tomar tão pequena quanto se queira A aplicação X u v x u v y u v z u v é diferenciável de classe C quando as funções coordenadas x y z têm derivadas parciais de todas as ordens contínuas A condição iii da definição vai garantir a existência do plano tangente em cada ponto da superfície Veja uma forma equivalente de expressar essa condição sejam 1 2 e e a base canônica do 2 e 1 2 3 e e e a base canônica do 3 Para cada 0 0 q u v U temos que a matriz associada q dX nas bases canônicas é a matriz jacobiana 0 0 0 0 0 0 0 u o v o o u o v o u o v o x u v x u v J u v y u v y u v z u v z u v 1 0 0 0 q u o u o u o dX e x u v y u v z u v 2 0 0 0 q v o v o v o dX e x u v y u v z u v 9 UNIDADE Superfícies Regulares Denotando esses dois vetores por 0 0 u o v o X u v X u v podemos concluir que são equivalentes q dX é injetora a matriz 0 J u vo tem posto 2 os vetores 0 0 u o v o X u v X u v são L I 0 0 0 u o v o X u v X u v Além disso vale ressaltar ainda pontos importantes da definição de superfície regular a saber A condição de diferenciabilidade em i é indispensável por se tratar de Geometria Diferencial em S A condição ii exige que a aplicação X seja um homeomorfismo portanto sua injetividade descarta autointersecções na superfície S Se 2 3 X U é uma superfície parametrizada então fixado um ponto 0 0 u v U as curvas 0 u X u v e 0 v X u v são chamadas curvas coorde nadas de X em 0 0 u v e os vetores 0 0 u o v o X u v X u v são vetores tangentes às curvas coordenadas Confira na Figura a seguir Figura 1 Representação de vetores tangentes à superfície em 0 0 X u v Fonte Adaptada de TENENBLAT 2008 p 111 Na Figura 1 podese ver à esquerda uma vizinhança na forma de um disco no espaço euclidiano 2 centrado no ponto 0 0 u v sendo levado pela aplicação X nos vetores 0 0 u o v o X u v X u v tangentes às curvas coordenadas representadas numa parte da superfície S do 3 Observe que os vetores tangentes são linearmente indepen dentes e vão gerar o plano tangente à superfície no ponto 0 0 X u v Uma equação paramétrica de um plano tangente à superfície S em um ponto 0 0 0 op x y z é dada por 0 0 0 u v x y z p rX p sX p com r s O plano fica bem definido pela junção de um de seus pontos a dois vetores linearmente indepen dentes E a escolha de uma parametrização X determina uma base u v X p X p para o plano tangente chamada base coordenada a X 10 11 Exemplo 1 Qualquer plano π do 3 é uma superfície Seja 0 0 0 0 p x y z um ponto do 3 1 2 3 a a a a 1 2 3 b b b b vetores linearmente independentes de 3 Seja a aplicação 2 3 X tal que para cada 2 u v associa 0 X u v p au bv Assim temos 0 1 1 0 2 2 0 3 3 X u v x ua vb y ua vb z ua vb Logo X é uma superfície parametrizada regular pois X é diferenciável e os vetores Xu a e Xv b são L I Essa aplicação X descreve um plano no 3 que passa por 0p ortogonal ao vetor a b tendo por curvas coordenadas retas do plano paralelas aos vetores a e b respectivamente Além disso nesse caso o plano π é todo coberto por uma só parametrização dita global Exemplo 2 A reunião 1 2 S π π de dois planos não paralelos não é uma superfície vez que os pontos de 1 2 π π não têm em S nenhuma vizinhança homeomorfa a um disco lembrar que 1 2 π π determina uma reta do 3 Exemplo 3 Uma parametrização da esfera 2 2 2 2 1 S x y z x y z que cobre o hemisfério norte é 2 2 1 Φ u v u v u v definida no disco 2 2 1 u v u v Com mais algumas parametrizações análogas conseguimos cobrir toda a esfera o que mostra que ela é uma superfície Quantas parametrizações do tipo do Exemplo 3 são necessárias para cobrir toda a esfera Exemplo 4 Outra parametrização para a esfera pode ser obtida utilizando coordenadas esféri cas Considere uma esfera com centro na origem 000 e raio 0 r Seja a aplicação 2 3 X U sendo U um aberto definido por 2 0 0 U u v u e v π π e a aplicação assim definida cos X u v rsen v u rsen v sen u rcos v 11 UNIDADE Superfícies Regulares Essa aplicação é diferenciável e os vetores cos 0 Xu rsen v sen u rsen v u cos Xv rcos v u rcos v sen u rsen v são linearmente independentes para todo u v U Basta recordar que 2 0 u v X X r sen v 2 0 u v X X r sen v já que 0 v π A imagem de X é a esfera centrada na origem de raio r menos os dois polos As curvas coordenadas nesse caso são os meridianos e os paralelos da esfera Exemplo 5 Se 2 f U for uma função diferenciável definida num aberto do 2 seu gráfico 3 u v f u v u v U é uma superfície que admite uma parametrização global Φ u v u v f u v u v U A diferenciabilidade de f decorre do fato de as funções coordenadas serem diferenciáveis Observe ainda que a matriz jacobiana 1 0 0 1 u v J f f tem posto 2 para todo u v Î U Exemplo 6 Seguindo a ideia utilizada no exemplo 5 seja a aplicação 2 2 2 2 2 u v f u v u v u v a b com a b constantes não nulas A aplicação f é uma superfície parametrizada regular cujo traço é o paraboloide hiperbólico 2 2 2 2 x y S x y z z a b Vimos nos Exemplos 3 e 4 duas parametrizações distintas da esfera Na verdade duas superfícies parametrizadas podem ter o mesmo traço Por exemplo as superfícies 2 4 X u v u v u v uv u v 2 2 Y u v u u u v têm o mesmo traço 3 2 2 S x y z z x y que é um paraboloide hiperbólico como o do exemplo 6 com 1 a b Portanto dada uma superfície parametrizada regular X podemos obter várias superfícies parametrizadas com o mesmo traço que X da forma apresentada a seguir 12 13 Proposição 1 Seja 2 3 X U uma superfície parametrizada regular Seja 2 h U U uma aplicação diferenciável cujo determinante da matriz jacobiana não se anula e h U U então Y X h é uma superfície parametrizada regular que tem o mesmo traço que X Demonstração A aplicação Y por ser composta de funções diferenciáveis é diferenciável Além disso temos X u v x u v y u v z u v h u v u u v v u v Queremos verificar que Y u v X h u v satisfaz a condição 0 u v Y Y Observe que u u v u v Y X X u u e v u v u v Y X X v v Portanto det u v u v u v h u v u v Y Y X X X X J u v u v v u Como 0 u v X X e o determinante da matriz jacobiana de h não se anula concluí mos que 0 u v Y Y A aplicação Y é denominada reparametrização de X por h e h é a mudança de parâmetros Convém ressaltar que o traço de uma superfície parametrizada regular X u v pode admitir autointersecção isto é podem existir dois pontos distintos 0 0 1 1 u v u v tal que 0 0 1 1 X u v X u v Por exemplo em uma superfície de rotação dada por X u v f u cosv f u senv g u u I v temos que 0 2 X u X u u I A exemplo de como funciona para curvas parametrizadas temos uma propriedade análoga para superfícies Proposição 2 Seja 2 3 X U uma superfície parametrizada regular Para todo 0 0 u v U existe um aberto U U tal que 0 0 u v U e a aplicação X restrita à U é injetiva A superfície Xu v rsenvcosu rsenvsenu rcosv r 0 sendo 2 0 U u v u e v π 2 0 U u v u e v π não é uma aplicação injetora Entretanto X será injetora se restrita a um domínio 0 U I π com I sendo um intervalo aberto de de comprimento menor ou igual a 2π Nesse caso o traço de X é a esfera menos um meridiano 13 UNIDADE Superfícies Regulares Na definição de uma superfície parametrizada X u v exigimos que a matriz jaco biana de X JX u v tenha posto 2 para todo u v do domínio de X Caso para algum 0 0 u v U a matriz jacobiana 0 0 JX u v não tenha posto 2 dizemos que 0 0 u v é um ponto singular de X Se ainda ocorrer que JX u v tenha posto 1 para todo u v U então X representa uma curva no 3 por exemplo 2 3 X u v u v u v u v Podem aparecer pontos singulares pela escolha da parametrização X ou pela natureza da superfície Um exemplo disso é o da esfera descrita no exemplo 4 considerando u e 0 v π já que u0 e u π seriam pontos singulares de X No entanto não há diferença entre o polo norte e o polo sul ou qualquer outro ponto da esfera O traço da aplicação X do Exemplo 4 exclui o polo norte Proposição 3 Sejam 3 S uma superfície regular e p S Então existe um aberto V em S com p V tal que V é o gráfico de uma função diferenciável que tem uma das seguintes formas z f x y y g x z x h y z Demonstração Seja 3 S uma superfície regular e p S Então um dos jacobianos x y y z x z q q q u v u v u v é diferente de zero sendo X q p Suponha que 0 x y q u v e considere a aplicação diferenciável dada por 2 X U π tal que X u v x u v y u v λ Como 0 x y q u v temos que 2 2 dq X π é um isomorfismo Pelo Teorema da Função Inversa veja ilustração na Figura 2 existem abertos 1 V U e 2 2 V com 1 q V e 2 X q V π tais que 1 2 X V V π é um difeomorfismo de classe C Figura 2 Representação do Teorema da Função Inversa Fonte Adaptada de DELGADO FRENSEL s d p 96 14 15 Observe que na Figura 2 partimos do plano cartesiano à esquerda da Figura de um aberto 1 V do ponto q contido no aberto U sendo levado para o espaço euclidiano do 3 à direita da figura pela aplicação X num aberto 1 X V do ponto p cuja projeção no plano XY é o aberto 2 V Esse aberto 2 V no plano XY à direita da figura é levado de volta para o aberto 1 V do ponto q à esquerda da Figura pela aplicação 1 X π Dessa forma X V1 V é um aberto de S com p V e 1 1 2 X V X V V π é um homeomorfismo pois 1 1 X V X V é um homeomorfismo A aplicação 1 2 1 X V V π é tal que 1 X x y u x y v x y π E como 1 X π é um difeomorfismo C 1 2 1 X X V X V V ϕ π é um homeomorfismo diferenciável sobre X V1 V tal que para todo 2 x y V vale x y x y z u x y v x y ϕ Dessa forma podemos concluir que V é o gráfico de uma função diferenciável 2 f V dada por f x y z u x y v x y Vejamos agora um exemplo do segundo tipo de ponto singular devido à natureza da superfície Exemplo 7 Considere o com C de uma folha dado por 2 2 z x y como indicado na Figura 3 a seguir Figura 3 Cone de uma folha Fonte Adaptada de DELGADO FRENSEL sd p 97 15 UNIDADE Superfícies Regulares A Figura 3 representa no espaço euclidiano 3 um cone de uma folha com vértice na origem que se parece com uma casquinha de sorvete ou um chapéu cônico de ponta cabeça Como um todo essa superfície não é regular Mas não podemos concluir isso só pelo fato de a parametrização ser dada por 2 2 x y x y x y e não ser diferenciável na origem vez que poderia existir outra parametrização em p 000 satisfazendo os critérios de parametrização regular de superfície Provavelmente isso não ocorra devido ao que vimos na Proposição 3 Entretanto vamos supor que o cone C seja uma superfície regular então pela propo sição 3 existiria um aberto V C com 000 V que seria o gráfico de uma função diferenciável definida num aberto 2 U com 00 U assumindo uma das três formas z f x y y g x z x h y z A função não pode ser da forma y g x z nem da forma x h y z pois numa vizinhança de 000 as projeções de C sobre os planos XZ e YZ respectivamente não são injetoras Entretanto também não poderia ser da forma z f x y numa vizinhança de 000 pois teríamos 2 2 f x y x y que não é diferenciável em 00 Podemos concluir que a condição iii da definição 1 nos garante a existência de um plano tangente em todos os pontos de S e com isso descartamos a possibilidade de bicos ou quinas na superfície regular pois daí não é possível termos plano tangente à S em p quando p estiver localizado em um bico ou dobra Aliás as condições para uma superfície ser regular nos remetem intuitivamente a pen sar nas figuras superfícies geométricas do espaço euclidiano e descartar como superfícies regulares as que apresentam bicos vértices dobras arestas ou autointersecções mesmo sem apresentar formalmente uma parametrização local Um modo de definir superfícies é por meio da equação na forma f x y z a com a constante e 3 f V uma função diferenciável No entanto nem sempre tal equação define uma superfície Há de se impor um certo grau de não degenerescência que é descrito a seguir Definição 2 Um ponto p V se diz regular para a função f se o gradiente f f f f x y z calculado em p for um vetor não nulo E a é chamado de valor regular de f se f 1 a for não vazio e contiver só pontos regulares A condição 0 f p z garante que numa vizinhança U de 1 p f a f é estri tamente monótona ao longo de segmentos verticais e portanto cada um desses seg mentos intercepta f 1 a no máximo em um ponto A proposição a seguir mostra que nessas circunstâncias f 1 a U é o gráfico de uma função diferenciável 16 17 UNIDADE Superfícies Regulares Como temos que 1 Φ Φ Φ u v t u v t x u v t y u v t z u v t x y f x y z vemos que x u v t u e y u v t v Em particular como z u v t é diferenciável a função w definida na intersecção de 1 W com o plano XY dada por w x y z u v a é também diferenciável Assim pela Proposição 4 o gráfico de w é uma superfície regular Mas observe que o gráfico de w é o conjunto 1 1 f a W Então segue que 1 1 f a W é uma vizinhança coordenada de p Como p é arbitrário concluise que f 1 a é uma superfície regular como desejado Os conjuntos da forma f 1 a são conjuntos de nível e sempre que a seja regular são também chamados de superfícies de nível Por exemplo se tivermos 2 2 2 2 2 2 x y z f x y z a b c 2 2 2 2 2 2 x y z f x y z a b c vemos que o elipsoide 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c é uma superfície regular já que f x y z é não nulo para todo x y z 000 Em geral qualquer quádrica não degenerada em 3 é uma superfície regular Note entretanto que a condição de a ser um valor regular não é necessária para que f 1 a seja uma superfície como pode ser verificado pela função 2 f x y z x o conjunto f 1 0 é uma superfície apesar de ser constituído só de pontos singulares Vale notar também que uma superfície de nível não é necessariamente cone xa como mostra o hiperboloide de duas folhas definido por exemplo pela equação 2 2 2 1 z x y Vejamos mais um exemplo interessante Exemplo 8 Seja no 3 a circunferência assim definida 2 2 2 1 0 C x y z y z x O conjunto 2 Τ que se obtém por rotação de C em torno do eixo OZ é uma superfície regular denominada toro cuja parametrização pode ser dada por 2 cos cos 2 cos X u v v u v sen u sen v com u v π π π π Observe que C está no plano YZ com centro no ponto 020 e raio 1 e vai girar em torno do eixo OZ gerando o toro que pode ser visto na Figura 4 a seguir 18 19 Figura 4 Representação do toro Fonte ARAÚJO 2015 p 43 A Figura 4 representa o toro que se assemelha a um pneu ou como alguns prefe rem a um donut biscoito arredondado circular com um furo no meio contendo em sua superfície uma malha ao longo de meridianos e paralelos para evidenciar a curvatura Definição 3 Um subconjunto n X é conexo por caminhos se para cada par de pontos p q X existe um caminho contínuo 01 X α tal que 0 p α e 1 q α Definição 4 Um subconjunto n X é localmente conexo por caminhos se para todo p X existe um aberto n V tal que p V e V X é conexo por caminhos Proposição 6 Toda superfície regular é localmente conexa por caminhos Demonstração Seja S uma superfície regular Dado p S existe um aberto 2 U um aberto 3 V e X U V S uma parametrização de S em p Seja 0 δ tal que B q δ U onde X q p Então X B q δ é um aberto em S conexo por caminhos de S pois B q δ é convexo logo conexo por caminhos e X é uma aplicação aberta vez que é um homeomorfismo Vamos recordar um teorema do cálculo diferencial a seguir 19 UNIDADE Superfícies Regulares Teorema 1 Seja n X localmente conexo por caminhos Então X é conexo se e somente se X é conexo por caminhos Corolário Seja 3 S uma superfície regular Então S é conexa se e somente se S é conexa por caminhos Seja S uma superfície regular conexa Se a função f S é contínua então f S é um intervalo Exemplo 9 O hiperboloide de duas folhas 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c é uma superfície regular desconexa De fato seja a função diferenciável 3 f dada por 2 2 2 2 2 2 1 x y z f x y z a b c 2 2 2 2 2 2 1 x y z f x y z a b c Como 2 2 2 2 2 2 000 x y z F x y z a b c se e somente se 0 x y z e 1 000 0 f temos que 0 é valor regular de f Portanto f 1 0 é uma superfície regular que é desconexa com 3 0 x y z z e 3 0 x y z z abertos disjuntos de Plano Tangente e Diferenciabilidade em Superfícies Já tínhamos comentado que a condição ii da definição de superfície regular garante a existência de plano tangente em p S Vamos agora dar um tratamento mais formal a esse conceito Definição 5 O plano tangente a uma superfície regular S em p é o conjunto de vetores velocidade das curvas em S passando por p denotado por p T S Proposição 7 Seja uma parametrização 2 X U S de uma superfície regular S em p tal que X q p O subespaço de dimensão 2 2 3 dXq coincide com o conjunto de vetores tangentes à S em p 20 21 Demonstração Seja w um vetor tangente em X q isto é 0 w α sendo a curva X U S α ε ε diferenciável com 0 X q α Temos então que a curva X U β α ε ε é dife renciável e 0 dXq w β Portanto temos que 2 q w dX Por outro lado se q w dX v com 2 v é claro que v é o vetor velocidade de uma curva U γ ε ε dada por t tv q γ com t ε ε pela definição de diferen cial 0 w α com X α γ Isso mostra que w é um vetor tangente Diferencial de uma aplicação diferenciável Seja m n F U uma aplicação diferenciável Associamos a cada p U uma aplicação linear m n dFp chamada diferencial de F em p e definida da seguinte forma sejam m w e U α ε ε uma curva diferenciável tal que 0 p α e 0 w α Pela Regra da Cadeia a curva n F β α ε ε também é diferenciável e vale 0 dFp w β Além disso p dF é de fato uma aplicação linear e não depende da escolha da curva que passa por p com vetor tangente w Pela proposição anterior o plano 2 dXq que passa por X q p não depende da parametrização X será denominado plano tangente à S em p e denotado por p T S A escolha de uma parametrização X determina uma base u v X q X q de p T S de nominada base associada à parametrização X As coordenadas de um vetor p w T S na base associada a uma parametrização X são determinadas do seguinte modo w é o vetor velocidade α 0 de uma curva X α β sendo U β ε ε dada por t u t v t β com 1 0 q X p β Dessa forma temos 0 0 0 0 0 u v d d X X u t v t X q u X q v dt dt α β Assim na base u v X q X q w tem coordenadas u 0 0 v sendo u t v t a expressão da parametrização X de uma curva cujo vetor velocidade em 0 t é w Agora podemos falar na diferencial de uma aplicação diferenciável entre superfícies Proposição 8 Sejam 1S e 2 S duas superfícies regulares e 1 2 V S S ϕ uma aplicação dife renciável de um conjunto aberto V de 1S em 2 S Se p V sabemos que todo vetor tangente p 1 w T S é o vetor velocidade α 0 de uma curva parametrizada diferenciável V α ε ε com 0 p α A curva β ϕ α é tal que 0 p β ϕ e portanto β 0 é um vetor de 2 T p S ϕ 21 UNIDADE Superfícies Regulares Nessas condições dado w o vetor β 0 não depende da escolha de α e a aplicação 1 2 p p p d T S T S ϕ ϕ é linear Demonstração Sejam X u v e X u v parametrizações numa vizinhança de p e ϕ p res pectivamente Considere que ϕ e α sejam expressas nas seguintes coordenadas 1 2 u v u v u v ϕ ϕ ϕ e t u t v t t α ε ε Então 1 2 t u t v t u t v t β ϕ ϕ e assim a expressão de β 0 na base u v X X é 1 1 2 2 0 0 0 0 0 u v u v u v u v ϕ ϕ ϕ ϕ β Essa relação evidencia que β 0 depende apenas da aplicação ϕ e das coordenadas u 0 0 v de w na base u v X X Assim β 0 independe de α Além disso a mes ma relação mostra que 1 1 2 2 0 0 0 p u u v d w v u v ϕ ϕ β ϕ ϕ ϕ Em outras palavras p dϕ é uma aplicação linear de p 1 T S em 2 T p S ϕ cuja matriz nas bases u v X X de p 1 T S e u v X X de 2 T p S ϕ é exatamente a matriz dada acima Definição 6 A aplicação linear p dϕ é chamada a diferencial de φ em p 1 S Analogamente podemos definir a diferencial de uma função diferenciável f U S no ponto p U como sendo a aplicação linear p p df T S Exemplo 10 Seja a esfera unitária 2 3 2 2 2 1 x y z x y z e seja 3 3 z R θ a rotação de um ângulo θ em torno do eixo Oz Então z R θ restrita à 2 é uma aplicação diferenciável de 2 Vamos calcular z p dR w θ 2 p e 2 p w T Seja 2 α ε ε uma curva diferenciável com 0 p α e 0 w α Então como z R θ é linear temos 0 z z z z p t d dR w R t R t R w dt θ θ θ θ α α Observe que z R θ deixa o polo norte N 001 fixo e além disso que 2 2 z N N N dR T T θ é justamente a rotação de ângulo θ no plano 2 N T 22 23 Sintetizando o que desenvolvemos nesta Unidade foi estender as noções de Cálculo Diferencial em 2 para superfícies regulares Segundo Do Carmo 2012 como o Cál culo é essencialmente uma teoria local definimos uma entidade superfície regular que é localmente a menos de difeomorfismos um plano o que tornou essa extensão natural Nesse aspecto é de se esperar que o teorema da função inversa se estenda às aplicações diferenciáveis entre superfícies que é o que ocorre Dizemos que uma aplicação 1 2 U S S ϕ é um difeomorfismo local em p U se existe uma vizinhança V U de p tal que ϕ restrita à V seja um difeomorfismo sobre um conjunto aberto 2 V S ϕ Nesses termos a versão do Teorema da Função Inversa para superfícies pode assim ser expressa Proposição 9 Se 1S e 2 S são superfícies regulares e 1 2 U S S ϕ é uma aplicação diferenciável de um conjunto aberto 1 U S tal que a diferencial dϕp de ϕ em p U é um isomorfismo Então ϕ é um difeomorfismo local em p A demonstração é uma aplicação imediata do teorema da função inversa em 2 e você pode fazer como exercício Outros conceitos como pontos críticos valores regulares etc se estendem também naturalmente para superfícies regulares Além disso o plano tangente nos permite falar de ângulo entre duas superfícies que se interceptam no ponto de intersecção Dado um ponto p numa superfície regular S existem dois vetores unitários em 3 que são normais ao plano tangente p T S cada um denominado vetor normal unitário em p A reta que passa por p e tem direção de um dos vetores normais unitários é denominada reta normal em p O ângulo entre duas superfícies que se intersectam num ponto p é o ângulo entre os respectivos planos tangentes ou entre as respectivas retas normais em p Uma vez fixada uma parametrização 2 X U S em p S podemos definir a escolha de um vetor normal unitário em cada q X U pela fórmula u v u v X X N q X X Assim obtemos uma aplicação diferenciável 3 N X U Adiantamos que nem sempre se pode estender essa aplicação de modo diferenciável à superfície S Mais algumas observações sobre questões envolvendo diferenciabilidade a defini ção dada para superfície regular exige que as parametrizações sejam de classe C ou seja que tenham derivadas parciais contínuas de todas as ordens Para a Geometria Diferencial em geral só necessitamos da existência e da continuidade de derivadas par ciais até certa ordem de acordo com a situação ou a natureza do problema raramente além de quatro ordens de derivação Por exemplo a existência e a continuidade do pla no tangente dependem apenas da existência e da continuidade de derivadas parciais de primeira ordem Pode acontecer entretanto que o gráfico de uma função z f x y admita um plano tangente em todos os pontos mas que não seja suficientemente dife renciável para satisfazer a definição de superfície regular Isso é o que ocorre no exemplo a seguir 23 UNIDADE Superfícies Regulares Exemplo 11 Considere o gráfico de 2 2 2 3 z x y gerado pela rotação da curva 43 z x em torno do eixo Oz Como a curva é simétrica em relação ao eixo Oz e tem derivada contínua que se anula na origem fica claro que o gráfico de 2 2 2 3 z x y admite o plano XY como pano tangente na origem No entanto a derivada parcial xx z não existe na origem e portanto o gráfico em questão não é uma superfície regular Na verdade a condição C da definição de superfície regular ou seja de existirem derivadas parciais contínuas de todas as ordens foi adotada precisamente para evitar mos o estudo de condições mínimas de diferenciabilidade em cada caso particular mesmo que obscureçam eventualmente a natureza geométrica dos problemas tratadosa Assim chegamos ao fim desta Unidade Esperamos que você aluno e aluna tenha aproveitado e compreendido os conceitos e propriedades dos temas aqui abordados Não deixe de ver o Material Complementar 24 25 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Sites Veja o homeomorfismo entre uma caneca e uma rosquinha httpsbitly3XF1roT Vídeos Aula 10 Cálculo III Superfícies no Espaço R3 httpsyoutuberzedG6E6Bo Aula 11 Cálculo III Superfícies Parametrizadas httpsyoutube8b7CUnBCE6k Superfícies paramétricas Vetorial 15 de 30 httpsyoutubeHu7BVURDGuQ Superfície Regular e Plano Tangente httpsyoutubeLqM0Jcwia7E 25 UNIDADE Superfícies Regulares Referências ARAÚJO P V Geometria Diferencial 3 ed Rio de Janeiro IMPA 2015 224 p DELGADO J FRENSEL K Geometria Diferencial I Departamento de Matemática Universidade Federal FluminenseUFF s d 393p Disponível em httpswwwprofes soresuffbrkatiafrenselwpcontentuploadssites115delightfuldownloads201909 gdifpdf Acesso em 05112022 DO CARMO M P Elementos de Geometria Diferencial Rio de Janeiro Ao Livros Técnico 1971 205p DO CARMO M P Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies 6 ed Rio de Janeiro SBM 2012 608p GORODSKI C Um breve panorama histórico da Geometria Matemática Universitária Rio de Janeiro n 44 p 1429 2009 PICADO J Apontamentos de Geometria Diferencial Coimbra Departamento de MatemáticaUniversidade de Coimbra 2003 TENENBLAT K Introdução à Geometria Diferencial 2 ed São Paulo Blücher 2008 270p VELASCO W Geometria Diferencial Curitiba Intersaberes 2020 211p 26 Cruzeiro do Sul Educacional