Geometria Diferencial Ll

Pergunta 1 025 Pontos O toro é coberto pela seguinte parametrização Xuv a rcos u cos v a rcos u sen v rsen u com uv U 02π 02π ar constantes a r 0 Nesse caso calculando os coeficientes da primeira e da segunda forma fundamental chegamos à curvatura gaussiana dada por K r cos uar cos u r²ar cos u² cos u rar cos u Sabendo disso analise as afirmativas a seguir considerando se são verdadeiras V ou falsas F I Ao longo dos paralelos u π2 e u 3π2 os pontos desse toro são planares II Ao longo da região em que u 0 π2 3π2 2π os pontos desse toro são elípticos III Ao longo da região em que u π2 3π2 os pontos desse toro são hiperbólicos Assinale a alternativa correta Pergunta 4 025 Pontos Acerca da aplicação normal de Gauss e suas propriedades analise as afirmativas a seguir considerando se são verdadeiras V ou falsas F I A aplicação normal de Gauss fornece uma medida de quão rapidamente o vetor normal de uma superfície regular S varia em uma vizinhança de um ponto p S Essa medida está diretamente relacionada com a curvatura da superfície S em p II Sendo S ℝ³ uma superfície regular a aplicação N S ℝ³ toma seus valores na esfera unitária S² xyz ℝ³ x² y² z² 1 A aplicação assim definida é denominada aplicação normal de Gauss III Sendo a superfície S xyz ℝ³ z x² y² com a parametrização X U ℝ² ℝ³ tal que Xuv uvu² v² a aplicação normal de Gauss é dada pela fórmula NXuv uv2 u² v² 4 Assinale a alternativa correta A V V V B V V F C V F V D F V F E F V V Pergunta 3 025 Pontos Acerca das curvaturas principais média e gaussiana analise as afirmativas a seguir I As curvaturas principais num ponto p S são o máximo e o mínimo valores das curvaturas normais de todas as curvas em S que passam por p II As direções principais são os vetores tangentes das curvas que têm esses valores máximo e mínimo III A curvatura gaussiana é o produto das curvaturas principais e a curvatura média é a soma das curvaturas principais Agora assinale a alternativa correta A Apenas a afirmativa II é verdadeira B Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras C Apenas a afirmativa I é verdadeira D Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras E As afirmativas I II e III são verdadeira Pergunta 2 025 Pontos Acerca da aplicação normal de Gauss e das curvaturas média e gaussiana analise as afirmativas a seguir I Se mudarmos a orientação de S a curvatura gaussiana não muda mas a curvatura média muda de sinal II A diferencial dNp Tp S TNp S2 da aplicação normal de Gauss é uma aplicação autoadjunta III A aplicação normal de Gauss transporta o vetor normal unitário a S em todo ponto p S na esfera unitária S2 Assinale a alternativa correta A Apenas as afirmativas II e III são corretas B Apenas a afirmativa III é correta C As afirmativas I II e III são verdadeiras D Apenas as afirmativas I e II são corretas E Apenas as afirmativas I e III são corretas Assinale a alternativa correta A V V F B V F V C V V V D F V V E F V F Pergunta 1 025 Pontos O toro é coberto pela seguinte parametrização Xuv a rcos u cos v a rcos usen v rsen u com uv U 02π 02π ar constantes a r 0 Nesse caso calculando os coeficientes da primeira e da segunda forma fundamental chegamos à curvatura gaussiana dada por K r cos ua rcos ur² a rcos u² cos ura rcos u Sabendo disso analise as afirmativas a seguir considerando se são verdadeiras V ou falsas F I Ao longo dos paralelos u π2 e u 3π2 os pontos desse toro são planares II Ao longo da região em que u 0 π23π2 2π os pontos desse toro são elípticos III Ao longo da região em que u π2 3π2 os pontos desse toro são hiperbólicos Assinale a alternativa correta Assinale a alternativa correta A V V F B V F V C V V V D F V V E F V F Pergunta 2 025 Pontos Acerca da aplicação normal de Gauss e das curvaturas média e gaussiana analise as afirmativas a seguir I Se mudarmos a orientação de S a curvatura gaussiana não muda mas a curvatura média muda de sinal II A diferencial dNp TpS TNpS2 da aplicação normal de Gauss é uma aplicação autoadjunta III A aplicação normal de Gauss transporta o vetor normal unitário a S em todo ponto p S na esfera unitária S2 Assinale a alternativa correta A Apenas as afirmativas II e III são corretas B Apenas a afirmativa III é correta C As afirmativas I II e III são verdadeiras D Apenas as afirmativas I e II são corretas E Apenas as afirmativas I e III são corretas Pergunta 3 025 Pontos Acerca das curvaturas principais média e gaussiana analise as afirmativas a seguir I As curvaturas principais num ponto p S são o máximo e o mínimo valores das curvaturas normais de todas as curvas em S que passam por p II As direções principais são os vetores tangentes das curvas que têm esses valores máximo e mínimo III A curvatura gaussiana é o produto das curvaturas principais e a curvatura média é a soma das curvaturas principais Agora assinale a alternativa correta A Apenas a afirmativa II é verdadeira B Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras C Apenas a afirmativa I é verdadeira D Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras E As afirmativas I II e III são verdadeiras Pergunta 4 025 Pontos Acerca da aplicação normal de Gauss e suas propriedades analise as afirmativas a seguir considerando se são verdadeiras V ou falsas F I A aplicação normal de Gauss fornece uma medida de quão rapidamente o vetor normal de uma superfície regular S varia em uma vizinhança de um ponto p S Essa medida está diretamente relacionada com a curvatura da superfície S em p II Sendo S R³ uma superfície regular a aplicação N S R³ toma seus valores na esfera unitária S2 xyz R³ x² y² z² 1 A aplicação assim definida é denominada aplicação normal de Gauss III Sendo a superfície S xyz R³ z x² y² com a parametrização X U R² R³ tal que Xuv uvu² v² a aplicação normal de Gauss é dada pela fórmula NXuv uv2u²v²4 Assinale a alternativa correta A V V V B V V F C V F V D F V F E F V V