Geometria Diferencial - Curvatura e Torcao de Curvas e Referencial de Frenet-Serret

Geometria Diferencial I Cruzeiro do Sul Virtual Educação a distância Responsável pelo Conteúdo Profª Dra Ana Lucia N Junqueira Revisão Textual Profª Dra Selma Aparecida Cesarin Curvatura e Torção de uma Curva Curvatura e Torção de uma Curva Apresentar conceitos de curvatura e torção de uma curva Aplicar o Referencial de FrenetSerret para identicar os invariantes geométricos Apresentar o Teorema Fundamental das curvas OBJETIVOS DE APRENDIZADO Introdução Curvatura de uma Curva Torção de uma Curva Espacial Referencial de FrenetSerret O Teorema Fundamental das Curvas SGMS Técnico em Gestão Pública Recursos Humanos Interpretação de documento oficial MELHORES PRÁTICAS DA RECURSOS HUMANOS Organizar as atividades Definir papéis e responsabilidades Identificar riscos e controles Avaliar riscos e controles Sistematizar e padronizar Atender às regras e regulações Monitorar resultados e evolução Promover Melhoria Contínua Saúde e segurança do trabalho Gestão de Pessoas Procedimentos de RH Gestão orçamentária Gestão de Compras e Contratos Adequação técnica Eventos e viagens Sustentabilidade e responsabilidade social Auditoria Gestão do Conhecimento e tecnologia Segurança de informação Patrimônio Meta da ISOGSGP Requerimentos do âmbito Federal aplicáveis ao Conselho Nacional de Justiça CNJ e ao Poder Judiciário PJ Guia e exigências de controle e avaliação da implementação do SGMS pelo Conselho Nacional de Justiça Premissas para a adoção do SGMS Públicoalvo dos conteúdos do SGMS Sistema da qualidade para o CNJ e o PJ Segurança da informação e do ambiente operacional Procedimentos e ações no âmbito do CNJ e do PJ Controle e avaliação dos processos e atividades no CNJ e no PJ PMID 204060413 PMID 202060413 PMID 201060413 PMID 210060413 PMID 201060405 PMID 203060410 PMID 203060407 PMID 203060411 PMID 201060415 PMID 2AQ060405 PMID 203060409 PMID 205060405 PMID 210060410 PMID 204060407 PMID 204060415 PMID 206060410 PMID 203060414 PMID 210060411 PMID 203060406 PMID 210060405 PMID 211060410 PMID 203060408 PMID 211060405 PMID 203060413 PMID 211060407 PMID 209060405 PMID 202060405 PMID 212060410 PMID 204060410 PMID 201060411 PMID 2LD060405 PMID 212060405 PMID 212060407 PMID 209060407 PMID 210060406 PMID 212060411 PMID 212060406 PMID 201060407 PMID 202060407 PMID 201060406 PMID 2AH060405 PMID 212060413 PMID 201060410 PMID 210060409 PMID 211060406 UNIDADE Curvatura e Torção de uma Curva Introdução Nesta Unidade associamos a cada curva duas funções escalares chamadas curvatura e torção A curvatura mede quanto é que a curva se afasta de estar contida numa reta portanto linhas retas têm curvatura zero e a torção mede quanto é que a curva se afasta de estar contida num plano portanto curvas planas têm torção zero Acontece que a curvatura e a torção determinam completamente a forma da curva como veremos Na Figura 1 a seguir podese ver que o vetor tangente à curva em cada ponto muda de direção muito devagar quando a curva é razoavelmente reta mas muda de direção mais rápido quando a curva se dobra ou se retorce mais acentuadamente Z X 0 C y Figura 1 Vetor tangente unitário em pontos igualmente espaçados da curva Fonte Adaptada de edisciplinasuspbr ParaTodosVerem A Figura 1 traz uma curva aleatória no espaço euclidiano locali zada no primeiro octante na cor azul e tendo representados em vários pontos o vetor tangente à curva naquele ponto em vermelho Fim da descrição Vamos começar procurando uma medida da curvatura de uma curva que meça em cada ponto o afastamento da curva relativamente à tangente à curva nesse ponto Entretanto queremos que a curvatura só dependa do traço da curva então isso impõe algumas condições a Deve ser inalterável por mudança de parâmetro quando for reparametrizada Além disso deverá estar de acordo com a nossa intuição em casos especiais simples Portanto b A curvatura de uma linha reta deve ser zero c A curvatura de uma circunferência deve ser constante e tanto maior quanto menor for o seu raio Com tudo isso em mente para impor que uma parametrização γ da curva satisfaça 0 γ t em cada t assim o traço de γ seria parte de uma reta e portanto a curvatura deve ser nula Ficamos assim tentados a definir curvatura como γ t Mas infelizmente dessa maneira dependeria da parametrização Portanto para atender a temos de nos restringir às curvas parametrizadas por comprimento de arco 8 9 Curvatura de uma Curva Definição 1 Seja γ uma curva parametrizada por comprimento de arco Chamase curvatura de γ no ponto γ s e se denota por k s ao número γ s Observe que essa definição atende aos itens a b e c requeridos Veja a seguir A reta que passa por um ponto 3 z na direção de um vetor 3 v tal que 1 v tem uma parametrização por comprimento de arco s sv z γ logo 0 k s γ s para qualquer s Quanto à circunferência de raio r 0 temos s s s rcos rsen r r γ como uma parametrização por comprimento de arco Como s s s sen cos r r γ e 1 1 s s s cos sen r r r r γ obtemos 2 2 1 1 1 s s k s cos sen r r r r r Confirmando que a curvatura da circunferência é inversamente proporcional ao seu raio Agora considere 3 γ1 I e 3 γ2 J duas reparametrizações por comprimento de arco de uma curva γ Nesse caso já vimos que existe uma mudança de parâmetro tal que 2 1 c γ γ λ com c t t c λ ou c t t c λ para qualquer t J Disso decorre que 2 1 c c t t t γ γ λ λ E como 0 cλ para qualquer t obtemos 2 2 1 1 c c t t t t γ γ λ λ γ e portanto 2 1 2 1 k t t s k s γ γ γ γ com c s t I λ E no caso geral como se deve definir e calcular a curvatura de γ Sabemos que se γ é regular existe uma reparametrização por comprimento de arco γ Isso conduz à definição da curvatura de γ como sendo a curvatura de qualquer reparametrização por comprimento de aro de γ Portanto k t k t γ γ λ sendo λ a mudança de parâmetro correspondente Mas como nem sempre é possível determinar explicitamente a reparametrização γ necessitase de uma fórmula para a curvatura em termos de γ e t apenas É o que nos traz a proposição a seguir 9 UNIDADE Curvatura e Torção de uma Curva Proposição 1 Seja 3 γ I uma curva regular Então para cada t I temos 3 t t k t t γ γ γ Demonstração Seja 3 γ J uma reparametrização por comprimento de arco de γ com mudança de parâmetro I J λ Como γ γ λ por derivação obtemos t t t γ γ λ λ e 2 t t t t t γ λ γ λ λ γ λ Então 3 t t t t t γ γ λ γ λ γ λ 3 t t t t t γ γ λ γ λ γ λ Sabemos que t γ λ e t γ λ são ortogonais mas t t λ γ e 1 t γ λ e também t k t k t γ γ γ λ λ Portanto concluímos 3 t t k t t γ γ γ Exemplo 1 Considere a hélice circular de eixo vertical definida por r a t rcost rsent at t γ com r e a constantes não nulas e 0 r Se x y z é um ponto do traço da hélice x rcost y rsent z at para algum t logo 2 2 2 x y r mostrando que o traço da hélice está contido num cilindro vertical reto com raio 0 r E à medida que t cresce 2π unidades o ponto efetua uma rotação em torno do eixoZ e movese na vertical um passo de 2 a π unidades A Figura a seguir mostra respectivamente os casos 0 a r e 0 0 a r 10 11 Z Movimento ascendente a 0 Movimento descendente a 0 x y Z x y Figura 2 Comparativo movimento ascendente e descendente Fonte Adaptada de PICADO 2003 p 25 ParaTodosVerem Nessa Figura 2 temos a representação no espaço euclidiano de duas hélices cada uma contornando um cilindro circular reto a da esquerda num movimento ascendente e a da direita num movimento descendente Fim da descrição Reparametrizando por comprimento de arco obtemos 2 2 2 2 2 2 r a s s s s rcos rsen a r a r a r a γ Logo temos que 2 2 r a r k s s r a γ Portanto a curvatura da hélice circular γ r a é constante sendo menor quanto maior for o raio r ou o valor absoluto de a Tente encontrar esse valor da curvatura da hélice circular vertical usando a método da proposição 1 Vimos que a curvatura de uma reta é constantemente nula A proposição 1 nos diz que a recíproca também é verdadeira pois 0 k s para qualquer s implica que o vetor γ s seja constante Isso nos permite ter o significado geométrico da curvatura nula um segmento de uma curva tem curvatura nula se e só se está contido numa reta Isso permite que dada uma curva qualquer podemos particionála em segmentos de modo que a curvatura se anule em todos os pontos de alguns desses segmentos e nos restantes só se anula eventualmente nos extremos Nos primeiros já conhecemos a geometria da curva São segmentos de reta semir retas ou retas Então precisamos nos questionar sobre os demais e estudálos onde 11 UNIDADE Curvatura e Torção de uma Curva a curvatura nunca se anula eventualmente nos extremos Referimonos somente que nos pontos extremos isolados onde k se anula chamados pontos de inflexão podem acontecer coisas estranhas Por exemplo A curva regular e suave 3 γ definida por 2 2 1 1 0 0 t t t e t e se t 0 se t 0 se t 0 tem curvatura nula em 0 t e seu traço de a 0 está contido num plano e o seu traço de 0 a está contido noutro plano O exemplo da hélice circular dado anteriormente nos mostra que a curvatura não é suficiente para identificarmos completamente a forma de uma curva na verdade só vai acontecer para curvas planas Basta ver que tanto uma circunferência de raio 1 no plano XY quanto uma hélice circular de parâmetros 1 2 r a têm curvatura constante igual a 1 e são curvas muito diferentes mais precisamente na sua forma e na impossibi lidade de levar uma à outra por rotação e translação Por isso introduzse outro tipo de curvatura para curva não plana chamada torção ou torsão que medirá a variação do plano osculador da curva dito de outra maneira o quanto uma curva se afasta de ser plana Torção de uma Curva Espacial Seja 3 γ I uma curva parametrizada por comprimento de arco e seja T s s γ o seu vetor tangente no ponto γ s Se a curvatura k s não for nula podemos definir o vetor normal principal de γ no ponto γ s como sendo o vetor 1 N s T s k s N s é um vetor unitário pois T s k s e ortogonal a T s Consequentemente B s T s N s é um vetor unitário perpendicular a T s e a N s Esse vetor é denominado binormal de γ no ponto γ s Como conclusão temos que T s N s B s é uma base ortonormal de 3 com orientação positiva mesma orientação da base canônica Em cada ponto γ s temos três retas e três planos especiais Reta tangente paralela à T s Reta normal principal paralela à N s Reta binormal paralela à B s 12 13 Plano osculador paralelo a T s e N s Plano normal paralelo à N s e B s Plano retificante paralelo à T s e B s Como B s é um vetor unitário B s é perpendicular à B s Além disso B s T s N s T s N s T s N s E pela definição de 0 N s T s N s k s N s N s logo B s também é perpendicular a T s então B s necessariamente é paralelo a N s Portanto temos que B s τ s N s para algum escalar τ s a que chamamos de torção de γ no ponto γ s o sinal é apenas uma convenção Mas observe que a torção só está definida caso a curvatura seja não nula e diferen temente da curvatura pode assumir valores negativos Como no caso de curvatura definimos torção de uma curva regular arbitrária γ como sendo de uma sua reparametrização por comprimento de arco γ Portanto t t γ γ τ τ λ sendo λ a mudança de parâmetro correspondente É possível dar uma fórmula para a torção unicamente em termos de γ sem requerer o conhecimento de uma reparametrização por comprimento de arco Proposição 2 Seja γ uma curva regular cuja curvatura nunca se anula Então 2 t t t t t t γ γ γ τ γ γ Sendo t t t γ γ γ t t t γ γ γ o produto misto Declinamos essa demonstração mas se você quiser fazêla veja o que foi feito na proposição 1 calcule a derivada terceira o produto misto e vetorial indicado Exemplo 2 Considere novamente a hélice circular do exemplo 1 dada por r a t rcost rsent at t γ 13 UNIDADE Curvatura e Torção de uma Curva Como 0 r a t rsen t rcos t γ e também efetuando os cálculos t t γ γ 2 rasen t racos t r e 2 2 2 2 t t r r a γ γ então t t t r asen t r aco γ γ γ 2 2 2 2 2 r asen t r acos t r a e portanto 2 2 2 2 2 2 r a a t r a r r a τ Note que nesse caso a torção também é constante como a curvatura Proposição 3 Seja 3 γ I uma curva cuja curvatura nunca se anula As seguintes afirmações são equivalentes i γ é plana ou seja o traço de γ está contido num plano ii para cada t I 0 τ t Demonstração Como já vimos que para qualquer reparametrização por comprimento de arco γ de γ se tem que γ é plana se e somente se γ é plana e que t t γ γ então basta provar o resultado para parametrizações por comprimento de arco i ii Sejam α o plano a que pertence o traço de γ um ponto 0p α e um vetor unitário u tal que u α Então 3 0 0 p p p u α e γ I α traduzse em 0 0 s p u s I γ Daí derivandose sucessivamente obtemos 0 T s v e 0 k s N s v para qualquer x I Isso significa que u é perpendicular à T s e à N s e portanto paralelo ao vetor binomial B s para cada s I ou seja B s λ s u para algum escalar λ s Como 1 u e 1 B s temos que 1 λ s Logo B s u ou B s u para cada s I E como a função 3 B I dada por s B s é suave temos que B s u para qualquer s I ou B s u para qual quer s I Em ambos os casos a função B é constante Então 0 B s τ s N s logo 0 τ s para qualquer s I ii i Se 0 τ s para qualquer s I como 0 B s τ s N s En tão a função binormal é constante igual em cada s I a um dado vetor B Vamos provar que γ I está contida num plano perpendicular à B Fixando 0s I seja o plano 3 0 0 p p s B β γ Queremos mostrar que γ I β Como 0 0 s s B T s B T s B s γ γ para qualquer s I a função 0 s s s B γ γ é constante Por outro lado em 0 s 0 0 0 s s B γ γ Logo 0 0 s s B γ γ em qual quer s I Assim está demonstrada a proposição 14 15 Dessa forma passamos a conhecer o significado geométrico da torção nula A curva está contida num plano que é o plano osculador da curva em qualquer ponto como vimos na demonstração Mais geralmente para uma curva genérica γ o plano osculador em cada ponto t γ é o plano à qual γ na vizinhança de t γ está mais próximo de pertencer Referencial de FrenetSerret Já vimos que para curvas parametrizadas por comprimento de arco temos T s k s N s e B s τ s N s E que relação temos com N s Diferenciando a igualdade N s B s T s obtemos N s B s T s B s T s s N s T s k s B s N s k s T s s B s τ τ Concluindo temos o exposto a seguir Teorema 1 Sejam 3 γ I uma curva parametrizada por comprimento de arco cuja curvatura nunca se anula Então para cada s I temos I T s k s N s II N s k s T s τ s B s III B s τ s N s Essas equações chamamse Equações de FrenetSerret Note ainda que a matriz 0 0 0 0 0 k k τ τ é antissimétrica Isso ajuda a guardar As fórmulas de FrenetSerret podem assim ser obtidas 0 0 0 0 0 T k T N v k N B B γ τ τ sendo v t t t t γ γ λ λ a velocidade de γ no ponto t γ O Triedro de Frenet foi criado por Jean Frédéric Frenet 18161900 professor mate mático astrônomo e meteorologista francês É formado por três vetores T N B que dizem respeito às propriedades cinemáticas de uma partícula que se move em uma tra jetória curvilínea usada no cálculo vetorial No triedro o vetor unitário T representa a tangente à curva o vetor unitário N é a derivada do vetor T e normal à curva e o vetor unitário B é o produto vetorial de T e N portanto ortonormal ao plano formado por T e N denominado plano osculador à curva 15 UNIDADE Curvatura e Torção de uma Curva Figura 3 Vetores T N e B e plano osculador denido por T e N Fonte Wikimedia Commons ParaTodosVerem A Figura 3 representa uma curva simples e o plano osculador dessa curva que contém os vetores tangente T e normal N num dado ponto da curva mostrando ainda o vetor binormal B ortogonal ao plano nesse ponto da curva Dessa forma visualizamos a curva o plano osculador e o triedro de FrenetSerret num dado ponto de uma curva regular Fim da descrição As fórmulas de FrenetSerret descrevem as propriedades cinemáticas de uma partí cula que se move ao longo de uma curva contínua e diferenciável num espaço euclidiano tridimensional 3 R ou as propriedades geométricas da própria curva independentemente do movimento Mais especificamente as fórmulas descrevem as derivadas dos vetores unitários tangente normal e binormal uns em relação aos outros e que acompanham toda trajetória através da curva Em resumo sendo s o comprimento de arco as fórmulas de FrenetSerret são dT dN dB kN kT kN ds ds ds Veja uma aplicação simples das fórmulas de FrenetSerret Proposição 4 Seja γ I uma curva com torção nula e curvatura constante k então o traço de γ está contido numa circunferência de raio 1k Demonstração Pela proposição 3 o vetor binormal B é constante e o traço de γ está contido num plano perpendicular à B Seja o ponto 1 p t t k N t γ então p t v t T t 16 17 1 1 N t v t T t k t T t t B t k k τ 1 0 v t T t k t T t B t k 0 v t T t v t T t Logo p t é constante digamos 0 p t p para todo t I Além disso para cada t I temos 0 1 1 t p k N t k γ o que mostra que to dos os pontos da curva γ estão contidos na circunferência de centro op e raio 1 k Definição 2 As equações k k s e s τ τ que representam a curvatura e a torção de uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco λ s são as equações intrínse cas da curva s λ λ No caso de curvas planas é óbvio que não tratamos do vetor binormal nem de tor ção mas temos o referencial de Frenet Resumindo se 2 α I é uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco S então o referencial de Frenet T s N s satisfaz as equações T s k s N s N s k s T s Que são as fórmulas de Frenet para curva plana A função k s s α indica a velocidade com que as retas tangentes mudam de direção Exemplo 3 Dada a curva t t cost sent e γ encontre sua curvatura e sua torção no ponto γ t Sabemos que 3 t t k t t γ γ γ e 2 t t t t t t γ γ γ τ γ γ então vamos encontrar as derivadas t t cost sent e γ t t sent cost e γ t t cost sent e γ t t sent cost e γ 1 t t t t e sent cost e sent cost γ γ 1 2 2 2 2 1 t t t e sen t γ γ 1 2 2 1 2 t t γ 17 UNIDADE Curvatura e Torção de uma Curva 1 2 2 2 3 3 2 2 2 1 1 2 t t e sen t t t k t t e γ γ γ 2 t t t t e γ γ γ 2 2 2 2 2 1 t t t t t e t e sen t t t γ γ γ τ γ γ Vemos que ambas curvatura e torção dependem do ponto da curva por exemplo se ot 0 o ponto é 0 0 0 0 101 cos sen e γ Daí nesse ponto temos 1 0 3 3 k e 0 2 τ Vimos que podemos determinar a curvatura e a torção de qualquer curva γ sem precisar determinar uma sua reparametrização por comprimento de arco γ Como será para os triedros de Frenet Proposição 5 Dada uma curva t γ temos t T t t γ γ λ γ t t B t t t γ γ γ λ γ γ Sendo que o sinal é tomado se a respectiva mudança de parâmetro λ preserva a orientação caso contrário adotase o sinal Demonstração Dada uma curva γ de γ γ λ temos t t t γ γ λ λ Como t t γ λ obtemos t t t T t t t t t γ γ γ γ λ γ λ λ λ γ Também já sabemos que 3 t t t k t B t γ γ γ γ λ λ λ Portanto 3 t t t k t γ γ γ λ λ t t B t t t γ γ γ λ γ γ ficando assim demonstrado 18 19 Observação O vetor N t γ λ calculase pelo produto vetorial B t T t γ γ λ λ Exemplo 4 Verifique as fórmulas de FrenetSerret para a curva 3 α dada por t cost sent t α Vamos iniciar 1 2 t sent cost T t t α α 0 2 0 1 2 cost sent T t N t cost sent T t 1 2 T t N t sent cost B t T t N t Temos ainda que t sent cost t α e 0 t cost sent α Logo 3 3 3 1 2 1 2 1 2 t t sent cost k t t sent cost α α α E como 0 t sent cost α temos 2 2 1 1 2 2 t t t t t t α α α τ α α Dessa forma as equações de FrenetSerret são verificadas pois 1 2 0 0 2 2 T t cost sent cost sent t k t N t α Como 0 N t sent cost temos t k t T t t k t B t α α 1 2 2 1 0 2 2 2 2 sent cost sent cost set cost N t 19 UNIDADE Curvatura e Torção de uma Curva Finalmente a última equação 1 0 2 B t cost sent 0 2 0 2 2 cost sent B t cost sent τ t N t Podese também testar pela notação matricial 2 1 2 2 0 0 1 1 2 2 0 2 2 2 2 2 0 0 1 2 2 2 N N T k T N t k N T B T B B B N N α τ τ Agora veremos a versão geral do Teorema Fundamental das Curvas que mostra que uma curva parametrizada por comprimento de arco fica essencialmente determinada a partir do momento em que conhecemos a sua curvatura e a sua torção Antes vamos recordar que num movimento rígido o espaço euclidiano 3 é uma aplicação 3 3 da forma sendo uma rotação e uma translação O Teorema Fundamental das Curvas Teorema 2 Sejam I κ τ funções suaves com 0 κ Então existe uma curva parametrizada por comprimento de arco 3 γ I cuja curvatura é κ e cuja torção é τ Além disso se 3 γ I é outra curva parametrizada por comprimento de arco nessas condições existe um movimento rígido do 3 tal que para cada s I s s γ γ Demonstração As equações de FrenetSerret dadas a seguir T κ N N T B κ τ B τ N podem ser consideradas uma equação diferencial em 9 I da forma 1 2 3 1 2 3 1 2 3 T s T s T s N s N s N s B s B s B s 20 21 1 2 3 s N s s N s s N s κ κ κ 1 1 2 2 3 3 s T s s B s s T s s B s s T s s B s κ τ κ τ κ τ 1 2 3 s B s B s s B s τ τ τ Então se fixarmos 0s I e considerarmos a base canônica do 3 a teoria das equações diferenciais ordinárias nos garante que existem funções suaves únicas 3 T N B I tais que 0 1 0 2 0 3 T s e N s e B s e e cujas componentes verifi cam tal equação diferencial com a matriz 0 0 0 0 0 κ κ τ τ que é antissimétrica e exprime os vetores T N B em termos de T N B sendo que o termo T s N s B s forma uma base ortonormal de 3 para cada s I De fato as equações 2 T T κ T N T N N N T T T B κ κ τ T B N B N N κ τ 2 2 N N T N B N κ τ N B T B B B N N κ τ τ 2 B B τ N B definem outra equação diferencial que também terá solução única Como T T T N T B N N N B B B é uma solução dessa equação diferencial solução que toma o valor 100101 em 0 s s então pela unicidade do teorema de existência de soluções desse tipo de equações diferenciais teremos 1 0 0 T s T s T s N s T s B s 1 0 1 N s N s N s B s B s B s Portanto T s N s B s é uma base ortonormal de 3 para cada s I Podemos finalmente definir 0 s s s T u du γ Então s T s γ portanto γ está parametrizada por comprimento de arco Além disso T κ N e como N é unitário κ é a curvatura de γ e N sua normal principal Como B s é um vetor perpendicular a T s e a N s B s s T s N s λ com λ uma curva suave satisfazendo 1 λ s 21 UNIDADE Curvatura e Torção de uma Curva para qualquer s Como 2 1 2 e e e temos 0 1 λ s e portanto 1 λ s para qualquer s Dessa forma B s é a binomial de γ em s e portanto τ é a torção de γ Para provar a outra parte do teorema fazemos um movimento semelhante mas para não alongar demais vou declinar a demonstração dessa segunda parte Exemplo 5 No exemplo da hélice circular 0 r a r a γ parametrizada pelo comprimen to de arco vimos que tem curvatura constante 2 2 r r a κ e torção constante 2 2 a r a τ Portanto pela segunda parte do teorema a curva γ é o resultado da aplicação de um movimento rígido à hélice circular γ r a tal que 2 2 2 2 2 2 2 2 r r r a a a r a κ κ κ τ τ τ κ τ Concluindo qualquer curva com curvatura constante κ 0 e torção constante τ é a menos de rotação e translação a hélice circular γ r a para valores de r e a dados por essas equações vistas acima Em Síntese Abordamos o estudo local da teoria das curvas planas e espaciais Por teoria local enten demos como sendo o estudo do comportamento da curva em uma vizinhança de um de seus pontos Procuramos ilustrar os conceitos apresentados na teoria por meio de alguns exemplos e figuras Definimos curva parametrizada diferenciável e curva regular Mostramos que uma curva γ está parametrizada por comprimento de arco se e só se 1 s γ para todo s I Mostramos os vetores T s N s B s e deduzimos as fórmulas de FrenetSerret Finalizamos com o Teorema Fundamental das Curvas que mostra que uma curva parametrizada por comprimento de arco fica essencialmente determinada a partir do momento em que conhecemos a sua curvatura e a sua torção Esperamos que você caro aluno e cara aluna tenha aproveitado e compreendido os con ceitos trabalhados Mas não deixe de ver também o Material Complementar pois traz algumas ilustrações que podem auxiliar no estudo dos temas aqui tratados 22 23 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Sites Base de Frenet em Movimento httpsbitly3WljJKw Vídeos Curvatura Vetor Tangente Normal e Binormal httpsyoutubeoivTOmX0J1Y Raio de Curvatura e Triedro de FrenetSerret httpsyoutubek6VNytqYOH4 Um Estudo sobre a Curvatura e a Torção de Curvas Parametrizadas Diferenciáveis httpsyoutubeHSpbYSyLROM 23 UNIDADE Curvatura e Torção de uma Curva Referências DELGADO J FRENSEL K Geometria Diferencial I Departamento de Matemática Universidade Federal FluminenseUFFs d 393p Disponível em httpswwwprofes soresuffbrkatiafrenselwpcontentuploadssites115delightfuldownloads201909 gdifpdf Acesso em 05112022 DO CARMO M P Elementos de Geometria Diferencial Rio de Janeiro Ao Livros Técnico 1971 205p Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies 6 ed Rio de Janeiro SBM 2012 608p PICADO J Apontamentos de Geometria Diferencial Departamento de Matemática Coimbra Universidade de Coimbra 2003 TENENBLAT K Introdução à Geometria Diferencial Brasília UnB 1990 VELASCO W Geometria Diferencial Curitiba Intersaberes 2020 211 p 24 Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional siga algumas recomendações básicas Determine um horário fixo para estudar Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias Isso amplia a aprendizagem Aproveite as indicações de Material Complementar Conserve seu material e local de estudos sempre organizados Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Seja original Nunca plagie trabalhos Não se esqueça de se alimentar e de se manter hidratado Assim Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina Por exemplo você poderá determinar um dia e horário fixos como seu momento do estudo Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo No material de cada Unidade há leituras indicadas e entre elas artigos científicos livros vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade Além disso você também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar que ampliarão sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados Após o contato com o conteúdo proposto participe dos debates mediados em fóruns de discussão pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento além de propiciar o contato com seus colegas e tutores o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de aprendizagem Cruzeiro do Sul Educacional