Lista 4 - Derivadas 2 - Extremos

FEYIVEY) petsecee aren rromee sine Calculo | - Lista 4: Derivadas Il - Extremos Prof. Responsavel: Andrés Vercik 1. (i) Estabeleca formulas gerais para Ay e dy. (ii) Se para os valores dados de a e Ax, x varia de a para a+ Ax, ache os valores de Ay e dy. a) y=2x*-4x4+5, a=2, Ax =-0.2 b) y=l/x?, a=3, Ax =0.3 2. Determine (1) Ay , (ii) dye (ill) dy- Ay. a) y=4-9x c) y=l/x b) y=3x7+5x-2 d) y=I/x? 3. Ache uma aproximacao linear para f(b) se a variavel independente varia de a para b. a) f(x) =4x° —6x4 43x? 5; a=l, b=1.03 b) f(0)=2sen0+cosé; a=30°, b=27T° 4. Aproxime, por meio de diferenciais, 0 erro absoluto, Ay, e o erro relativo percentual, €,, no valor calculado de y. a) y=3x4; x=2, Ax = +£0.01 b) p=x? 45x; x=, Ax = +0.1 c) p=4vVx+3x; x=4, Ax = +0.2 5. Use a regra da cadeia para achar & e expresse a resposta e, termos de x. Ix a) yeu’; u=x-4 e) y=tgu; u=x- b) y= tu; u=x- +5x f) y=usenu; u=x? c) y=l/u; u=~v3x—2 g) y=lInu; u=x' +l d) y=3u? +2u; u=4x h) y=e'; u=—x? Cálculo I Derivadas II 2 6. Calcule a derivada a) 3 2 8) 3 ( ( ) + − = x x f x b) 7) 5 (8 ( ) − − = x f x c) 4 2 )1 ( ) ( − = x x f x d) 2 2 3 9) 7) (8 (6 ( ) + − = x x N x e) 5 5 32 5 ) ( − = v F v f) / 2 3 2 3 4 ) ( w w w g w + − = g) 2) sen( ( ) 2 + = x k x h) θ θ cos 3 ( ) 5 = H i) )1 2 sec(2 ( ) + = z g z j) 2 ) cot( ( ) 3 s s H s − = k) z z K z cot5 ( ) 2 = l) θ θ θ tg2 sec3 ( ) = h m) 5) cos5 (sen5 ( ) x x N x − = n) w w h w sen4 1 cos4 ( ) − = o) x x f x sen sen ( ) + = p) 1 1 tg ( ) 2 2 + + = x x g x q) x e y x ( ) = − r) 2 ) ( xe x y x − = s) )1 ln(2 ( ) + = x x y x t) )1 2 ( ) ( − + = xe y x u) 1 1 ) ( 2 + + = x x e e y x v) 1 1 ) ( 2 2 + − = x x e e y x w) 5) 3 ln( ) ( 2 + + = x x y x x) )1 /( ) ( + = x xe y x y) ) ln(1 ( ) x y x + = z) [ ] )1 2 ln(3 ( ) + = x y x 7. Calcule a primeira e a segunda derivadas. a) 1 3 ( ) + = z g z b) 2 / 3 2 4) ( ( ) + k s = s c) 7 5) (4 ( ) + = r k r d) 5 7 10 ( ) + = x f x e) x f x sen3 ( ) = f) t G t sec 4 ( ) 2 = 8. Admitindo que a equação determina uma função diferenciável f tal que y = f (x) , calcule y’. a) 10 8 2 2 = + y x b) x y x = − 3 3 2 4 c) 1 2 3 2 3 = + + y x y x d) 0 2 3 4 3 2 2 4 = + − + x xy x y x e) =100 + y x f) 4 2 / 3 2 / 3 = + y x g) 7 2 = + xy x h) 16 2 + 3 = − y xy x i) 1 sen2 3 − + = y x y j) x = sen(xy) k) y = csc(xy) l) y x y sec 1 2 2 + = m) y x y cos 2 = n) y xy = tg o) 1 sen 2 2 = − + y y x p) 2 3 sen y − x = Cálculo I Derivadas II 3 9. Admitindo que a equação defina uma função f tal que y = f (x) , calcule y’’, se existir. a) 4 4 3 2 2 = + y x b) 4 2 5 2 2 = − y x c) 1 3 3 = x − y d) 1 2 3 = x y e) x y y = + sen f) cos y = x 10. Determine dy / dx em termos de x e y por derivação implícita. a) 4 2 2 = + + y xy x b) 1 3 3 x y − xy = c) x e e y y = 2 − − d) 3 2 + 2 = + x x e ye y 11. Use o gráfico para estimar os extremos de f em cada intervalo. a) i) )3 [− ,3 ii) 3) (− ,3 iii) )1 ,3 [− iv) ]3 [ ,0 b) i) [− ,2 2] ii) ( ,0 2) iii) (− ,1 )1 iv) )1 ,2 [ − − 12. Esboce o gráfico de f e determine os extremos em cada intervalo. a) x x f x 2 ( ) 2 2 1 − = i) [ ,0 5] ii) ( ,0 2) iii) ( ,0 4) iv) [ ,2 5] b) 4 )1 ( ( ) 2 / 3 − f x = x − i) [ ,0 9] ii) 2] ,1( iii) (− ,7 2) iv) [ ,0 )1 13. Ache os extremos de f no intervalo dado. a) 3 2 2 6 5 ( ) x x f x − − = ; [ ,0 9] b) 7 10 3 ( ) 2 + − = x x f x ; ]3 [− ,1 c) 2 / 3 1 ( ) x f x = − ; [− ,1 8] d) 4 5 ( ) 2 4 + − = x x f x ; ,0 2] [ f (x) y = y x ) ,1( 4 − 1 ) ,1 ( 4 − 1 − y x f (x) y = ) ,1 ( 3 2 − ) ,1 ( 3 2 − ,3 0) ( ,3 0) (− Cálculo I Extremos de funções 4 14. Ache os pontos críticos da função. d) 2 3 4 ( ) 2 + − = x x f x e) w w F w 32 ) ( 4 − = f) 16 ( ) 2 − = z f z g) 4 5) (2 ( ) 2 − − = x x h x h) 23 5 2 ( ) − = t t g t i) 9 3 2 ( ) 2 − − = x x G x j) 4 5 ) ( 2 + = s s f s k) t t f t cos sen ( ) 2 − = l) x x x f x 6 3sen 2 8cos ( ) 3 − − = m) x x f x sen 1 sen 1 ( ) − + = n) u u k u tg ( ) − = o) φ φ φ csc cot ( ) + = H 15. a) Se 1/ 3 ( ) x f x = , prove que 0 é o único ponto crítico de f e que f(0) não é um extremo local. b) Se 2 / 3 ( ) x f x = , prove que 0 é o único ponto crítico de f e que f(0) é um mínimo local. 16. Se x f x ( ) = , prove que 0 é o único ponto crítico de f e que f(0) é um mínimo local. 17. Encontre os pontos críticos da função dada e use a derivada para determinar em que regiões a função é crescente, decrescente e quais são os máximos e mínimos locais. a) 3 7 2 ) ( 2 + − = x x f x b) 2 4 1 ( ) x x f x − = − c) 6 12 4 3 ) ( 2 3 4 + − − = x x x f x d) 7 2 4) ( ( ) f x = x − e) 0 ln , ( ) > − = x x x f x f) xex f x ( ) = g) 1 2 ) ( 2 5 + = x e x f x h) xe x x f − ( ) = i) 1 ( ) f x = x − j) x e x f x 2 ( ) − = k) 0 , ln 1 ( ) > + = x x x f x 18. Para a função 1 ( ) f x = x3 + : (a) Prove que f não tem extremos locais. (b) Esboce o gráfico de f. (c) Prove que f é contínua no ponto (0, 1), mas não tem máximo nem mínimo aí. Cálculo I Extremos de funções 5 19. Determine se f satisfaz as hipóteses do teorema do valore médio em [a, b] e, em caso afirmativo, ache todos os números c em (a, b) tais que ) ´( )( ( ) ( ) a f c b f a f b − = − a) 4 3 ( ) 2 − + = x x f x ; 5] ,1[ b) 2 3 ( ) − + = x x f x ; ]3 [− ,2 c) x x f x 4/ ( ) + = ; 4] ,1[ d) 2)2 / 3 ( ( ) f x = x + ; [− ,1 6] e) x f x tg ( ) = ; / 4] [ ,0 π 20. Se )1 2 / 3 (3 5 ( ) − + = x f x , mostre que (2) (0) f f = mas 0 ´( ) f c ≠ para todo número c no intervalo aberto (-1, 1). Por que isto não contradiz o teorema de Rolle? 21. Se x f x 4/ ( ) = , prove que não há nenhum número real c tal que ( 1)] ´( )[4 )1 ( (4) − − = − − f c f f . Por que isto não contradiz o teorema do valor médio aplicado ao intervalo [-1, 4]? 22. Uma estrada retilínea de 50Km liga duas cidades A e B. Prove que é impossível viajar de A para B de automóvel, em exatamente uma hora, sem que o velocímetro registre 50Km/h ao menos uma vez. 23. Determine os extremos locais de f e os intervalos em que f é crescente ou decrescente; esboce o gráfico de f. a) 1 20 2 ( ) 2 3 + − + = x x x f x b) 2 3 )1 ( 10 ( ) − = x x f x c) 1/ 3 4 / 3 4 ( ) x x f x + = d) 5 1) / 3 ( ( ) − = x x f x e) ) (8 ( ) 2 / 3 x x f x − = f) 3 2 2 4 ( ) − = x x f x 24. Determine os extremos locais de f em [0, 2π] e os subintervalos em que f é crescente ou decrescente. Faça o gráfico de f. a) x x f x sen cos ( ) + = b) x x f x sen ( ) 2 1 − = c) x x f x 2cos ( ) + = d) x x f x sen 2 2cos ( ) + = 25. Ache os extremos locais de f. a) 3 3 9 ( ) x x f x − = b) 4 ( ) 2 + = x f x c) 4 3 )1 2) ( ( ( ) + − = x x f x d) 4 2 5) ( ( ) − = x x f x e) 2 3 ) ( x x f x − = Cálculo I Extremos de funções 6 f) 7 ) ( 2 + = x x x f 26. Esboce o gráfico de uma função diferenciável f que satisfaça as condições dadas. a) 3 (0) = f , 4 (2) ( 2) = − = − f f ; 0) ('f não-definida; 0 (' 2) 2) (' = = − f f ; 0 ) (' x > f se 0 2 < < − x ou x > 2 ; 0 ) (' x < f se x < −2 ou 2 0 < x < . b) 5 ( )3 = f , 0 (5) f f = ; 5) ('f não-definida; 0 )3 (' = f ; 0 ) (' x > f se x < 3 ou x > 5 ; 0 ) (' x < f se 5 3 < x < . c) 3 (0) = f , 4 (2) ( 2) = − = − f f ; 0 (' 2) (' 0) 2) (' = = = − f f f ; 0 ) (' x > f se 0 2 < < − x ou x > 2 ; 0 ) (' x < f se x < −2 ou 2 0 < x < . d) 4 ( 5) = f − , 0 (0) = f , 4 (5) = − f ; 0 )5 (' (' 0) 5) (' = = = − f f f ; 0 ) (' x > f se x > 5 ; 0 ) (' x < f se 5 0 < x < . 27. Para as funções do exercício 13, determine os extremos locais de f usando o teste da derivada segunda quando aplicável. Ache os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo, e determine as coordenadas x dos pontos de inflexão. Faça o gráfico de f. 28. Use o teste da derivada segunda para achar os extremos locais de f no intervalo dado, usando o teste da derivada segunda. 29. Esboce o gráfico de uma função contínua f que verifique todas as condições indicadas. a) 1 (0) = f , 3 (2) = f ; 0 (' 2) (' 0) = = f f ; 0 ) (' x < f se x −1 >1 ; 0 ) (' x > f se x −1 <1 ; 0 ) ('' x > f se x < 1 ; 0 ) ('' x < f se x > 1 . b) 2 (0) = f , 1 ( 2) (2) = = f − f ; 0 (' 0) = f ; 0 ) (' x > f se x < 0 ; 0 ) (' x < f se x > 0 ; 0 ) ('' x > f se x > 2 ; 0 ) ('' x < f se x < 2 . c) 2 (6) ( 2) = − = − f f , 0 (4) (0) = = f f ; 3 (8) (2) = = f f ; 'f não definida em 2 e 6; 1 (' 0) = f ; 0 ) (' x > f em todo (−∞, 2) e ) ( ,6 ∞ ; 0 ) (' x < f se x − 4 < 2 ; 0 ) ('' x < f em todo (−∞, 0) , ( ,2 6) e ) ( ,6 ∞ ; 0 ) ('' x > f em todo ( ,0 2) e ( ,2 4) . 30. Analise e faça o gráfico de f. a) 3 5 2 ( ) + − = x x f x b) 1 6 ( ) 2 2 − − + = x x x f x c) 12 6 3 ( ) 2 2 − − − = x x x x f x d) 1 2 ( ) 2 2 + = x x f x e) x x f x 4 ( ) + = f) 4 3 ) ( 2 + − = x x f x Cálculo I Extremos de funções 7 g) 1 6 ) ( 2 + − − = x x x f x h) 1 ) ( 2 + = x x f x i) 3 4 ) ( 2 + − = x x f x 31. Determine os pontos críticos da função e use o teste da derivada segunda para verificar se são máximos ou mínimos locais. Determine também o valor da função em cada extremo local. a) x e x − 2 +2 b) )1 ln( ) ( 2 + = x f x c) x e x x f − = 2 ( ) d) x e x f x 2 ( ) − =