Lista 8 - Equações Diferenciais

Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos Universidade de São Paulo Cálculo I – Lista 8: Equações diferenciais Prof. Responsável: Andrés Vercik 1. Mostre que 3 2 e x y + − = é uma solução da equação diferencial 2 2 6 ' 3 x x y y = + . 2. Verifique que ( x) x y = 2+ ln é uma solução para o problema de valor inicial ( ) 2 1 1 2 ' = = + y xy x y 3. Determine se a equação diferencial é linear. a) x2 y2 e y y x = ′ + b) ′ = + x y senx y 3 c) 0 ln 2 + − ′ + x y x xy d) yy = senx ′ 4. Resolva a equação diferencial. a) y y ex ′+ 2 = 2 b) y x y ′= + 5 c) y xy x ′− = d) xy y ex ′+ = 2 2 e) 2 2 2 , cos π π < < − + = ′ x sen x ysenx x y f) 1+ = ′ xy xy g) 2 2 x xy dx dy = + h) 2 2 , 2 π π < < − + = x ytgx xsen x dx dy i) , 1 ) 1( t u dt t du = + + + t > 0 j) e x y xy xy = − + ′ + 5. Resolva o problema de valor inicial. a) ex , x y y + = ′ + 0 (0) = y b) , 2 3t y dt t dy = + t > ,0 0 )1( = y c) , 3 2 2 t2 te tv dt dv = − 5 (0) = v d) , 3 2 ) 1( 2 x xy y x = ′ + + 2 (0) = y e) cos , 2 2 x xy dx dy x = − 0 ( ) y π = f) , 1 x x y dx x dy = + − ,0 )1( = y > 0 x Prof. Andrés Vercik 2 6. Resolva a equação diferencial. a) dx = y2 +1 dy b) 3 2 4y e dx dy x = c) yy = x ' d) y = xy ' e) 2 1 y y te dt dy t + = f) y xy y 2ln '= g) tu t u dt du + + + = 2 2 h) = 0 + te +z dt dz 7. Encontre a solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial dada. a) ( ) 0 1 ,1 2 = + = y y dx dy b) 4 )1( ,0 , 1 = − > + = y x xy x dx dy c) ( ) 1 0 , = = − x t dt xe t dx d) ( ) 1 0 ,0 1 2 2 = = + + y dx dy y x x e) ( ) 5 0 , 2 sec 2 2 = − + = u u t t dt du f) ( ) 0 1 , = = y te dt dy y 8. Encontre uma equação da curva que satisfaz x y dy dx = 4 3 e cujo intercepto y é 7. 9. Encontre uma equação da curva que passa pelo ponto (1,1) e cuja inclinação em (x,y) é y2 x3 . 10. Uma população de protozoários se desenvolve com uma taxa de crescimento relativo constante de 0,7944 por membro por dia. No dia zero a população consiste em dois membros. Calcule o tamanho da população depois de seis dias. Cálculo I Prof. Andrés Vercik 3 11. Um habitante comum do intestino humano é a bactéria Escherichia coli. Uma célula dessa bactéria em um meio nutriente de divide em duas células a cada 20 minutos. A população inicial da cultura é de 60 células. a) Encontre a taxa de crescimento relativo. b) Encontre uma expressão para o número de células depois de t horas. c) Calcule o número de células depois de 8 horas. d) Calcule a taxa de crescimento depois de 8 horas. e) Quando a população alcançará 20.000 células? 12. Uma cultura de bactérias começa com 500 bactérias e cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Depois de 3 horas existem 8000 bactérias. a) Encontre uma expressão para o número de bactérias depois de t horas. b) Calcule o número de bactérias depois de 4 horas. c) Calcule a taxa de crescimento depois de 4 horas. d) Quando a população alcançará 30.000? 13. Uma cultura de bactérias cresce com uma taxa de crescimento relativo constante. A contagem era 400 depois de 2 horas e 25.600 depois de 6 horas. a) Qual era a população inicial da cultura? b) Encontre uma expressão para a população depois de t horas. c) Em que período de tempo a população duplica? d) Quando a população alcançará 100.000? 14. A tabela fornece estimativas da população mundial, em milhões, por dois séculos. Ano População Ano População 1750 1800 1850 728 906 1171 1900 1950 1608 2517 a) Use o modelo exponencial e os números da população em 1750 e 1800 para prever a população mundial em 1900 e 1950. Compare com os dados reais. b) Use o modelo exponencial e os dados populacionais para 1850 e 1900 para prever a população mundial em 1950. Compare com a população real. Cálculo I Prof. Andrés Vercik 4 15. Use o modelo exponencial e os dados populacionais para 1900 e 1950 para prever a população mundial em 1992. Compare com a população real de 5,4 bilhões em 1992 e tente explicar a discrepância. 16. (a) Para quais valores não nulos de k a função kt y = sen satisfaz a equação diferencial 0 '' 9 y + y = . (b) Para aqueles valores de k, verifique que todos os membros da família de funções kt B kt A y cos sen + = é também uma solução. 17. Para quais valores de r a função y = ert satisfaz a equação diferencial 0 ' 6 '' = + − y y y .