P1 - Cálculo 1 - 2023-1

UNIVERSIDADE DE SAO PAULO Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos Departamento de Ciências Básicas ZAB CÁLCULO I - 1ª Prova - 17/05/2023 1. Encontre, quando existir o limite, utilizando as Leis de Limite, caso não exista explique por que. (2,0) (a) \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x +4}{x^2+3x-4} \) (b) \(\lim_{x \to 1^-} \frac{2x^3+x}{x-2} \) (c) \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2+3x-3}{\sqrt{3x+2}} \) (d) \(\lim_{x \to 1} \frac{2x^2-x}{x-1} \) 2. Explique porque a função é descontínua no número dado a. Esboce o gráfico da função. (2,0) \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-x}{x-1}, & \text{ se } x \neq 1 \\ x+1, & \text{ se } x = 1 \end{cases} \) a = 1 3. Encontre a derivada da função usando a definição. Diga quais são o domínio da função e da derivada. (2,0) (a) \( f(x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{3} \) (b) \( f(x) = mx + b \) 4. Derive as funções. (3,0) (a) \( f(x) = e^{x^2} \sen 4x \) (b) \( f(x) = (x^2+2) \sqrt{x^2+1} \) (c) \( f(x) = \ln(\cos x) + \sen^7 x \) (d) \( f(x) = \cos(a + x^2) \) (e) \( f(x) = a^x + \sen x^3 \) (f) \( f(x) = e^{(1+\sqrt{x})} \) 5. Admitindo que a equação determina uma função diferenciável f tal que y = f(x), calcule y'. (1,0) \(\sen y^2 - 3xy = 5y^2 \)