Lista 6 - Integrais

Prof. Andrés Vercik 1 Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos Universidade de São Paulo Cálculo I - Lista 6: Integrais Prof. Responsável: Andrés Vercik 1. Determine uma antiderivada das funções dadas. a) f x x ( ) = b) h s s s ( ) = − 1 c) f t e ( ) = −2 d) g x x ( ) = 1 e) f x x x x ( ) = − + − 5 3 4 f) p t e t t ( ) , = − 100 − 50 0 02 g) A r r r ( ) . . = − π π 2 2 h) q s As ( ) , = 0 7 2. Verifique que F x ( )é a antiderivada de f x ( ) . a) f x xex ( ) , = 2 2 F x ( ) = + ex 1 2 c) f x x ( ) , = − 2 1 2 F x x x ( ) = ln − + 1 1 b) f x xe x ( ) , = 2 F x e x x ( ) ( ) = − 2 2 2 d) f x x ( ) = ln , F x x x x ( ) ln = − 3. Determine o valor da constante A que torna F( x ) uma antiderivada de f x ( ). a) f x x F x A x ( ) ( ) , ( ) ( ) = − = − 2 3 2 3 5 6 b) f x x x F x A x ( ) , ( ) ln( ) = + = + 2 2 1 1 c) f x xe F x Ae x x x ( ) , ( ) ( ) = = + − − 1 4. Determine o valor da constante A que tornara verdadeiro o resultado da integração: a) ( ) ( ) 2 1 2 1 5 6 t dt A t c − = − + ∫ b) 3 1 3 1 3 2 x dx A x c + = + + ∫ ( ) c) dt t t A t t c 2 1 − = − + ∫ ln d) te dt Ae c t t − − = + ∫ 2 2 5. Determine os valores das constates A e B que tornam verdadeiro o resultado da integração a) dx x x A x B x c 2 6 2 3 + − = − + + + ∫ ln ln b) te dt Ate Be c t t t 0 1 0 1 0 1 , , , = + + ∫ Cálculo I Lista 6: Integrais Prof. Andrés Vercik 2 6. Determine cinco antiderivadas diferentes da função dada e trace o gráfico das cinco no mesmo sistema de eixos. a) f x ( ) = 2 d) f x x ( ) = − 1 2 b) f x ( ) = −2 e) f x e x ( ) = 2 − c) f x x ( ) = 1 2 f) f x x ( ) = 1 3 7. Determine a integral pedida e verifique se a resposta esta correta derivando o resultado. a) ( ) x x dx 2 3 1 − + ∫ e) y y y dy 2 5 3 + 1 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∫ i) ( ) e e dx 2x + 32 ∫ b) 2 3 ∫ x dx f) tdt ∫ c) e dt t3 ∫ g) e − t dt ∫ 0 5, d) 1 2 ( ) e e dx x x + − ∫ h) ( ) 1 − 2 ∫ t dt 8. Determine a integral indefinida usando a substituição indicada. Verifique se a solução está correta derivando o resultado. a) 2 1 1 2 2 x x dx u x + = + ∫ , f) e dt u t ∫ −t = − , b) ln , ln x x dx u x ∫ = g) e e dt u e t t t ( ) , 2 2 2 + = + ∫ c) 3 4 3 4 x dx u x + = + ∫ , h) 1 1 1 − + = + ∫ x x dx y x , d) x x x dx u x ln( ) , ln( ) 2 2 2 1 1 1 + + = + ∫ i) 1 2 1 e e dx u e oue x x x x + + = + − − ∫ , e) e e dx u e x x x 2 1 1 + = + ∫ , j) ( ) , x e dx u x x x x 2 3 1 3 1 3 1 3 − = − + ∫ − + Cálculo I Lista 6: Integrais Prof. Andrés Vercik 3 9. Determine a integral indefinida. Verifique se a resposta está correta derivando a resposta. a) 2 4 2 x x dx + ∫ g) ( ) 2 5 7 x dx + ∫ m) dt t ∫ lnt b) ( ) x xdx 2 − 3 5 ∫ h) t t dt 3 4 +1 ∫ n) x ∫1+ x dx c) 2 1 1 2 3 x x x dx + + + ∫ ( ) i) x x x dx + + + ∫ 1 2 3 2 o) e e dx x x 2 1+ 2 ∫ d) t e t dt 3 −0 1 4 ∫ , j) e − tdt ∫ 4 p) 1 1 + 13 ∫ x dx e) 3 2 1 x + dx ∫ k) (ln )t t dt 2 ∫ f) ln( ) t t dt 2 ∫ l) e e t ∫ 1+ t dt 10. Resolva o problema de valor inicial. a) 3 (0) ,1 4 = + = y t dt dy b) 3 (2) ,1 4 = + = y t dt dy c) 4 (0) , = + − = − − r e e e e dx dr x x x x d) 4 )1( , 2) ( 2 2 = − = y x x dx dy 11. Nos exercícios a seguir, use o método da integração por partes, escolhendo u e 'v da forma indicada. a) xe xdx ∫ 2 ; u = x , e x v '= 2 b) ∫ lnxdx ; x u = ln , v'= 1 12. Use o método da integração por partes para calcular a integral. a) te dt −t ∫ 2 c) x ∫ 2 ln xdx b) t e dt t 2 − ∫ d) x x dx 3 + 2 ∫ e) x x dx 3 2 +1 ∫ f) t ∫ lntdt g) x x ∫ (ln )2 dx h) t e dt ∫ 3 t i) x x dx 2 + 1 ∫ j) x e dx x 3 2 ∫ Cálculo I Lista 6: Integrais Prof. Andrés Vercik 4 13. Decomponha a fração dada em frações parciais. a) 5) 1)( ( 1 + − x x b) 9 1 2 − x 14. Use o método das frações parciais para calcular a integral. a) ∫ + − 20 9 2 x x dx b) ∫ − t t dt 2 c) ∫ + t t dt 2 d) ∫ + − dt t t 6 1 2 e) ∫ − − ) )( ( b a x x dx , ) ( a ≠ b f) ∫ − / )) ( 1( p k p dp , k constante 15. Determine as integrais a seguir. Verifique se a solução está correta derivando o resultado. a) ∫ + dx x 9)5 (3 b) ∫ +1 4x dx c) ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + dx x x 1 3 4 2 d) ∫ + dt t t 1 4 3 e) ∫ t t + dt 9 2 f) ∫ x ln xdx 6 g) ∫ t − dt 1 1 2 h) ∫ − dt t t 1 2 i) ( ) ∫ − dt t 2 1 1 j) ( ) ∫ − dt t t 2 1 k) ( ) ∫ − dx x x 5 4 3 4 l) ( )( ) ∫ + − + dt t t t 8 2 1 1 2 m) ( ) ∫ + dt e t t4 n) ∫ te t4 dt o) ( ) ∫ + x dx x ln 1 p) ∫ + dx x ln x 1 q) ∫ dt te 5,0 t2 r) ∫ dt t e t5,0 2 s) ∫ + − 2 3 2 x x dx t) ( ) ∫ − e dx x 1 2x u) ( ) ∫ dx x 3 ln v) x dx ∫ ) ln( 3 w) ∫ − t dt t t 3 2 2 x) ( ) ∫ − − dt t te t 2 1 y) ∫ + − e dx e x x 1 1 z) ∫ + ex dx 1 1 aa) ∫ − − dx e e x x 1 bb) dx e e e x x x ∫ + − 3 4 2 Cálculo I Lista 6: Integrais Prof. Andrés Vercik 5 cc) dx x x ∫ + 1 dd) ∫ + dx x x 1 ee) ( )( ) ∫ + − dx x x x 2 1 1 ff) ( )( ) dx x x ∫ + − 3 2 1 16. Resolva o problema de valor inicial. a) 1 (0) ,1 2 = + = y t dt dy b) 1 (0) , = − = − y te t dt dy t c) 2 )1( , ) (ln 2 = − = y t t dt dy d) 0 (0) 2 , 3 1 2 = + + = y t t dt dy e) 0 (0) ,1 3 = + = y t t dt dy f) 1 (0) , 2 2 = + = y dt e e dt dy t t 17. Determine a área sobre o gráfico de f (x) entre a e b por dois métodos: primeiro, por geometria elementar; segundo, usando o teorema fundamental do cálculo. a) 5 ,1 2 , 1 ( ) = = = b a f x b) 3 ,0 ,2 ( ) = = = b a f x c) 4 ,0 2 , ( ) = = = b a x f x d) 3 ,2 3 , ( ) = = = b a x f x e) 1 ,0 ,2 2 ( ) = = + = b a x f x f) 2 ,1 ,8 4 ( ) = = + = − b a x x f 18. Trace o gráfico de f (x) entre a e b e use o teorema fundamental do cálculo para determinar a área sob o gráfico. a) 2 ,0 , ) ( 3 = = = b a x f x b) 2 ,1 ,1 ) ( 3 = = − = b a x f x c) 2 ,0 , 2 ) ( 2 = = − = b a x x f x d) 4 ,1 , ( ) = = = b a x f x e) 2 ,1 1 , ( ) = = + = b a x x f x f) 0 ,3 , 2 3 ) ( 2 = = − − − = b a x x f x g) 3 ,1 1 , ) ( 2 = = = b a x f x h) 3 ,0 ,6 3 ) ( 2 3 = = + − = b a x x f x i) 1 ,1 , ( ) = = − = b a e x f x j) 1 ,1 ,1 2 ) ( 2 4 = = − + − = b a x x f x Cálculo I Lista 6: Integrais Prof. Andrés Vercik 6 19. Calcule a integral definida usando o teorema fundamental do cálculo. a) ∫ − 1 0 3) ( dx x x b) ∫− x x dx − 1 1 3) ( c) ∫ − 3 1 ) 1( x x d) ∫− 1 3xdx e) ∫ + − 2 0 2 3 3 ) 4 ( x dx x x f) dx e x )1 ( 1 1∫− − g) ∫ − 4 0 3 4 ) 4 ( dx x x h) ∫ − − 1 2 1 dx x i) x dx ∫− 1 1 3 1 j) ∫ − 1 0 ) 2 (3 dx e x x