Lista 7 - Integrais 2

Prof. Andrés Vercik 1 Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos Universidade de São Paulo Cálculo I - Lista 7: Integrais II Prof. Responsável: Andrés Vercik 1. Use o teorema fundamental do calculo para achar a derivada da função. a) tdt g x x∫ + = 0 2 1 ( ) b) = ∫ x tdt g x 1 ln ( ) c) = ∫ y t sentdt g y 2 2 ( ) d) ∫− + = u dx x x g u 1 2 1 ( ) e) = ∫ 2 cos( 2) ( ) x dt t g x f) ∫ ( ) = 10 x tg d g x θ θ g) = ∫ x arctgtdt x g 1 2 ( ) h) r dr g x x∫ + = 2 0 3 1 ( ) i) dt t t y x ∫ = 3 cos j) ∫ + = x sent dt t y cos 1 ) ( k) ∫ − + = 1 1 3 2 3 x1 du u u y l) = ∫ 0 3 ex sen tdt y 2. Use teorema fundamental do calculo para calcular a integral, ou explique o porquê não existe. a) dx x 5 3 ∫−1 b) ∫ + 8 2 )3 (4 dx x c) ∫ 4 0 xdx d) ∫ − 2 1 x 2dx e) ∫ − + 4 0 2) 3 1( dy y y f) dx ∫ x 1 0 7 3 g) dt t ∫ 2 1 4 3 h) dt ∫− t 1 1 4 3 i) ∫ + 3 3 5 2dx x j) ∫ π π θ θ 2 cos d k) dx x ∫− 2 4 6 2 l) ∫ 4 1 1 dx x m) ∫ 3 4 π π sentdt n) ∫ + 1 0 ) (3 x x dx o) ∫ π π θ θ 4 sec2 d p) xdx ∫ 9 1 2 1 q) exdx ∫ 6 ln 3 ln 8 r) t dt ∫ 9 82 s) ∫ − − e e dx x 2 3 t) ∫ + 3 1 2 1 6 dx x u) ∫ 5,0 0 3 dx x Prof. Andrés Vercik 2 3. Calcule as seguintes integrais: a) ∫ 2 0 ( ) f x dx , onde ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ ≤ = 2 1 1 0 ( ) 5 4 x se x x se x f x b) f x dx ( ) −∫ π π , onde ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ ≤ − = π π x se senx x se x f x 0 0 ( ) 4. Ache a derivada da função: a) du u u g x x ∫ x + − = 3 2 2 2 1 1 ( ) b) ∫ + = 2 4 2 1 ( ) x tgx dt t g x c) y t tdt x x = ∫ sen 3 d) y u du x x = ∫ cos( ) cos 2 5 5. Encontre a área das seguintes regiões. a) 2 ,1 , 9 1 , 2 = = − − = + = x x x y x y b) 2 ,0 , , = π = = = x x e y senx y x c) y x y x = = , 2 d) y x y x = = 2 4 , e) y x y x x = = = 1 1 2 2 , , f) y x y x = + = + 1 3 3 , ( ) g) y x y x = = 2 2 h) y x y x = = , 3 i) y x y x = = + 4 3 2 2 , j) y x x y x = − = 3 3 , k) y x y x x x = + = + = − = 1 1 1 2 2 , ( ) , , l) y x y x x x = + = − = − = 2 2 1 3 2 2 , , m) y x x y 2 2 3 = − = , n) y x x y y = = = = 1 0 1 2 , , , o) x y x y = − = − 1 1 2 2 , p) y x y x x x = = = − = cos , sec , , 2 4 4 π π q) y x y x x x = = = = cos , sen , , 2 0 2 π r) y x y x x x = = = = sen , sen , , 2 0 2 π s) y x y x = = − cos , 1 2 π t) y x y x = = − , 2 2 u) y x y x = = + 2 2 2 1 , ( ) v) y x y x x x = = − = sen , , π 2 2 Cálculo I Lista 7: Integrais II Prof. Andrés Vercik 3 6. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados. Esboce a região, o sólido e um disco típico ou arruela. a) ;0 ,1 2, = = = y x x y ao redor do eixo x. b) y e y x x = x = = = , , , ; 0 0 1 ao redor do eixo x. c) y x x x y = = = = 1 1 2 0 , , , ; ao redor do eixo x. d) y x x x y = − = = = 1 2 5 0 , , , ; ao redor do eixo x. e) y x x y x = ≤ ≤ = = 2 0 2 4 0 , , , ; ao redor do eixo y f) x y y x = − = 2 0 , ; ao redor do eixo y g) y x y x = = 2 2 , ; ao redor do eixo x. h) y x y x x = = = − = sec , , , ; 1 1 1 ao redor do eixo x. i) y x x y = = = 23 1 0 , , ; ao redor do eixo y. j) y x y x = = , ; ao redor do eixo y. k) y x y = = 2 4 , ; ao redor de y=1. l) y x y = = 4 1 , ; ao redor de y=4. m) y x y x x = = = = 1 0 1 3 , , , ; ao redor de y=2. n) x y x = = 2 1 , ; ao redor de y=-1. o) y x x = = , ;1 ao redor de x=1. p) y x y x = = , ; ao redor de x=2. q) y x x y = = 2 2 , ; ao redor de x=-1. r) y x y x x = = = = , , , ; 0 2 4 ao redor de x=1. 7. Escreva, mas não calcule, uma integral para os valores dos sólidos obtidos pela rotação da região limitada pelas curvas dadas e ao redor das retas especificadas. a) ;1 ,1 ln , = = = x y x y ao redor do eixo x . b) y x y x = − = = 1 0 5 , , ; ao redor do eixo y. c) y y x x = = ≤ ≤ 0 0 , sen , π; ao redor de y=1. Cálculo I Lista 7: Integrais II Prof. Andrés Vercik 4 d) y y x x = = ≤ ≤ 0 0 , sen , π; ao redor de y=-2. e) x y x 2 2 1 3 − = = , ; ao redor de x=-2. f) 2 3 6 1 4 2 x y y x + = − = − , ( ) ao redor de x=-5. 8. Encontre o volume do sólido descrito. a) Um tronco de cone circular reto de altura h , raio da base inferior R e raio de base superior r . b) Uma calota de uma esfera de raio r e altura h . c) Um tronco de pirâmide com base quadrada de lado b , topo quadrado de lado a e altura h . r R h r h a b h Cálculo I Lista 7: Integrais II Prof. Andrés Vercik 5 9. Seja S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura ao redor do eixo y . Explique por que é inconveniente fatiar para obter o volume V de S. Esboce uma casca cilíndrica típica de aproximação. Qual é a circunferência e a altura? Use cascas para encontrar o volume V. 10. Seja S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura ao redor do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica, e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume de S. Você acha que esse método é preferível ao fatiamento? 0 1 y x 2)1 ( − = x x y 0 y x π ) sen ( x2 y = Cálculo I Lista 7: Integrais II Prof. Andrés Vercik 6 11. Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação ao redor do eixo y da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região e a casca típica. a) 2 ,1 ,0 , 1 = = = = x x y x y b) 1 ,0 2, = = = x y x y c) 1 ,0 ,0 , 2 = = = = − x x y e y x d) 6 6 10, 6 2 2 − + = − + − = x x y x x y e) y x x y 2 , 2 = = 12. Seja V o volume de um sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região limitada por x y = e y = x2 . Encontre V pelos métodos de fatiamento e cascas cilíndricas. Em ambos os casos, desenhe um diagrama para explicar o seu método. 13. Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas ao redor do eixo x . Esboce a região e a casca típica. a) 2 ,1 ,0 , 1 2 = = = = + y y x y x b) 1 ,0 , = = = y x y x c) 9 2, = = y x y d) 0 ,0 6 2 = = + − x x y y e) 2 ,0 , = + = = y x y x y f) ( 1)2 4 ,3 − − = = + y x y x 14. Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação de região limitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados. Esboce a região e uma casca típica. a) ;2 ,1 ,0 2, = = = = x x y x y ao redor de x = 1 b) ;1 ,2 ,0 2, = − = − = = x x y x y ao redor do eixo y c) ;2 ,1 ,0 2, = = = = x x y x y ao redor de x = 4 d) ; 2 8 , 4 2 2 x x y x x y − = − = ao redor de x = −2 e) ;5 ,0 ,1 = = − = x y x y ao redor de y = 3 f) ; , 2 2 y x x y = = ao redor de y = −1 Cálculo I Lista 7: Integrais II Prof. Andrés Vercik 7 15. Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume de um sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados. a) ;2 ,0 ln , = = = x y x y ao redor do eixo y b) ; 4 , x2 x y x y − = = ao redor de x = 7 c) ( 2); sen 4, x y x y π = = ao redor de x = −1 d) ( ) ;2 ,0 ,0 , 1 1 2 = = = + = x x y x y ao redor de x = 2 e) 0 , 0 sen , = ≤ ≤ = x y y x π ; ao redor de y = 4 f) ;4 ,7 2 2 = = − x y x ao redor de y = 5 16. A região limitada pelas curvas dadas é girada ao redor dos eixos especificados. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. a) ;0 ,2 2 = − + = y x x y ao redor do eixo x b) ;0 ,2 3 2 = + − = y x x y ao redor do eixo x c) ( ); 4 ,5 x x y y + = = ao redor de x = −1 d) ;0 , 1 4 = = − x y x ao redor de x = 2 e) ( ) ;1 1 2 2 = x + y − ao redor do eixo y f) ( ) ;1 1 2 2 = x + y − ao redor do eixo x 17. Encontre o valor médio da função no intervalo dado. a) ( ) [ ,1 ]1 2, − f x = x b) ( ) [ ,1 4] 1 x, f x = c) ( ) [ 2] ,0 cos , π x g x = d) ( ) [ ,1 4] ,x g x = e) ( ) [ ,0 5] , 2t te f t − = f) ( ) [ 4] ,0 , sec π θ θ θ tg f = g) ( ) [ ,0 π ] cos4 sen , x x h x = h) ( ) ( ) [ ,1 6] , 3 1 r 2 h r + = 18. i) Encontre o valor médio de f no intervalo dado. ii) Encontre c tal que ( ) fméd = f c . iii) Esboce o gráfico de f e um retângulo cuja área é a mesma que a área sob o gráfico de f . a) ( ) [ 0 2] , 4 x f x − = b) ( ) [ ,0 2] ex, f x = Cálculo I Lista 7: Integrais II Prof. Andrés Vercik 8 19. Use a fórmula do comprimento de arco para encontrar o comprimento da curva .1 2 3 , 2 ≤ ≤ − − = x x y Verifique sua resposta notando que a curva é um segmento de reta e calculando seu comprimento pela fórmula da distância. 20. Use a fórmula do comprimento de arco para achar o comprimento da curva 2 , 0 4 2 ≤ ≤ − = x x y . Verifique sua resposta notando que a curva é um quarto de círculo. 21. Ache o comprimento de arco da curva dada do ponto A ao ponto B. a) ( ) ( ) ( )1 ,2 ,1 0 , 1 3; 2 B A x y − = b) ( ) ( , 2) , 1, ;3 4 12 24 67 12 7 4 B A y xy + = 22. Calcule o comprimento da curva a) ( ) 1 0 , 2 3 2 2 3 1 ≤ ≤ + = x x y b) 4 2 4 , ln 2 2 ≤ ≤ − = x x x y c) 3 1 , 8 1 4 2 4 ≤ ≤ + = x x x y d) ( ) 9 0 3 , 3 1 ≤ ≤ − = y y y x e) ( ) 4 0 , ln sec ≤π ≤ = x x y f) ( ) 3 6 , ln sen π π ≤ ≤ = x x y g) ( ) 2 1 2 , 0 ln1 ≤ ≤ − = x x y h) 3 1 ln , ≤ ≤ = x x y i) 1 0 cosh , ≤ ≤ = x x y j) 2 0 4 , 2 ≤ ≤ = y x y k) 1 0 , ≤ ≤ = x e y x l) , , 1 1 ln b x a e e y x x ≤ ≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = a > 0 23. Monte, mas não avalie, uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva ao redor do eixo dado. a) eixo x x x y ;3 1 ln , ≤ ≤ = b) eixo x x x y 2; sen2 , 0 ≤ π ≤ = c) eixoy x x y 4; sec , 0 ≤π ≤ = d) eixo y y e y x ;2 , 1 ≤ ≤ = Cálculo I Lista 7: Integrais II Prof. Andrés Vercik 9 24. Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva ao redor de eixo x . a) 2 0 3, ≤ ≤ = x x y b) 8 0 ,4 4 2 ≤ ≤ + = x x y c) 9 4 , ≤ ≤ = x x y d) 4 1 2 , ln 4 2 ≤ ≤ − = x x x y e) ≤ π ≤ = x x y 0 sen , f) 6 0 cos2 , ≤π ≤ = x x y g) 1 0 cosh , ≤ ≤ = x x y h) 8 1 , 3 2 2 3 ≤ ≤ = x x y i) ( ) 2 1 , 2 3 2 2 3 1 ≤ ≤ + = y y x j) 2 1 , 2 1 2 ≤ ≤ = + y y x 25. A curva dada é girada ao redor do eixo y . Calcule a área da superfície resultante. a) 2 1 , 3 ≤ ≤ = y x y b) 1 0 , 1 2 ≤ ≤ = − x x y c) 2 1 2 0 , ≤ ≤ = y e x y d) 1 0 , 2 2 ≤ ≤ − = y y y x e) ( ) 2 1 , ln 2 2 1 2 ≤ ≤ − = y y y x f) ( ) a y a y a a x ≤ − ≤ = , cosh