Exercícios 1 - Análise Vetorial 2020-1

Analise Vetorial Exercicios 1 Professor: Walberto Guzman Ramirez 15/09/2020 1. Mostre que a curva com equagoes paramétricas x = tCos(t), y = tSen(t), z = t, esté na superficie com equacao 2” = x? + y? (Cone). Sugestao: Mostre que as equagdes paramétricas satisfazem a equagao da superficie 2. Mostre que a curva com equacédes paramétricas x = t?, y = 1— 3t, z = 1+4+#° passa pelos pontos (1, 4,0) e (9, —8, 28) e nao passa pelo ponto (4,7,-6). Sugestao: Encontre tg tal que 7(tg) seja igual ao ponto, se nao for possVel, a curva nao passa pelo ponto 3. Mostre que a curva com equagoées paramétricas x = Sen(@), y = 6, z = Cos(@) nao passa pela origem e passa pelos pontos (0,7, —1) e (1,7/2,0). Determine em qual superficie a curva esta. 4. Mostre que a curva da equacaéo vetorial 7(s) = \/1 — 4Cos?(s) Cos(s) i+./1 — 4Cos?(s) Sen(s) j+ 2Cos(s) k, estA na superficie de uma esfera. Sugestao: Mostre que as equagdes paramétricas da curva satisfazem a equagao da superficie 5. Mostre que a curva da equacao vetorial 7(s) = (+s) 7+t Cos(3s) 7 +t Sen(3s) k, esta na superficie de um cilindro circular. Qual é 0 raio do cilindro?. Determine a fungao vetorial que representa a curva obtida pela interseccao das duas superficies: 6. O cilindro x? + y? = 4 e a superficie z = xy. Resposta: F(t) = 2Sen(t) i + 2Cos(t) j + 4Sen(t)Cos(t) k, (0 <t < 2m) 7. O cone z= \/x?+y? eo plano z=1+y. Resposta: 74 (t) = +714 2t i+t j + (1+ t) k, (-4 <t) 8. O plano z = 2— y com a metade superior do elipsdide x? + 4y? + 427 = 16. Resposta: 74(t) = +V8/2t —t2 i4+¢j4+(2-t)k, (0<t <2) 9. A metade superior do cone z? = 4x? + 2y? e a esfera x? + y? + 27 = 3. Resposta: 74 (t) =ti++/1 — (5/3)t2 9 + V/(2/3)t? +2 k, (-\/3/5 < t < 3/5) 10. A metade superior do cone 2? = 4x? + 2y? e o cilindro x? + y? = 3. Resposta: F(t) = V3Cos(t) i+ V3Sen(t) j + /12Cos?(t) + 6Sen2(t) k, (0 < t < 27) 11. A metade superior do Hiperboldide 3x? + 2y? — 27 = 1 e a esfera unitaria. Resposta: 74 (t) = (t, £V/1/3V2 — 4t?, /1/3Vt? +1), (-V1/2 < t < V/1/2) 1