Exercícios Semana 12 - Análise Vetorial

Andlise Vetorial Professor: Walberto Guzman Ramirez Exercicios: Semana 12 Coordenadas esféricas 1. O campo elétrico (campo vetorial) produzido por duas cargas, uma carga positiva q na posicaéo r, = (0,0,1) e outra carga negativa —q na posigéo 7_ = (0,0, —1), tem a forma E(a,y,2) = Ex(x,y, 2) + E_(2,y, 2) (1) onde =~ x > y 3 z—1 ~ E(x, y, 2) = kg | —————__, i+. ————__,, j +. —————__, k], (2) +P +(e] 9 erty +(e er y+ (2-7 a x 3 y 3 ztl1 ” E_(x,y, 2) = —kq | ——————_, i+. ——————__,, j + —————_ k | , (3) erty tse © reyes re” w+ + (e+ IPH sendo k uma constante. i) Transforme o campo vetorial para coordenadas esféricas ii) Calcule a divergéncia do campo em coordenadas esféricas Resp. i) Eslo, y,0) = Ges l(p F cosp)p + seny ¢I. iii) V- Es, =0. 2. Calcule a divergéncia do campo vetorial ry 2 3 2 ~ 2 3 2 * 2 3 2 Ah H(p,p,0) = —p’dsen"(p) p+ —pOsen"(y) 6+ —pdsen(p) @ 10 10 10 no ponto (p, y, 9) = (2, 30°, 90°). Resp. 3,6032 3. Calcule o rotacional do campo vetorial A(p, y, 0) = 2pcos(y)p — 3psen(y)¢. Resp. —4sen(y)6 Coordenadas cilindricas 4. Para uma fungao escalar em coordenadas cilindricas w)(p, 0,2), 0 gradiente é calculado como: - Ow 1low- OW d 0 =V 0,z) = p+ -—0+4+ —z%. 4 grad |b(p, 0, z)] = Vv(p, 4, 2) Dp * p00) Oz" (4) i) Transforme a fungao escalar f(x,y, z) = \/a? + y? + 2? para coordenadas cilindricas e calcule V f(p, 9, 2). ii) Calcular o gradiente de w(p, 0, z) = pO + 320. o> _ p+z% Resp. i) Vf(p,9,z) = Vor ii) Vib(p, 9, z) = 06 + (1 + *2)0 + 36%. 1 5. Para um campo vetorial em coordenadas cilindricas F(p,9, 2) = F,(p,0,2)p + Fo(p, 0, 2)6 + F.(p,0, z)@, os operadores div F(p, 0,z) e rot F(p, 6, z) sao calculados como: . 10(pF,) 10F9 OF, div F(p,0,z) = —-——" + -=— 4+ = 5 iv F(p,0, 2) 5 ap tp aot ds” (5) . 10F. OFs OF, OF.\, 1(A(pF) OF,\. t F'(p,0,z) = | -~- - — ]/ —*§ — —* }@+-(—_~ — —* jz. 6 rot F(p, 6,2) ( 00 me) e+ (5 ms +3( Op ag)” (6) i) Transforme o campo vetorial (1) para coordenadas cilindricas. ii) Calcule a divergéncia do campo (1) em coordenadas cilindricas. iii) Calcule 0 rotacional do campo vetorial (1) em coordenadas cilfndricas. Resp. i) Es(9,6,2) = pee apyzl(e P +(e ¥ 1) 4. ii) V- E(p, 0, z) =0. 6. Calcule a divergéncia do campo vetorial B(p, 0, 2) = 2226 + 5p — 3p? Resp. 2z7/p 7. Calcule a divergéncia do campo vetorial A(p,0,z) = 2pcos(6)p — psen(0)0 + 42%, no ponto (2, 7/2, 1). Resp. 4 8. Calcule o rotacional dos campos vetoriais: i) A(p, 0, z) = 2pcos(0)p — 4psen(0)6 + 32. ii) B(p, 0, z) = 2227p + 5pb — 397%. Resp. i) —6sen0Z. ti) (4z + 6p)0. 9. Dado el campo (funcao) escalar f(p, 0, z) = pcos?(0) + zsen(0) i) Calcule 0 gradiente de f(p,6, z) em coordenadas cilindricas. ii) Transforme f e calcule o gradiente de f em coordenadas retangulares. iii) Transforme f para coordenadas esféricas e calcule o gradiente de f em coordenadas esféricas. Resp. i) VF (p,8, 2) = cos?(9)p + 2 —2ne0s sen 9 + son(9)z, 3 2» 2? 207 — 2? * A i) Vile.u2) = Gapped + Gael + Gapaek, iti) Vf (p, 6,0) = (cos?0 seny+cospsend)p+(cos*Ocosp—senysend)P—(2cosbsend—cosycosb /seny)6 2