Análise do Caso Geral para Elementos com Múltiplas Incógnitas

VI4 CASO GERAL PARA ELEMENTOS QUE PODEM TER MAIS DE UMA INCÓGNITA POR NÓ Neste caso temse U H Ue onde U vetor que contém as incógnitas de um ponto qualquer do elemento H matriz que contém as funções de interpolação para aproximar as incógnitas Ue vetor que contém os valores das incógnitas nos n pontos nodais usados para aproximar as incógnitas no elemento Se as incógnitas são deslocamentos têmse para elementos tipo C0 os casos usuais que se seguem CASO 1D Treliças U u nh h h 2 1 H n e u u u 2 1 U n i i hi u u 1 Ex n 2 CASO 2D EPT EPD v u U n n n h h h h h h h h h I I I H 2 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 n n e v u v u v u 2 2 1 1 U n i i hi u u 1 n i i hi v v 1 Ex n 4 CASO 3D Sólidos tridimensionais w v u U n n n n h h h h h h h h I I H 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n e w v u w v u 1 1 1 U n i i hi u u 1 n i i hi v v 1 n i i hi w w 1 CASO DE VIGAS Considerando flecha rotação com v e independentes v U n n n h h h h h h I I H 1 1 1 0 0 0 0 n n e v v v 2 2 1 1 U n i i hi v v 1 n i i ih 1 Ex n 2 CASO DE PLACAS Considerando w flecha x e y rotações com w x e y independentes y x w U n n n n h h h h h h h h I I H 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n y n x n y x e w w 1 1 1 U n i i hi w w 1 n i i x i x h 1 n i i y i y h 1 Ex n 4 VI5 AS COORDENADAS COMO FUNÇÃO DAS COORDENADAS NODAIS X M X e onde X vetor que contém as coordenadas cartesianas de um ponto qualquer do elemento M matriz que contém as funções de interpolação para aproximar a geometria em coordenadas naturais X e vetor que contém as coordenadas cartesianas dos m pontos nodais usados para aproximar a geometria do elemento CASO 1D X x Mm M M 2 1 M m e x x x 2 1 X m i i Mi x x 1 CASO 2D y x X m m m M M M M M M M M I I M 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 m m e y x y x 1 1 X i m i Mi x x 1 i m i Mi y y 1 CASO 3D z y x X m m m m M M M M M M M M I I M 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m m m e z y x z y x 1 1 1 X i m i Mi x x 1 i m i Mi y y 1 i m i Mi z z 1 VI6 ELEMENTOS CURVOS As coordenadas naturais podem ser distorcidas originando um novo sistema de coordenadas curvilíneas quando plotadas em um sistema de coordenadas cartesianas CASO 2D VI7 ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS Sejam X M X e U H Ue Os elementos isoparamétricos possuem m n e M H Assim podese escrever X H Xe VI8 MATRIZES DOS ELEMENTOS EM RELAÇÃO ÀS COORDENADAS NATURAIS r s t Sejam d d T F B CB K d d P a Como as funções de interpolação são definidas em termos das coordenadas naturais é necessário relacionar as derivadas em relação a x y e z com as derivadas em relação a r s e t Sejam x f1 r s t y f2 r s t 1 z f3 r s t e as relações inversas r f4 x y z s f5 x y z 2 t f6 x y z Usando a regra da cadeia podemse escrever t z z h t y y h t x x h t h s z z h s y y h s x x h s h r z z h r y y h r x x h r h i i i i i i i i i i i i ou em forma matricial z h y h x h t z t y t x s z s y s x r z r y r x t h s h r h i i i i i i ou seja x J h r h i i onde J operador jacobiano ou matriz jacobiana que relaciona as derivadas em relação às coordenadas naturais r s e t com as derivadas em relação às coordenadas cartesianas locais x y e z Devese observar que o Jacobiano pode ser facilmente encontrado usandose as equações X M X e ou seja i i i i i i i i i i i i i i i i i i z t M y t M x t M s z M y s M s x M r z M y r M r x M J Porém precisase de x hi e usase r h J x h i i 1 Essa inversa existe desde que haja uma correspondência biunívoca entre as coordenadas naturais e as coordenadas cartesianas locais do elemento como expressas pelas equações 1 e 2 Por exemplo quando o elemento possui ângulos internos maiores do que 180o ou dobrar sobre si mesmo o jacobiano fica singular e não pode ser invertido b O elemento de domínio ou de contorno sobre o qual a integração é feita precisa ser expresso em termos das coordenadas naturais com adequada mudança nos limites de integração dx dy dz d dr ds dt d det J onde det J determinante do operador jacobiano s t r xyz J det det Então s t dr ds dt r dr ds dt d s t r T T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 det F J B CB B CB K F Obs Apesar dos elementos de F dependerem de r s e t a expressão não é explicitamente calculada O inverso do jacobiano não é determinado explicitamente A integração é feita para o elemento em forma de prisma ou quadrilátero ou reta e não na forma distorcida Para as matrizes B P S P e IP o procedimento é análogo Sendo U H Ue ε H εe então 1 1 1 1 1 1 det dr ds dt d s t r T T B B F J H b H b P 1 1 1 1 det dr ds d s s r s T T s S S F J p H p H P dr ds dt d s t r I T I T I I 1 1 1 1 1 1 det F J B σ B σ P VI9 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA As matrizes requeridas na análise com elementos finitos têm a forma dr F r para 1D r s dr ds F para 2D s t dr ds dt r F para 3D Essas integrais são calculadas na prática usandose integração numérica n i i i r r dr R F F n j i j i i j r s r s dr ds R F F n k j i j k i k i j r s t r s t dr ds dt R F F onde k j i fatores de peso tabelados k j i t r s coordenadas naturais dos pontos de integração tabeladas n R matrizes de erro na prática não são calculadas