Funções de Interpolação para Elementos Tridimensionais e Triangulares

c Funções de interpolação para elementos tridimensionais prismáticos retangulares São análogas às do caso bidimensional Os polinômios de Lagrange tridimensionais são obtidos por meio da composição dos polinômios em cada uma das três direções Para elemento linear a x a x Q 2 1 1 b y b y R 2 1 1 c z c z S 2 1 1 xyz zx yz xy z y x a b c xyz a b c yz b a c xz b c z a c a b xy a c b y b c a x b c a c z a b xy c a b y b a x a b Q R S x y z P 8 7 6 5 4 3 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 y L z x L L z y u x P x y z p K m J n I K J I p m n J K I 1 1 1 1 A função local no ponto nodal xI yJ zK é y L z x L L x y z h h p K m J n I IJK i d Funções de interpolação para elementos em forma de triângulos Termos gerados por uma expansão para um triângulo Elemento triangular linear ordem 1 y x u 3 2 1 1 Em forma matricial u Aα onde y A 1 x 3 2 1 α 1 1 1 0 u a u u x y 2 2 2 0 u u b y u x 3 3 3 0 u h u u x y Escrevendo a equação 1 para esses pontos temse 2 1 1 a u 2 1 2 b u 3 1 3 h u Em forma matricial Cα U e ou 3 2 1 3 2 1 0 1 0 1 0 1 h b a u u u Podese escrever U e C α 1 onde h b a a h h b a b b a 0 1 1 0 1 C 1 Assim e u C U A H 1 e u H U onde h b y a h y a x a h y b x b b a 1 H Assim 3 3 2 2 1 1 h u h u hu u com h y b x b b a h 1 1 h y a x b a a h 1 2 h y h 3 Coordenadas de Área ou coordenadas triangulares Seja um triângulo de área A e um ponto P qualquer no interior do triângulo Os valores das áreas A1 A2 e A3 são únicos para cada ponto do triângulo sendo 3 2 1 A A A A 2 Assim podem ser definidas as coordenadas de área A A A A A A 3 3 2 2 1 1 3 Somando as expressões 3 e usando 2 obtémse 1 1 2 3 4 Logo podese trabalhar com duas coordenadas e calcular a terceira pela expressão 4 Alguns valores de interesse Relação entre as coordenadas de área e as coordenadas cartesianas Considerando a área do triângulo 3 3 2 2 1 1 1 1 1 2 1 y x y x y x A Podese escrever A y x y x y x A A 3 3 2 2 1 1 1 1 1 2 1 A y x y x y x A A 3 3 1 1 2 2 1 1 1 2 1 A y x y x y x A A 1 1 1 2 1 2 2 1 1 3 3 ou seja 2 3 3 2 2 3 3 2 1 2 1 x y x y y x x x y y A 3 1 1 3 3 1 1 3 2 2 1 x y x y y x x x y y A 1 2 2 1 1 2 2 1 3 2 1 x y x y y x x x y y A Em forma mais compacta 13 12 11 1 C y C x C 23 22 21 2 C y C x C 33 32 31 3 C y C x C Em forma matricial 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 2 1 y x C C C C C C C C C 5 onde 2 3 3 2 13 2 3 12 3 2 11 2 1 2 1 2 1 x y A x y C x A x C y A y C 1 3 3 1 23 3 1 22 1 3 21 2 1 2 1 2 1 x y A x y C x A x C y A y C 2 1 1 2 33 1 2 32 2 1 31 2 1 2 1 2 1 x y A x y C x A x C y A y C Invertendo a expressão 4 obtémse 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 1 1 1 y y y x x x y x donde 3 1 3 3 2 2 1 1 i i ix x x x x 3 1 3 3 2 2 1 1 i i iy y y y y Para elemento triangular linear i i i h u h u h u h u u 3 1 3 3 2 2 1 1 onde hi funções lineares em 1 2 3 e têm valor 1 no ponto nodal i considerado e zero nos demais pontos nodais do elemento 1 3 1 i i h Funções que satisfazem as condições acima 1 1 h 2 2 h 3 3 h Para elemento triangular quadrático i i i h u u 6 1 hi funções quadráticas em 1 2 e 3 com valor 1 no ponto nodal considerado e zero nos demais pontos nodais do elemento 1 6 1 i i h Funções de interpolação 1 3 6 3 3 3 3 2 5 2 2 2 2 1 4 1 1 1 4 1 2 4 1 2 4 1 2 h h h h h h