Teoria de Flexão de Placas: Hipóteses e Deformações

VII6 FLEXÃO DE PLACAS Hipótese cinemática básica da teoria de flexão de placas excluindo o efeito de deformações cisalhantes Partículas da placa originalmente situadas sobre uma linha reta normal à superfície média indeformada permanecem sobre uma linha reta e normal à superfície média deformada Deslocamentos generalizados Deslocamento transversal flecha w Rotações x x w x w y y w y w Neste caso as deformações cisalhantes zx e zy são consideradas nulas Para elementos formulados com esta teoria w é a única variável e a continuidade de deslocamentos entre elementos requer que w dwdx e dwdy sejam contínuos Hipótese cinemática básica da teoria de flexão de placas incluindo o efeito de deformações cisalhantes transversais Partículas da placa originalmente situadas sobre uma linha reta normal à superfície média indeformada permanecem sobre uma linha reta durante a deformação mas esta linha não é necessariamente normal à superfície média deformada Deslocamentos generalizados Deslocamento transversal flecha w Rotações da normal à superfície média indeformada nos planos xz e yz respectivamente zx x zx x w x w yz y yz y w y w As componentes de deslocamento u v e w de um ponto de coordenadas x y e z são no caso de pequenos deslocamentos x y z u x x y z v y w w x y As deformações de flexão variam linearmente ao longo da espessura da placa e são dadas por x y y x z y x y x xy yy xx ε As deformações cisalhantes transversais são supostamente constantes ao longo da espessura da placa e são dadas por x y zx yz x w y w γ O estado de tensão na placa corresponde às condições do estado plano de tensões e neste caso zz 0 Considerando material isótropo podese então escrever x y y x E z y x y x xy yy xx 2 1 0 0 0 1 0 1 1 2 σ x y zx yz x w y w E 2 1 τ O funcional do potencial total para um elemento de placa considerando os efeitos das deformações cisalhantes é A A h h T A h h T wp dA dzdA k dA dz 2 2 2 2 2 2 1 γ τ ε σ sendo p carga transversal por unidade de área k fator de correção de cisalhamento Então das equações anteriores obtémse A A s T A b T wp dA dA dA γ C γ χ C χ 2 1 2 1 onde x y y x y x y x χ x y x w y w γ 2 1 0 0 0 1 0 1 12 1 2 3 Eh Cb 1 0 0 1 2 1 hk E Cs sendo Cb e Cs matrizes de constantes elásticas de flexão e de cisalhamento respectivamente Substituindo as correspondentes expressões que aparecem nas integrais e fazendo a extremização do funcional obtémse A A s T A b T w p dA dA dA 0 γ C γ χ C χ Sejam as aproximações para os deslocamentos em cada elemento e k n k e hk w w e 1 e k x n k e k x e h 1 e k y n k e k y e h 1 onde e kh funções de interpolação bidimensionais en número de nós no elemento e Têmse também e r s B U χ e r s B U γ e w w r s H U com e e e n y n x n y x e w w 1 1 1 U 0 0 0 0 1 e w h h H Matriz de rigidez do elemento 1 1 1 1 det dr ds s T b T J B C B B C B K Vetor de cargas do elemento 1 1 1 1 det dr ds p T w J H P Estes elementos são eficientes se usados como elementos de alta ordem especialmente os elementos quadrilaterais Lagrangeanos de 9 a 16 nós Os elementos de baixa ordem são muito rígidos para simular placas delgadas fenômeno de locking do elemento Exemplo com elemento de 4 nós 4 1 i hi xi x 4 1 i hi yi y 4 1 i i hi w w 4 1 i i x i x h 4 1 i i y i y h onde 1 4 1 1 1 s r h 1 4 1 1 2 s r h 1 4 1 1 3 s r h 1 4 1 1 4 s r h Têmse também 1 0 0 2 3 s y s x r y r x J 1 0 0 3 2 1 J Logo 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 0 0 3 2 w w w w r r r r s s s s w w w w s h s h s h s h r h r h r h r h s w r w y w x w j j j j j j j j ij ij ij ij J J 4 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 0 0 3 2 x x x x j j j j j j j j ij x x ij ij x x r r r r s s s s s r y x J 4 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 0 0 3 2 y y y y j j j j j j j j ij y y ij ij y y r r r r s s s s s r y x J Então s r s r r r s s 6 1 1 4 1 1 0 6 1 1 4 1 1 0 4 1 1 0 0 4 1 1 0 0 0 6 1 1 0 0 6 1 1 0 B 0 1 4 1 1 6 1 1 0 1 4 1 1 6 1 1 1 4 1 1 0 4 1 1 1 4 1 1 0 4 1 1 s r s s r s s r r s r r B 0 0 1 1 0 0 1 4 1 1 s r s r w H Com isso podemse determinar a matriz de rigidez e o vetor de cargas para o elemento substituindo nas expressões correspondentes a K e P