Princípios Variacionais e Relações Básicas da Elasticidade Linear

III PRINCÍPIOS VARIACIONAIS III1 NOTAÇÃO CARTESIANA INDICIAL os índices 1 2 3 são usados em referência aos eixos x y e z respectivamente a repetição de um índice em um termo indica somatório Índice mudo é aquele que se repete em um termo Índice livre é aquele que não se repete em um termo Obs Para 3D os índices variam de 1 a 3 e para 2D variam de 1 a 2 Exs para 3D 3 3 2 2 1 1 a a a a a a a a i i 33 22 11 a a a aii 3 3 2 2 1 1 j j j iji a a a a 3 3 2 2 1 1 b c b c b c b c a i i i j ij i As derivadas em relação a ix são indicadas por vírgulas Ex 3 3 2 2 1 1 j j j i ij i ij A A A A x A Símbolo de Kronecker j i j i ij para 0 para 1 Exs 22 1 e 12 0 III2 RELAÇÕES BÁSICAS DA ELASTICIDADE LINEAR No caso de um sólido deformável temse domínio volume u parte do contorno superfície onde há deslocamentos prescritos parte do contorno superfície onde há forças prescritas contorno total u Em um ponto qualquer do domínio atuam u vetor de deslocamentos com componentes k u b vetor de forças de domínio com componentes kb σ tensor de tensões com componentes ij Em um ponto qualquer do contorno atuam u vetor de deslocamentos com componentes k u p vetor de forças de contorno com componentes kp σ tensor de tensões com componentes ij Condições de contorno u u k k em u p p k k em Equações de equilíbrio no domínio 0 j ij i b 1 Equações de equilíbrio no contorno j ji i n p 2 sendo jn cosenos diretores da normal apontando para fora do contorno Obs O equilíbrio independe das propriedades do material Equações de compatibilidade j i i j ij u u 2 1 3 sendo ij componentes do tensor de deformações específicas de Cauchy Relações Constitutivas Para um material elástico isótropo onde não existem mudanças de temperatura temse pela lei de Hooke ij kk ij ij G G 1 2 2 4 sendo G módulo de elasticidade transversal coeficiente de Poisson 2 1 E G E módulo de elasticidade longitudinal Podese escrever a eq 4 na forma kl ijkl ij C sendo Cijkl tensor isotrópico de quarta ordem de constantes elásticas 2 1 2 jk il jl ik kl ij ijkl G G C Obs Estas fórmulas são válidas para 3D e para EPD estado plano de deformações Para EPT estado plano de tensões devese substituir por 1 III3 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS OU PRINCÍPIO DOS DESLOCAMENTOS VIRTUAIS Seja um corpo sólido no qual atuam forças de contorno kp forças de domínio kb que acarretam um estado de tensões jk em equilíbrio com essas forças atuantes Em correspondência a esse estado de tensões existirão um estado de deformações jk um campo de deslocamentos k u que definem a configuração deformada do sólido Suponha que seja acoplado à configuração deformada de equilíbrio um estado de deslocamentos virtuais uk Esses deslocamentos são arbitrários porém o campo de deslocamentos final k k u u também deve satisfazer as condições de contorno tipo deslocamento condições de contorno essenciais Nesse caso uk 0 em u 1 Nessas condições o trabalho virtual realizado pelas solicitações internas em consequência dos deslocamentos virtuais uk é d W jk jk i 2 e o trabalho realizado pelas forças externas é u d p b u d W k k k k e 3 Substituindo as eqs de equilíbrio no interior e as eqs de equilíbrio de forças no contorno na eq acima obtémse u d n u d W k jk j k jk j e 4 Integrando o primeiro termo por partes e aplicando o teorema de Gauss ou teorema da divergência d u d u dx d u d k j jk k jk j k jk j d u u d n k j jk k jk j Logo u d n d u u d n u d n W k jk j k j jk k jk j k jk j e u Considerando 1 a segunda integral acima se anula Considerando ainda que jk jk jk uk j temse então d W jk jk e Considerando 2 concluise que i e W W Assim d u d p u d b jk jk k k k k Obs Este princípio equivale às condições de equilíbrio sendo aplicável a problemas lineares e nãolineares Igualando as expressões 3 e 4 podese escrever 0 u d n p u d b k jk j k k k j jk ou 0 u d p p u d b k k k k k j jk Esta é uma equação do tipo Galerkin onde na primeira integral minimizase o erro da aproximação do sistema de equações diferenciais de equilíbrio e na segunda integral minimizase o erro da aproximação das condições de contorno tipo força condições de contorno naturais III4 PRINCÍPIO DA ENERGIA POTENCIAL TOTAL MÍNIMA Para um sólido elástico linear sujeito a um processo de deformação adiabático definese a energia interna de deformação d C d U ij kl ijkl jk jk 2 1 2 1 Para cargas conservativas o potencial das forças externas é p u d b u d V k k k k A energia potencial total é U V Fazendo a variação V U Porém têmse i jk jk W d U e k k k k W u d p b u d V Pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais concluise que V U U V 0 0 Este princípio significa que de todos os possíveis deslocamentos k u que satisfazem as condições de contorno essenciais somente aqueles que são provenientes de tensões em equilíbrio produzem um ponto estacionário de Pelo sinal da segunda variação 2 provase que é um mínimo III5 PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL COMPLEMENTAR OU PRINCÍPIO DAS FORÇAS VIRTUAIS Seja um campo de deslocamentos k u e um estado e deformações compatível jk e suponha que se introduza uma variação jk no estado de tensões correspondente Essa variação será arbitrária porém o estado de tensões total jk jk deverá satisfazer também as eqs de equilíbrio diferencial e as condições de contorno naturais Nesse caso 0 jk j em 1 k jk j p n em u 2 kp 0 em 3 Nessas condições o trabalho realizado pelas forças externas em conseqüência de jk é p d u b d u p d u W k k k k k k c e u Considerando que jk j kb e também a condição 3 as duas últimas integrais acima se anulam Logo o trabalho realizado pelas solicitações internas é d W jk jk ic Considerando que jk k j jk jk u temse d u W jk j k ic Integrando por partes a última integral acima d u d u n d u W jk j k jk j k jk j k c i ou ainda d u d u n d u n W jk j k jk j k jk j k c i u As duas últimas integrais são nulas e considerando que jk j k n p obtémse p d u W u k k ic Logo c e ic W W Assim p d u d u k k jk jk III6 PRINCÍPIO DA ENERGIA COMPLEMENTAR MÍNIMA Neste caso temse a energia interna complementar de deformação d C d U il jkil jk jk jk c 2 1 2 1 Temse também o potencial complementar das forças externas u p d V u k k c A energia potencial complementar total é c c c U V Fazendo a variação c c c V U Porém têmse c i jk jk c W d U c e k k c W p d u V u Pelo Princípio do Trabalho Virtual Complementar concluise que c c V U 0 c c V U c 0 Este princípio significa que de todos os possíveis estados de tensão que satisfazem as eqs de equilíbrio e as condições de contorno naturais somente aquele que acarreta um estado de deformações compatível produz um ponto estacionário de c Pelo sinal da segunda variação 2c provase que é um mínimo III7 PRINCÍPIO DE HELLINGERREISSNER Temse o funcional u d p u u d p b u d d u u k k k k k k k jk jk jk k R 2 1 Nesta expressão podem variar tanto k u como kp ou jk pois jk j k n p independentemente Para material linearmente elástico temse 2 1 2 1 jk jk jk jk jk jk Logo d u p u p u d u d b d u u k k k k k k k jk jk jk jk jk k R 2 1 Obs Este funcional envolve tanto equilíbrio como compatibilidade Condição de ponto estacionário R 0 III8 MODELOS DE ANÁLISE a Modelo de deslocamentos ou Modelo Compatível Utiliza o Princípio da Energia Potencial Total Mínima b Modelo de forças ou Modelo de Equilíbrio Utiliza o Princípio da Energia Potencial Complementar Mínima c Modelos Mistos Utilizam princípios generalizados como o Princípio de HellingerReissner d Modelos híbridos Utilizam o Princípio da Energia Potencial Mínima Modificado ou o Princípio da Energia Potencial Complementar Mínima Modificado