Funções de Interpolação para Elementos em Forma de Tetraedro

e Funções de interpolação para elementos em forma de tetraedro Termos gerados por uma expansão para um tetraedro Elemento linear z y x u 4 3 2 1 Elemento quadrático x z z y x y z y x z y x u 10 9 8 2 7 2 6 2 5 4 3 2 1 Coordenadas de Volume Sejam V volume do tetraedro P ponto qualquer do interior do tetraedro Sejam ainda os volumes V1 V2 V3 e V4 determinados pelos pontos indicados V1 pontos P 2 3 e 4 V2 pontos P 1 3 e 4 V3 pontos P 1 2 e 4 V4 pontos P 1 2 e 3 Temse que V V1 V2 V3 V4 1 Estes valores de V1 V2 V3 e V4 são únicos para cada ponto P e portanto podem ser definidas as coordenadas de volume 2 4 4 3 3 2 2 1 1 V V V V V V V V Alguns valores de interesse Considerando as equações 1 e 2 concluise que 1 1 2 3 4 As relações entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas de volume são 4 4 3 3 2 2 1 1 x x x x x 4 4 3 3 2 2 1 1 y y y y y 4 4 3 3 2 2 1 1 z z z z z ou 14 13 12 11 1 C C z y C x C 24 23 22 21 2 C C z y C x C 34 33 32 31 3 C C z y C x C 44 43 42 41 4 C C z y C x C As constantes Cij são obtidas considerando que V z y x z y x z y x z y x V V 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 6 1 V z y x z y x z y x z y x V V 4 4 4 3 3 3 1 1 1 2 2 1 1 1 1 6 1 V z y x z y x z y x z y x V V 4 4 4 2 2 2 1 1 1 3 3 1 1 1 1 6 1 V z y x z y x z y x z y x V V 1 1 1 1 6 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 4 4 sendo 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 6 1 z y x z y x z y x z y x V Funções de interpolação para o elemento linear 1 1 h 2 2 h 3 3 h 4 4 h Funções de interpolação para o elemento quadrático 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 h h h h 4 3 10 4 2 9 4 1 8 1 3 7 3 2 6 2 1 5 4 4 4 4 4 4 h h h h h h VI2 FAMÍLIA DE HERMITE Usada para elemento C1 a Funções de interpolação para elementos unidimensionais Usadas para vigas Sejam 1 2 1 n n x x x x x x x x pontos em que uma função ux e sua derivada dx du u x são conhecidas isto é 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 n n n n n n n n u u x u x u u u x u x u u u x u x u u x u u x u Para n 1 pontos têmse 2n 2 valores conhecidos e podese definir uma função de grau 2n 1 ou seja 1 2 2 2 2 3 2 1 n n x x x u Temse também derivando u n n x n x x u 2 2 2 2 4 3 2 1 2 3 2 Em forma matricial podese escrever u Aα onde u u u n n x n x x x x 2 1 2 2 1 2 1 2 0 1 A 2 2 2 1 n α Substituindose os valores de u e de u para cada ponto xi onde esses valores são conhecidos resulta 1 2 1 2 2 2 1 3 1 2 1 1 n n x x x u n n x n x u 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 2 n n x x x u n n x n x u 2 2 2 2 2 3 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 3 1 2 1 1 n n n n n n x x x u n n n n n x n x u 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 2 Em forma matricial Cα u e onde 1 1 1 1 n n e u u u u u n n n n n n n n n n n x n x x x x x n x x x x x n x x x x 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 0 1 1 2 2 1 0 1 1 2 2 1 0 1 C Logo 1 C u e α Consequentemente 1 u e A C u H u H ue onde H AC1 A matriz H contém as funções de interpolação e suas derivadas 2 2 4 3 2 1 2 2 4 3 2 1 n n h h h h h h h h h h H Para o caso de dois pontos nodais têmse n 1 2 n 1 2n 2 4 2n 1 3 Temse então 4 valores conhecidos os quais definem uma curva do 3o grau cuja derivada é de 2o grau As funções de interpolação neste caso são 3 3 2 2 1 2 3 1 l x l x h 2 3 2 2 2 l x l x x h 3 3 2 2 3 2 3 l x l x h 2 3 2 4 l x l x h que possuem as seguintes formas gráficas respectivamente Em x 0 Em x l 0 0 0 1 4 3 2 1 h h h h 0 0 1 0 4 3 2 1 h h h h 0 1 0 0 4 3 2 1 h h h h 1 0 0 0 4 3 2 1 h h h h b Funções de interpolação para elementos bidimensionais Usadas para placas Considerase a função e suas derivadas em relação a x e a y O vetor u fica y x u u u u Há várias maneiras de se formular VI3 FAMÍLIA SERENDIPITY a Funções de interpolação para elementos bidimensionais retangulares Elemento linear É idêntico ao elemento de Lagrange com n m 1 Sejam i i s s s r r r 0 0 onde ri e si são os valores de r e s no ponto nodal i As funções de interpolação podem ser escritas em forma compacta neste caso como 0 0 1 4 1 1 s r hi Elemento quadrático Para os pontos nodais situados nos vértices 1 1 4 1 1 0 0 0 0 s r s r hi Para os pontos nodais situados nos meios dos lados 0 2 1 2 1 1 0 s r h r i i 2 0 1 2 1 1 0 s r h s i i Elemento Cúbico Para os vértices 2 2 0 0 9 10 1 32 1 1 s r s r hi Para os pontos ao longo dos lados 3 1 e 1 i i s r 0 2 0 9 1 1 32 1 9 s s r hi 1 e 3 1 i i s r 0 2 0 9 1 1 32 1 9 r r s hi Elemento quártico Possui um nó central para que se tenham todos os termos de um polinômio completo de 4º ordem Esse nó central adiciona uma função de interpolação 1 r2 1 s2 que tem valor zero em todo o contorno Obs Com elementos Serendipity são necessários menos graus de liberdade do quando se usam elementos Lagrangeanos pois os polinômios possuem menos termos além daqueles necessários para serem polinômios completos b Funções de interpolação para elementos tridimensionais em forma de prisma retangular Sejam i i i tt t s s s r r r 0 0 0 Elemento Linear 0 0 0 1 1 8 1 1 t s r hi Elemento Quadrático Para os vértices 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 t s r t s r hi Para os nós de meio de lado típicos 1 1 0 i i i t s r 0 0 2 1 1 4 1 1 t s r hi Elemento Cúbico Para os vértices 19 9 1 1 64 1 1 2 2 2 0 0 0 t s r t s r hi Para os nós de meio de lado típicos 1 1 3 1 i i i t s r 0 0 0 2 1 1 9 1 64 1 9 t s r r hi