Escore Padrão e Distribuição Normal Padrão

Prof Paulo Henrique Barbosa Galdino Disciplina Elementos de Probabilidade e Estatística Escore Padrão e Distribuição Normal Padrão O Escore Padrão 𝒛 Quando conhecemos a média 𝜇 e o desvio padrão 𝜎 de um conjunto de dados podemos medir a posição de um elemento no conjunto de dados com o chamado escore padrão z ou zescore DEFINIÇÃO O zescore representa o número de desvios padrão em que um valor 𝑋 encontrase a partir da média 𝜇 Para calcular o zescore associado a um valor 𝑋 usamos a seguinte fórmula de transformação 𝑧 𝑋 𝜇 𝜎 A fórmula acima transforma padroniza a variável aleatória contínua 𝑋 na variável 𝑧 zescore adimensional Observando a transformação padronização da variável aleatória contínua 𝑋 na variável adimensional 𝑧 zescore por meio da fórmula 𝑧 𝑋 𝜇 𝜎 podemos notar que um zescore dado por 𝑧 pode ser negativo positivo ou zero respectivamente quando o valor 𝑋 correspondente é menor do que a média 𝑋 𝜇 0 o valor 𝑋 correspondente é maior que a média 𝑋 𝜇 0 o valor 𝑋 correspondente é igual à média 𝑋 𝜇 0 Exemplo 𝟏𝟐𝟒 A velocidade média de veículos em um trecho de uma rodovia é de 56 𝑚𝑝ℎ com um desvio padrão de 4 𝑚𝑝ℎ Calcule o zescore correspondente às velocidades de três carros nesse trecho dadas por 62 𝑚𝑝ℎ 47 𝑚𝑝ℎ e 56 𝑚𝑝ℎ Admita que a distribuição das velocidades é aproximadamente normalmente distribuída SOLUÇÃO O zescore que corresponde a cada velocidade é dado por para 𝑋 62 𝑧 𝑋𝜇 𝜎 𝑧 6256 4 15 para 𝑋 47 𝑧 𝑋𝜇 𝜎 𝑧 4756 4 225 para 𝑋 56 𝑧 𝑋𝜇 𝜎 𝑧 5656 4 0 A partir dos zescores podemos concluir que a velocidade de 62 𝑚𝑝ℎ está 15 desvio padrão acima da média a velocidade 47 𝑚𝑝ℎ está 225 desvios padrão abaixo da média a velocidade 56 𝑚𝑝ℎ é igual à média O carro que viaja a 47 𝑚𝑝ℎ está excepcionalmente devagar pois sua velocidade corresponde a um zescore de 225 Observação Um zescore pode ser usado para identificar valores comuns incomuns e muito incomuns de um conjunto de dados que é normalmente distribuídos conforme figura ao lado nos mostra Distribuição Normal Padrão Existe uma infinidade de distribuições normais cada uma com sua própria média 𝜇 e desvio padrão 𝜎 Vimos que para calcular a probabilidade de ocorrência de uma variável aleatória contínua normalmente distribuída 𝑋 entre 𝑎 e 𝑏 com média 𝜇 e desvio padrão 𝜎 devemos calcular a integral 𝑃 𝑎 𝑋 𝑏 1 𝜎 2𝜋 𝑒 𝑥𝜇 2 2𝜎2 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 O cálculo da integral acima não é uma tarefa fácil visto que nenhuma das técnicas de integração vistas em Cálculo 1 pode ser usada neste cálculo Assim para facilitar o estudo de dados normalmente distribuídos padronizamos a variável 𝑋 conforme definição que segue DEFINIÇÃO A distribuição normal com parâmetros 𝜇 0 e 𝜎 1 é denominada distribuição normal padrão sendo sua função de densidade de probabilidade 𝑓𝑑𝑝 na variável 𝑧 zescore dada por 𝑓 𝑧 0 1 1 2𝜋 𝑒𝑧2 2 com 𝑧 Assim a 𝑓𝑑𝑝 de 𝑍 é dada por 𝑃 𝑍 𝑧 𝑓 𝑦 0 1 𝑑𝑦 𝑧 que fornece a probabilidade de um variável aleatória qualquer 𝑍 ser menor ou igual a 𝑧 isto é 𝑃 𝑍 𝑧 Curva Normal Padrão A distribuição normal padrão é uma distribuição normal com média igual a 0 e desvio padrão 1 cujo gráfico está dado na figura abaixo sendo este chamado de curva normal A área total sob a curva normal é 1 Quando a variável aleatória 𝑋 distribuída normalmente é transformada em um zescore a distribuição de 𝑍 será uma distribuição normal padrão cuja escala horizontal do gráfico desta distribuição será corresponde ao zescore Isto é o conjunto de dados 𝑋 𝑥1 𝑥2 𝑥3 tem uma distribuição normal enquanto o conjunto de dados padronizados 𝑍 𝑧1 𝑧2 𝑧3 tem uma distribuição normal padrão É importante salientar a diferença entre os valores das variáveis aleatórias 𝑋 e 𝑍 A variável aleatória 𝑋 é chamada de resultado bruto e representa valores em uma distribuição normal não padrão enquanto a variável aleatória padronizada 𝑍 representa valores na distribuição normal padrão Após a padronização a área à esquerda ou à direita ou entre dois zescores sob a curva normal não padrão é a mesma que aquela sob a curva normal padrão conforme podemos ver no exemplo seguinte Exemplo 𝟏𝟐𝟓 Considere uma curva normal com 𝜇 500 e 𝜎 100 O valor de 𝑋 a um desvio padrão acima da média é dado por 𝜇 𝜎 500 100 600 Considere agora a curva normal padrão O valor de 𝑧 a um desvio padrão acima da média é 𝜇 𝜎 0 1 1 Como um zescore igual a 1 corresponde a um valor 𝑋 igual a 600 temos pelas figuras ao lado que as áreas não mudam com uma padronização 𝑧 0 012 𝜎 1 𝑋 5 62 𝜎 10 Exemplo 𝟏𝟐𝟔 Padronizar 𝑋 62 sabendose que se tem 𝜇 5 e 𝜎 10 SOLUÇÃO O escorez que corresponde a 𝑋 62 é dado por 𝑋 62 𝑧 𝑋 𝜇 𝜎 𝑧 62 5 10 012 Logo 𝑧 012 é o valor padronizado da variável aleatória 𝑋 62 Graficamente temos que 𝑧 𝑋 𝜇 𝜎 Tabela Normal Padrão Vimos anteriormente como usar a regra empírica para aproximar áreas sob uma curva normal quando os valores da variável aleatória 𝑋 correspondiam a 3 2 1 0 1 2 3 desvios padrão da média Vamos aprender a calcular áreas correspondentes a outros valores de 𝑋 Depois de transformar um valor 𝑋 em um escorez podemos usar a chamada tabela normal padrão dada separadamente Esta tabela lista a área acumulada sob a curva normal padrão à esquerda de 𝑧 para escoresz de 349 a 349 Ao examinar a tabela notase as propriedades a seguir Exemplo 𝟏𝟐𝟕 Usando a tabela normal padrão encontre a área acumulada que corresponde a um escorez de 115 SOLUÇÃO Utilizando a tabela normal padrão recorte dado na figura abaixo encontre a área que corresponde a 𝑧 115 buscando 11 na coluna à esquerda e depois seguindo a linha até a coluna sob 005 O número presente nesta linha e coluna é 08749 Assim temos que a área à esquerda de 𝑧 115 é 08749 conforme mostra a figura a seguir Abaixo temos a curva normal e a representação da área até o valor 𝑧 115 Exemplo 𝟏𝟐𝟖 Usando a tabela normal padrão encontre a área acumulada que corresponde a um escorez de 024 SOLUÇÃO Utilizando a tabela normal padrão recorte dado na figura abaixo encontre a área que corresponde a 𝑧 024 buscando 02 na coluna à esquerda e depois seguindo a linha até a coluna sob 004 O número presente nesta linha e coluna é 04052 Assim temos que a área à esquerda de 𝑧 024 é 04052 conforme mostra a figura a seguir Assim temos a curva normal e a representação da área até o valor 𝑧 024