Distribuição de Probabilidade Normal: Definição e Exemplos Práticos

Prof Paulo Henrique Barbosa Galdino Disciplina Elementos de Probabilidade e Estatística Distribuição de Probabilidade Normal Introdução Suponha que você trabalhou para o zoológico da Carolina do Norte e esteve coletando dados sobre várias características físicas de tartarugas de caixa orientais no zoológico Os dados poderiam ser coletados para se estudar diversas características das referidas tartarugas tais como comprimento da carapaça casco de cima comprimento do plastrão casco de baixo largura da carapaça largura do plastrão peso comprimento total Observe que todas as características apresentadas ao lado representam variáveis aleatórias contínuas Os quatro gráficos abaixo mostram o comprimento da carapaça e do plastrão de tartarugas de caixa orientais macho e fêmea Perceba que a distribuição do comprimento da carapaça da tartaruga macho tem forma de sino figura b mas as outras três distribuições são assimétricas à esquerda Inicialmente o nosso interesse aqui será em distribuições que sejam simétricas como a presente na figura b Distribuição Normal Vimos anteriormente os conceitos de variáveis aleatórias discretas e contínuas e aprendemos que uma variável aleatória contínua tem um número infinito de valores possíveis que podem ser representados por um intervalo em uma reta numérica Sua distribuição de probabilidade é chamada de distribuição contínua de probabilidade ou função de densidade de probabilidade Veremos agora a mais importante das distribuições contínuas da estatística a saber a distribuição normal Distribuições normais podem ser usadas para modelar muitos conjuntos de medidas na natureza na indústria e nos negócios Por exemplo a pressão sanguínea sistólica dos humanos a vida útil de televisões de plasma e até mesmo custos domésticos podem ser variáveis aleatórias normalmente distribuídas DEFINIÇÃO Uma distribuição normal é uma distribuição de probabilidade contínua para uma variável aleatória contínua 𝑋 cujo gráfico é chamado de curva normal satisfazendo as seguintes propriedades 1 a média a mediana e a moda são iguais 2 uma curva normal tem forma de sino e é simétrica em torno da média 3 a área total sob a curva normal é igual a 1 4 à medida que a curva normal se distancia da média ela se aproxima do eixo 𝑋 mas sem tocálo 5 entre 𝜇 𝜎 e 𝜇 𝜎 no centro da curva o gráfico se curva tem concavidade para baixo O gráfico tem concavidade para cima à esquerda de 𝜇 𝜎 e à direita de 𝜇 𝜎 Os pontos nos quais o gráfico muda a orientação da concavidade são chamados de pontos de inflexão Função Densidade de Probabilidade Vimos que uma distribuição discreta de probabilidade pode ser representada graficamente por meio de um histograma Para uma distribuição contínua de probabilidade como já vimos usamos uma função chamada de função de densidade de probabilidade 𝑓𝑑𝑝 Uma função densidade de probabilidade deve satisfazer duas condições 1ª a área total sob a curva deve ser igual a 1 2ª a função nunca pode ser negativa Uma curva normal com média 𝜇 e desvio padrão 𝜎 pode ser representada graficamente usando a função densidade de probabilidade normal dada por 𝑓 𝑋 𝜇 𝜎 1 𝜎 2𝜋 𝑒 𝑋𝜇 2 2𝜎2 Como 𝑒 2178 e 𝜋 314 temos que a curva normal depende única e exclusivamente dos valores de 𝜇 e 𝜎 Observe que uma distribuição normal pode ter qualquer média e qualquer desvio padrão Esses dois parâmetros 𝜇 e 𝜎 determinam o formato da curva normal A média dá a localização da linha de simetria e o desvio padrão descreve o quanto os dados estão dispersos em torno dessa média Observe as curvas dadas abaixo e note que as curvas 𝐴 e 𝐵 têm a mesma média 𝜇 as curvas 𝐵 e 𝐶 têm o mesmo desvio padrão 𝜎 a área total sob cada curva é exatamente igual 1 um dos pontos de inflexão encontrase a um desvio padrão à esquerda da média e o outro a um desvio padrão à direita da média Abaixo temos os mesmos gráficos dados anteriormente plotados com a ajuda do programa MATLAB e note que o formato da curva normal depende dos valores adotados para 𝜇 e 𝜎 Distribuição em forma de sino percentagens de dados em regiões centrais Regra Empírica Muitos conjuntos de dados da vida real têm distribuições que são aproximadamente simétricas e em forma de sino conforme mostra a figura ao lado A Regra Empírica dada ao lado pode nos ajudar a entender o quão valioso é o desvio padrão como uma medida de variação A Regra Empírica se aplica somente às distribuições normais