Intervalo de Confiança para Média Populacional com Desvio Padrão Conhecido

Prof Paulo Henrique Barbosa Galdino Disciplina Elementos de Probabilidade e Estatística Intervalo de Confiança para a Média 𝝁 com Desvio Padrão 𝝈 conhecido Intervalo de Confiança para Média Populacional 𝝁 com Desvio Padrão 𝝈 Conhecido Usando uma estimativa pontual e uma margem de erro podemos construir uma estimativa por intervalo de um parâmetro populacional tal como 𝜇 média Essa estimativa por intervalo é chamada de intervalo de confiança IC DEFINIÇÃO Dado o nível de confiança 𝑐 e sua respectiva margem de erro 𝐸 temos que o intervalo de confiança 𝑐 para a média populacional 𝜇 é definido por 𝑋 𝐸 𝜇 𝑋 𝐸 Assim a probabilidade de que o intervalo de confiança contenha a média populacional 𝜇 é igual a 𝑐 assumindo que o processo de estimação é repetido um grande número de vezes Construindo um IC para a média populacional 𝝁 com 𝝈 conhecido 1 Verificar se 𝜎 é conhecido se a amostra é aleatória e se a população é normalmente distribuída ou se 𝑛 30 2 Encontrar a estatística amostral 𝑋 dada por 𝑋 𝑋 𝑛 3 Utilizando a Tabela Normal Padrão TNP encontrar o valor crítico 𝑧𝑐 que corresponde ao nível de confiança 𝑐 dado 4 Calcular a margem de erro 𝐸 dada por 𝐸 𝑧𝑐 𝜎 𝑛 3 Calcular os limites inferior 𝑋 𝐸 e superior 𝑋 𝐸 e construir o intervalo de confiança 𝐼𝐶 dado por 𝑋 𝐸 𝜇 𝑋 𝐸 Observação 1 Quando se constrói um intervalo de confiança para uma média populacional a regra geral de arredondamento é arredondar para o mesmo número de casas decimais da média amostral 2 As notações para um intervalo de confiança podem ser 𝑋 𝐸 𝜇 𝑋 𝐸 ou 𝐼𝐶 𝜇 𝑐 𝑋 𝐸 𝑋 𝐸 ou 𝐼𝐶 𝜇 𝑐 𝑋 𝐸 Vamos fazer mais uso da primeira notação Exemplo 𝟏𝟓𝟏 Use os dados dos Exemplos 149 e 150 para construir um intervalo de confiança de 95 para o número médio de horas semanais trabalhadas por funcionários de mercearias SOLUÇÃO Pelos exemplos citados temos respectivamente que 𝑋 296 e 𝐸 24 O intervalo de confiança é construído conforme apresentado a seguir limite inferior 𝑋 𝐸 296 24 272 limite superior 𝑋 𝐸 296 24 320 Logo o intervalo de confiança é dado por 𝟐𝟕 𝟐 𝝁 𝟑𝟐 𝟎 Geometricamente este intervalo pode ser representado por 𝑋 Interpretamos o 𝐼𝐶 encontrado como sendo que com 95 de confiança podemos dizer que o número médio de horas semanais trabalhadas por funcionários de mercearias está entre 272 e 320 horas Exemplo 𝟏𝟓𝟐 O diretor de admissões de uma faculdade deseja estimar a idade média de todos os estudantes atualmente matriculados Em uma amostra aleatória de 20 estudantes a idade média encontrada é de 229 anos De estudos anteriores temse que o desvio padrão conhecido é de 15 ano e a população é normalmente distribuída Construa um intervalo de confiança de 90 da idade média da população SOLUÇÃO Como 𝜎 é conhecido a amostra é aleatória e a população é normalmente distribuída podemos usar a fórmula dada anteriormente para calcular o erro amostral 𝐸 Temos que 𝑛 20 𝑋 229 𝜎 15 e 𝑧𝑐 1645 Logo segue que 𝐸 𝑧𝑐 𝜎 𝑛 1645 15 20 06 Assim temos que o intervalo de confiança de 90 pode ser escrito como 𝐼𝐶 𝜇 09 𝑋 𝐸 229 06 ou 223 𝜇 235 Geometricamente temos que o intervalo de confiança é dado por 𝑋 O intervalo de confiança acima pode ser interpretado como sendo que com 90 de confiança podemos dizer que a idade média de todos os estudantes matriculados está entre 223 e 235 anos Exemplo 𝟏𝟓𝟑 Usando os mesmos dados do Exemplo 152 construa um intervalo de confiança de 99 da idade média da população SOLUÇÃO Como 𝜎 é conhecido a amostra é aleatória e a população é normalmente distribuída podemos usar a fórmula dada anteriormente para calcular o erro amostral 𝐸 Temos que 𝑛 20 𝑋 229 𝜎 15 e 𝑧𝑐 2575 Logo segue que 𝐸 𝑧𝑐 𝜎 𝑛 2575 15 20 086 Assim temos que o intervalo de confiança de 95 pode ser escrito como 𝐼𝐶 𝜇 095 𝑋 𝐸 229 09 ou 220 𝜇 238 Geometricamente temos que o intervalo de confiança é dado por O intervalo de confiança acima pode ser interpretado como sendo que com 99 de confiança podemos dizer que a idade média de todos os estudantes matriculados está entre 22 e 238 anos Observe que ao aumentar o nível de confiança do intervalo a sua amplitude também aumenta pois para um nível de confiança de 90 temse o intervalo 223 𝜇 235 para um nível de confiança de 99 temse o intervalo 220 𝜇 238 220 238 23 Tamanho da Amostra Para a mesma estatística amostral conforme o nível de confiança aumenta o intervalo de confiança fica mais largo Conforme o intervalo de confiança fica mais largo a precisão da estimativa decresce Uma maneira de melhorar a precisão de uma estimativa sem diminuir o nível de confiança é aumentar o tamanho da amostra Mas qual tamanho da amostra é necessário para garantir um certo nível de confiança para uma margem de erro dada A partir da fórmula para o cálculo da margem de erro 𝐸 𝑧𝑐 𝜎 𝑛 uma fórmula pode ser derivada isole 𝑛 na fórmula acima para encontrar o tamanho mínimo 𝑛 da amostra satisfazendo uma determinada margem de erro 𝐸 e um determinado nível de confiança 𝑐 exigidos DEFINIÇÃO Dado o nível de confiança 𝑐 e uma margem de erro 𝐸 o tamanho mínimo da amostra 𝑛 necessário para estimar a média populacional é 𝑛 𝑧𝑐 𝜎 𝐸 2 Quando 𝜎 é desconhecido podemos estimar 𝑛 usando o desvio padrão amostral 𝑆 desde que se tenha uma amostra preliminar com pelo menos 30 membros Exemplo 𝟏𝟓𝟒 O pesquisador da área econômica do Exemplo 148 quer estimar o número médio de horas semanais trabalhadas por todos os funcionários de mercearias num dado município Quantos funcionários devem ser incluídos na amostra para estar 95 confiante de que a diferença máxima entre a média amostral e a média populacional seja de 15 hora SOLUÇÃO Usando 𝑐 095 𝑧𝑐 196 𝜎 79 e 𝐸 15 podemos encontrar o tamanho mínimo da amostra 𝑛 conforme segue 𝑛 𝑧𝑐 𝜎 𝐸 2 𝑛 196 79 15 2 𝑛 10656 Assim o pesquisador necessita de pelo menos 107 funcionários de mercearia na amostra observe que arredondouse o valor de 𝑛 para obter um número inteiro O pesquisador já tem 40 funcionários então a amostra necessita de mais 67 membros Note que 107 é o número mínimo de funcionários para incluir na amostra O pesquisador poderia incluir mais se desejasse