Distribuição Normal Padrão: Cálculo de Áreas e Exemplos Práticos

Prof Paulo Henrique Barbosa Galdino Disciplina Elementos de Probabilidade e Estatística Distribuição Normal Padrão exemplos Encontrando Áreas sob a Curva Normal Padrão a Para encontrar a área à esquerda de 𝑧 ache a área que corresponde a 𝑧 na tabela normal padrão b Para encontrar a área à direita de 𝑧 use a tabela normal padrão para achar a área que corresponde a 𝑧 Então subtraia a área de 1 c Para encontrar a área entre dois escoresz ache a área correspondente a cada escorez na tabela normal padrão Então subtraia a área menor da área maior Exemplo 𝟏𝟐𝟗 Encontre a área sob a curva normal padrão à esquerda de 𝑧 099 SOLUÇÃO A área sob a curva normal padrão à esquerda de 𝑧 099 é exibida na figura abaixo Com base na tabela normal padrão a área é igual a 01611 Exemplo 𝟏𝟑𝟎 Encontre a área sob a curva normal padrão à direita de 𝑧 106 SOLUÇÃO A área sob a curva normal padrão à direita de 𝑧 106 é exibida na figura abaixo Com base na tabela normal padrão a área à esquerda de 𝑧 106 é 08554 Como a área total sob a curva é 1 a área à direita de 𝑧 106 é Área 1 08554 01446 Exemplo 𝟏𝟑𝟏 Encontre a área sob a curva normal padrão entre 𝑧 15 e 𝑧 125 SOLUÇÃO A área sob a curva normal padrão entre 𝑧 15 e 𝑧 125 é exibida abaixo Com base na TNP a área à esquerda de 𝑧 125 é 08944 e a área à esquerda de 𝑧 15 é 00668 Então a área entre 𝑧 15 e 𝑧 125 é Área 08944 00668 08276 Assim a área sob a curva entre 𝑧 15 e 𝑧 125 é de 8276 da área total Observação A tabela abaixo mostra respectivamente as probabilidades para os Exemplos 129 130 e 131 vistos anteriormente Área Probabilidade à esquerda de 𝑧 099 é 01611 𝑃𝑧 099 01611 à direita de 𝑧 106 é 01446 𝑃𝑧 106 01446 entre 𝑧 15 e 𝑧 125 é 08276 𝑃 15 𝑧 125 08276 Exemplo 𝟏𝟑𝟐 Uma pesquisa indica que as pessoas mantêm seus telefones celulares em média 15 ano antes de comprar um novo O desvio padrão é de 025 ano Um usuário de telefone celular é selecionado aleatoriamente Calcule a probabilidade de que o usuário manterá seu telefone atual por menos de 1 ano antes de comprar um novo Considere que as durações de tempo que as pessoas mantêm seus telefones são normalmente distribuídas e são representadas pela variável 𝑋 SOLUÇÃO A figura ao lado mostra uma curva normal com 𝜇 15 e 𝜎 025 e a área sombreada para 𝑋 menor que 1 O zescore que corresponde a 1 ano é 𝑧 𝑋 𝜇 𝜎 1 15 025 2 A TNP nos fornece que 𝑃𝑧 2 00228 Assim a probabilidade de que o usuário manterá seu telefone por menos de 1 ano antes de comprar um novo é de 00228 Portanto esperase que 228 dos usuários de telefone celular mantenham seus aparelhos por menos de 1 ano antes de comprar um novo Como 228 é menor que 5 esse evento é incomum Exemplo 𝟏𝟑𝟑 Uma pesquisa indica que para cada ida ao supermercado um consumidor permanece na loja em média 45 minutos com desvio padrão de 12 minutos A duração dos tempos gastos na loja é normalmente distribuída e representada pela variável 𝑋 Um consumidor entra na loja a Calcule a probabilidade de que ele ficará na loja para cada intervalo de tempo listado a seguir b Interprete sua resposta quando 200 consumidores entrarem na loja Quantos consumidores você esperaria que estivessem na loja para cada intervalo de tempo listado a seguir 1 Entre 24 e 54 minutos 2 Mais que 39 minutos SOLUÇÃO 1 𝑎 A figura ao lado mostra uma curva normal com 𝜇 45 minutos e 𝜎 12 minutos A área para 𝑋 entre 24 e 54 minutos está sombreada Os zescores que correspondem a 24 e 54 minutos são 𝑧1 24 45 12 175 e 𝑧2 54 45 12 075 Então a probabilidade de que um consumidor ficará na loja entre 24 e 54 minutos é de 𝑃 24 𝑋 54 𝑃 175 𝑧 075 𝑃 𝑧 075 𝑃 𝑧 175 07734 00401 07333 𝑏 Quando 200 consumidores entram na loja esperase que 200 07333 14666 Ou seja cerca de 147 deles permaneçam na loja entre 24 e 54 minutos 2 𝑎 A figura ao lado mostra uma curva normal com 𝜇 45 minutos e 𝜎 12 minutos A área para 𝑋 maior que 39 minutos está sombreada O zescore que corresponde a 39 minutos é 𝑧 39 45 12 05 Então a probabilidade de que um consumidor fique na loja por mais de 39 minutos é de 𝑃 𝑋 39 𝑃 𝑧 05 1 𝑃 𝑧 05 1 03085 06915 𝑏 Quando 200 consumidores entram na loja esperase que 200 06915 1383 Ou seja cerca de 138 deles permaneçam na loja por mais de 39 minutos Exemplo 𝟏𝟑𝟒 Determine o zescore que corresponda a uma área acumulada de 03632 SOLUÇÃO Devemos encontrar o zescore que corresponde a uma área de 03632 localizando 03632 na TNP conforme dado na figura abaixo Os valores no início da linha e no topo da coluna fornecem o valor do zescore Para esta área o valor da linha é 03 e o da coluna é 005 Portanto temos que 𝑧 035 Exemplo 𝟏𝟑𝟓 Determine o zescore relativo a um intervalo com 1075 da área da distribuição à sua direita SOLUÇÃO Devemos encontrar o zescore que corresponde a uma área de 08925 1 01075 08925 localizando este valor na TNP conforme mostra figura abaixo Para essa área o valor da linha é 12 e o da coluna é 004 Então para 𝑧 124 temse a área de 01075 à sua direita conforme figura abaixo Área 01075 Transformando um zescore em 𝑿 Lembrese de que para transformar um valor 𝑋 em um zescore usamos a fórmula 𝑧 𝑋 𝜇 𝜎 Essa fórmula calcula 𝑧 em termos de 𝑋 Quando você resolve essa fórmula para 𝑋 você obtém uma nova fórmula que calcula 𝑋 em termos de 𝑧 Observe que 𝑧 𝑋 𝜇 𝜎 𝑧𝜎 𝑋 𝜇 𝜇 𝑧𝜎 𝑋 𝑋 𝜇 𝑧𝜎 Logo para transformar um zescore na variável 𝑋 utilizamos a relação 𝑋 𝜇 𝑧𝜎 Exemplo 𝟏𝟑𝟔 Um veterinário registra os pesos dos gatos tratados em uma clínica Os pesos são normalmente distribuídos com média de 9 libras e desvio padrão de 2 libras Calcule os pesos 𝑋 que correspondem aos zescores de 196 044 e 0 Interprete seus resultados SOLUÇÃO O valor 𝑋 que corresponde a cada zescore padrão é calculado usando a fórmula 𝑋 𝜇 𝑧𝜎 Note que 𝜇 9 e 𝜎 2 Temos que 𝑧 196 𝑋 9 196 2 𝑋 1292 libras 𝑧 044 𝑋 9 044 2 𝑋 812 libras 𝑧 0 𝑋 9 0 2 𝑋 9 libras Podemos ver que 1292 libras 586 𝐾𝑔 está acima da média 812 libras 368 𝐾𝑔 está abaixo da média e 9 libras 408 𝐾𝑔 é igual à média Exemplo 𝟏𝟑𝟕 As pontuações de um teste para a promoção de um agente na Polícia Federal são normalmente distribuídas com média 50 e desvio padrão 10 Somente serão aprovados candidatos com pontuações no teste entre as 10 mais altas Qual é a menor pontuação que um candidato pode obter para ser aprovado SOLUÇÃO As pontuações no teste que estão entre as 10 mais altas correspondem à região sombreada mostrada na figura abaixo Uma pontuação entre as 10 mais altas é qualquer pontuação acima de 90 Para determinar a pontuação que representa os 90 devemos primeiro encontrar o z escore que corresponde a uma área acumulada à esquerda de 09 Na TNP a área mais próxima a 09 é 08997 Então o zescore que corresponde a uma área de 09 é 𝑧 128 Para determinar o valor 𝑋 note que 𝜇 50 e 𝜎 10 e fazendo uso da relação 𝑋 𝜇 𝑧𝜎 temos que 𝑧 128 𝑋 50 128 10 𝑋 628 A menor pontuação que um candidato pode obter para ainda obter uma promoção como agente da Polícia Federal é de aproximadamente 63 pontos