Intervalo de Confiança para a Média com Desvio Padrão Desconhecido: Distribuição t de Student

Prof Paulo Henrique Barbosa Galdino Disciplina Elementos de Probabilidade e Estatística Intervalo de Confiança para a Média 𝝁 com Desvio Padrão 𝝈 desconhecido Distribuição 𝒕 de Student Em muitas situações da vida real em que se faz algum tipo de estudo estatístico inferência estatística o desvio padrão 𝜎 da população é desconhecido Então como podemos construir um intervalo de confiança para uma média populacional na qual 𝜎 é desconhecido Para uma variável aleatória que é normalmente distribuída ou aproximadamente normalmente distribuída a variável média amostral 𝑋 comportase tal qual outro modelo chamado de distribuição 𝒕 de Student conforme definição a seguir A distribuição 𝑡 de Student faz uso da função densidade de probabilidade com 𝜈 graus de liberdade dada por 𝑓 𝑡 1 𝜈𝜋 Γ 𝜈 1 2 Γ 𝜈 2 1 𝑡2 𝜈 𝜈1 2 para 𝜈 1 2 3 e todo 𝑡 ℝ Temos que Γ representa a função Gama dada por Γ 𝑤 𝑋𝑤1 0 𝑒𝑋 𝑑𝑋 𝑤 0 DEFINIÇÃO Se a distribuição de uma variável aleatória contínua 𝑋 for aproximadamente normal no mínimo então a média amostral 𝑋 distribuise tal qual a estatística padronizada 𝑡 dada por 𝑡 𝑋 𝜇 𝑆 𝑛 denominada distribuição 𝒕 ou distribuição 𝑡 de Student Valores críticos de 𝑡 são denotados por 𝑡𝑐 Apresentamos a seguir diversas propriedades da distribuição 𝑡 PROPRIEDADES 1 A média a mediana e a moda da distribuição 𝑡 são iguais a 0 2 A distribuição 𝑡 tem forma de sino e é simétrica em relação à média 3 A área total sob a curva da distribuição 𝑡 é igual a 1 4 As caudas na distribuição 𝑡 são mais grossas que as da distribuição normal padrão 5 O desvio padrão da distribuição 𝑡 varia com o tamanho da amostra mas é maior que 1 6 A distribuição 𝑡 é uma família de curvas cada uma determinada por um parâmetro chamado de graus de liberdade 𝑔 𝑙 Os graus de liberdade são o número de escolhas livres deixadas depois que uma estatística amostral tal como 𝑋 é calculada Quando usamos a distribuição 𝑡 para estimar uma média populacional os graus de liberdade são iguais ao tamanho da amostra menos 1 isto é 𝑔 𝑙 𝑛 1 7 Conforme os graus de liberdade aumentam a distribuição 𝑡 se aproxima da distribuição normal padrão conforme mostrado na figura abaixo 𝑡 Curva normal e curvas 𝑡 para dois valores de graus de liberdade Observe que a partir dos 30 𝑔 𝑙 a distribuição 𝑡 tende a se aproximar da distribuição normal padrão Observação A distribuição 𝑡 de Student é uma distribuição de probabilidades muito semelhante à distribuição normal padrão É uma distribuição também em forma de sino e simétrica em relação a média em que as caudas são mais pesadas do que as caudas de uma distribuição normal padrão ou seja os extremos estão sob probabilidades maiores O intervalo de confiança construído usando a distribuição 𝑡 ficará mais largo do que quando se usa a distribuição normal padrão As caudas da distribuição 𝑡 são mais finas quanto maiores os graus de liberdade Cada tamanho amostral possui sua própria distribuição 𝑡 ou seja ao contrário da distribuição normal padrão a distribuição 𝑡 não tem forma fixa mas sim uma família de curvas Cada curva é determinada por um parâmetro chamado grau de liberdade encontrado pelo tamanho da amostra menos um 𝑔 𝑙 𝑛 1 O grau de liberdade se refere ao número de valores que são livres para variar após estabelecerem algumas restrições de dados Por exemplo se uma amostra de tamanho 4 produz uma média de 87 sabemos que a soma dos números é 4 87 348 Note que a soma acima não diz nada sobre os valores individuais da amostra pois há uma infinidade de 4 números que podem ser tomados de forma que somem 348 Mas quando escolhemos 3 deles o quarto é determinado O primeiro número pode ser 84 o segundo 98 e o terceiro 81 então o quarto tem de ser 85 sendo este o único número que produzirá a média amostral conhecida ou seja existe 𝑛 1 ou 3 graus de liberdade nesse exemplo Vale ressaltar que com a função densidade de probabilidade de Student tem se a chamada Tabela de Distribuição 𝑡 Distribuição Normal Padrão ou 𝒕 Dada uma distribuição vimos como padronizar valores amostrais em termos de escore𝑧 para conhecer a probabilidade de ocorrência de determinados valores e também para calcular um intervalo de confiança para estudos estatísticos que se adequem às condições para a utilização da tabela normal padrão TNP As condições para o uso de uma distribuição normal padrão são amostras grandes geralmente com 𝑛 30 variância e desvio padrão da população conhecidos Se as condições acima não são respeitadas podese em determinadas condições fazer uso da distribuição 𝑡 As condições para o uso da distribuição 𝑡 de Student são amostras pequenas 𝑛 30 variância e desvio padrão da população desconhecidos Exemplo 𝟏𝟓𝟓 Encontre o valor crítico 𝑡𝑐 para um nível de confiança de 95 quando o tamanho da amostra é 15 SOLUÇÃO Como 𝑛 15 os graus de liberdade são 𝑔 𝑙 𝑛 1 15 1 14 Assim sabendo que 𝑔 𝑙 14 𝑐 095 e que a área em cada cauda da curva 𝑡 é dada por 0025 podemos encontrar o valor crítico 𝑡𝑐 conforme abaixo Da tabela ao lado temos que 𝑡𝑐 2145 A figura abaixo mostra a distribuição 𝑡 para 14 graus de liberdade 𝑐 095 e 𝑡𝑐 2145 Então para uma curva da distribuição 𝑡 com 14 graus de liberdade 95 da área sob a curva está entre 𝑡𝑐 2145 e 𝑡𝑐 2145 Quando os graus de liberdade que você precisa não estão na tabela use o grau de liberdade mais próximo que seja menor que o valor que você precisa Por exemplo para 𝑔 𝑙 57 use 50 graus de liberdade Essa aproximação produzirá um intervalo de confiança mais amplo com um nível de confiança 𝑐 ligeiramente mais alto Construindo um IC para a média populacional 𝝁 com 𝝈 desconhecido 1 Verificar se 𝜎 é desconhecido se a amostra é aleatória e ou se a população é normalmente distribuída ou se 𝑛 30 2 Encontrar as estatísticas amostrais 𝑋 e 𝑆 dadas por 𝑋 𝑋 𝑛 𝑆 𝑋 𝑋 2 𝑛 1 3 Identificar os graus de liberdade 𝑔 𝑙 𝑛 1 o nível de confiança 𝑐 e o valor crítico 𝑡𝑐 utilizando a Tabela 𝑡 de Student 4 Calcular a margem de erro 𝐸 dada por 𝐸 𝑡𝑐 𝑆 𝑛 Antes de usar a fórmula 𝐸 acima verifique se a amostra é aleatória e ou a população é normalmente distribuída ou 𝑛 30 5 Calcular os limites inferior 𝑋 𝐸 e superior 𝑋 𝐸 e construir o intervalo de confiança 𝐼𝐶 dado por 𝑋 𝐸 𝜇 𝑋 𝐸 Exemplo 𝟏𝟓𝟔 Você seleciona aleatoriamente 16 cafeterias e mede a temperatura do café vendido em cada uma delas A temperatura média da amostra é 1620 𝐹 com desvio padrão amostral de 100 𝐹 Construa um intervalo de confiança de 95 para a temperatura média da população de cafés vendidos Suponha que as temperaturas tenham distribuição aproximadamente normal SOLUÇÃO Como 𝜎 é desconhecido a amostra é aleatória e as temperaturas têm distribuição aproximadamente normal usemos a distribuição 𝑡 Sendo 𝑛 16 𝑋 1620 𝑆 100 𝑐 095 e 𝑔 𝑙 15 temos pela tabela 𝑡 Student que o valor crítico é dado por 𝑡𝑐 2131 Logo a margem de erro relativo ao nível de confiança de 95 é dada por 𝐸 𝑡𝑐 𝑆 𝑛 𝐸 2131 100 16 53 Portanto o intervalo de confiança é dado por 𝑋 𝐸 𝜇 𝑋 𝐸 162 53 𝜇 162 53 𝟏𝟓𝟔 𝟕 𝝁 𝟏𝟔𝟕 𝟑 Assim temos que com 95 de confiança podemos dizer que a temperatura média dos cafés vendidos está entre 157 𝐹 70 C e 167 𝐹 75 C aproximadamente Exemplo 𝟏𝟓𝟕 Selecionase aleatoriamente 36 carros do mesmo modelo que foram vendidos em uma concessionária e determinase o número de dias que cada um permaneceu no pátio da concessionária antes de ser vendido A média amostral é de 975 dias com um desvio padrão amostral de 239 dias Construa um intervalo de confiança de 99 para o número médio populacional de dias que um carro permanece no pátio da concessionária SOLUÇÃO Como 𝜎 é desconhecido a amostra é aleatória e 𝑛 36 30 usemos a distribuição 𝑡 Sendo 𝑛 36 𝑋 975 𝑆 239 𝑐 099 e 𝑔 𝑙 35 temos pela tabela 𝑡 Student que o valor crítico é dado por 𝑡𝑐 2724 Logo a margem de erro relativa ao nível de confiança de 99 é dada por 𝐸 𝑡𝑐 𝑆 𝑛 𝐸 2724 239 36 109 Portanto o intervalo de confiança é dado por 𝑋 𝐸 𝜇 𝑋 𝐸 975 109 𝜇 975 109 𝟖 𝟔𝟔 𝝁 𝟏𝟎 𝟖𝟒 Assim temos que com 99 de confiança podemos dizer que o número médio de dias que o carro permanece no pátio da concessionária está entre 9 e 11 dias aproximadamente