Cálculo da Média e Desvio Padrão da Distribuição Amostral Segundo o Teorema do Limite Central

Prof Paulo Henrique Barbosa Galdino Disciplina Elementos de Probabilidade e Estatística Teorema do Limite Central exemplos Exemplo 𝟏𝟒𝟏 As contas de telefone celular dos habitantes de uma cidade têm média de 𝑈𝑆 47 e desvio padrão de 𝑈𝑆 9 como pode ser visto na figura abaixo Amostras aleatórias de 100 contas de telefone celular são selecionadas desta população e a média de cada amostra é determinada Calcule a média e o desvio padrão da média da distribuição amostral das médias Depois esboce um gráfico da distribuição amostral SOLUÇÃO A média da distribuição amostral é igual à média da população e o desvio padrão das médias amostrais é igual ao desvio padrão da população dividido por 𝑛 Então temos que 𝜇𝑋 𝜇 47 e 𝜎𝑋 𝜎 𝑛 9 100 09 Logo temos que a média das médias amostrais é dada por 𝜇𝑋 47 e o desvio padrão das médias amostrais é dado por 𝜎𝑋 09 De acordo com o teorema do limite central uma vez que o tamanho da amostra é maior que 30 a distribuição amostral da média pode ser aproximada por uma distribuição normal com uma média de 𝑈𝑆 47 e um desvio padrão de 𝑈𝑆 090 conforme figura abaixo Exemplo 𝟏𝟒𝟐 Considere que as frequências cardíacas durante o treinamento de todos os atletas de 20 anos de idade são normalmente distribuídas com média de 135 batimentos por minuto e desvio padrão de 18 batimentos por minuto conforme figura abaixo Amostras aleatórias de tamanho 4 são retiradas dessa população e a média de cada amostra é determinada Encontre a média e o desvio padrão da distribuição amostral das médias Então esboce um gráfico da distribuição amostral SOLUÇÃO Temos que 𝜇𝑋 𝜇 135 e 𝜎𝑋 𝜎 𝑛 18 4 9 Logo temos que a média das médias amostrais dos batimentos cardíacos por minuto é dada por 𝜇𝑋 135 e o desvio padrão das médias amostrais dos batimentos cardíacos por minuto é dado por 𝜎𝑋 9 De acordo com o teorema do limite central uma vez que a população é normalmente distribuída a distribuição amostral das médias amostrais também é normalmente distribuída conforme mostra a figura abaixo Probabilidade e o Teorema do Limite Central Vimos anteriormente como calcular a probabilidade de que uma variável aleatória 𝑋 ocorra em um dado intervalo de valores da população De modo semelhante podemos calcular a probabilidade de que uma média amostral 𝑋 ocorra em um dado intervalo da distribuição amostral de 𝑋 Para transformar 𝑋 em um zescore fazemos uso da fórmula 𝑧 𝑋 𝜇𝑋 𝜎𝑋 ou z 𝑋 𝜇 𝜎 𝑛 Exemplo 𝟏𝟒𝟑 A figura ao lado mostra o tempo que as pessoas passam dirigindo por dia Selecionase aleatoriamente 50 motoristas com idade entre 15 e 19 anos média de 25 minutos Qual é a probabilidade de que o tempo médio que eles passam dirigindo por dia esteja entre 247 e 255 minutos Suponha que 𝜎 15 minuto SOLUÇÃO O tamanho da amostra é maior que 30 então podese usar o TLC para concluir que a distribuição das médias amostrais é aproximadamente normal com uma média e um desvio padrão dados por 𝜇𝑋 𝜇 25 e 𝜎𝑋 𝜎 𝑛 15 50 021213 O gráfico dessa distribuição dada ao lado tem uma área sombreada entre 247 e 255 minutos Os zescores que correspondem às médias amostrais de 𝑋 1 247 e 𝑋 2 255 minutos são 𝑧1 𝑋 1 𝜇 𝜎 𝑛 247 25 15 50 03 021213 141 𝑧2 𝑋 2 𝜇 𝜎 𝑛 255 25 15 50 05 021213 236 Ou seja temos que as conversões das médias amostrais 𝑋 1 247 e 𝑋 2 255 em zescore são dadas por 𝑧1 141 e 𝑧2 236 Então a probabilidade de que o tempo médio que 50 pessoas passam dirigindo por dia esteja entre 247 e 255 minutos conforme figura abaixo é dada por 𝑃 247 𝑋 255 𝑃 141 𝑧 236 𝑃 𝑧 236 𝑃 𝑧 141 09909 00793 09116 Isso implica que considerando que o valor de 𝜇 25 esteja correto cerca de 9 de tais médias amostrais estarão fora do intervalo dado Em outras palavras cerca de 91 das médias amostrais estarão entre 247 e 255 minutos