Aproximando a Distribuição Binomial pela Distribuição Normal

Prof Paulo Henrique Barbosa Galdino Disciplina Elementos de Probabilidade e Estatística Aproximando uma Distribuição Binomial por uma Distribuição Normal Aproximando uma Distribuição Binomial Vimos anteriormente como determinar probabilidades binomiais Por exemplo considere um procedimento cirúrgico que tem uma chance de 85 de sucesso Quando um médico realiza o procedimento em 10 pacientes você pode usar a fórmula binomial para encontrar a probabilidade de exatamente duas cirurgias bemsucedidas Mas e se o médico realizar o procedimento cirúrgico em 150 pacientes e você quiser encontrar a probabilidade de menos de 100 cirurgias bemsucedidas Para tanto você teria que usar a fórmula binomial 100 vezes e calcular a soma das probabilidades resultantes Essa abordagem não é prática claro Uma abordagem melhor é usar uma distribuição normal para aproximar a distribuição binomial Observe as seguintes distribuições binomiais dadas abaixo 𝑋 𝑃 𝑋 𝑋 𝑃 𝑋 𝑋 𝑃 𝑋 𝑋 𝑃 𝑋 Nas distribuições de probabilidades binomiais acima temos que 𝑝 025 e 𝑞 075 Notemos nas distribuições binomiais dadas anteriormente que à medida que 𝑛 aumenta a forma da distribuição binomial se torna mais semelhante a uma distribuição normal sendo este fato uma consequência do Teorema do Limite Central Dessa forma temos que se 𝑛 𝑝 5 e 𝑛 𝑞 5 então a variável aleatória binomial 𝑋 tem uma distribuição aproximadamente normal com média 𝜇 𝑛 𝑝 e desvio padrão igual a 𝜎 𝑛 𝑝 𝑞 em que 𝑛 é o número de tentativas independentes 𝑝 é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa e 𝑞 é a probabilidade de fracasso em uma única tentativa Exemplo 𝟏𝟓𝟖 Em uma pesquisa com usuários frequentes de mídia com idade entre 8 e 18 anos nos Estados Unidos 47 disseram que tiram notas regulares ou ruins 𝐶 ou abaixo Você seleciona aleatoriamente 45 usuários desse grupo e pergunta se eles tiram notas regulares ou ruins Determine se você pode usar uma distribuição normal para aproximar a distribuição de 𝑋 o número de pessoas que responderam sim Se for possível encontre a média e o desvio padrão Se não for possível explique o porquê SOLUÇÃO Neste experimento binomial temos que 𝑛 45 𝑝 047 e 𝑞 053 Portanto temos que 𝑛 𝑝 45 047 211 e 𝑛 𝑞 45 053 2385 Como 𝑛 𝑝 5 e 𝑛 𝑞 5 temos que podemos usar uma distribuição normal com média populacional dada por 𝜇 𝑛 𝑝 2115 e desvio padrão populacional dado por 𝜎 𝑛 𝑝 𝑞 45 047 053 335 para aproximar a distribuição binomial de 𝑋 Exemplo 𝟏𝟓𝟗 Em uma pesquisa com usuários moderados de mídia com idade entre 8 e 18 anos nos Estados Unidos 23 disseram que tiram notas regulares ou ruins 𝐶 ou abaixo Você seleciona aleatoriamente 20 usuários desse grupo e pergunta se eles tiram notas regulares ou ruins Determine se você pode usar uma distribuição normal para aproximar a distribuição de 𝑋 o número de pessoas que responderam sim Se for possível encontre a média e o desvio padrão Se não for possível explique o porquê SOLUÇÃO Neste experimento binomial temos que 𝑛 20 𝑝 023 e 𝑞 077 Portanto temos que 𝑛 𝑝 20 023 46 e 𝑛 𝑞 20 077 154 Como 𝑛 𝑝 5 temos que não podemos usar uma distribuição normal para aproximar a distribuição binomial de 𝑋 Intervalo de Confiança para a Proporção Estimativa Pontual para uma Proporção Populacional A probabilidade de sucesso em uma única tentativa de um experimento binomial é 𝑝 Essa probabilidade é uma proporção populacional Agora veremos como estimar uma proporção populacional 𝑝 usando um intervalo de confiança Como no caso dos intervalos de confiança para 𝜇 𝜎2 e 𝜎 começaremos com uma estimativa pontual DEFINIÇÃO A estimativa pontual 𝒑 para a proporção populacional de sucessos 𝑝 é dada pela proporção de sucessos em uma amostra e é denotada por 𝑝 𝑋 𝑛 em que 𝑋 é o número de sucessos em uma amostra e 𝑛 é o tamanho da amostra A estimativa pontual para a proporção populacional de fracassos ou não sucessos é dada por 𝑞 1 𝑝 As estimativas 𝑝 e 𝑞 são lidas como 𝑝 chapéu e 𝑞 chapéu respectivamente Exemplo 𝟏𝟔𝟎 Em uma pesquisa com 1000 adolescentes americanos 372 disseram que possuem smartphones Encontre uma estimativa pontual para a proporção populacional de adolescentes americanos que possuem smartphones SOLUÇÃO Sendo 𝑛 1000 e 𝑋 372 temos que 𝑝 𝑋 𝑛 𝑝 372 1000 𝑝 0372 Então a estimativa pontual para a proporção populacional de adolescentes americanos que possuem smartphones é de 0372 ou 372 A seguir veremos como obter um intervalo centrado na proporção amostral 𝑝 que contenha a proporção populacional 𝑝 desconhecida com um nível de confiança 𝑐 Intervalo de Confiança para uma proporção populacional Construir um intervalo de confiança para uma proporção populacional 𝑝 é similar a construir um intervalo de confiança para uma média populacional DEFINIÇÃO Um intervalo de confiança 𝑐 para uma proporção populacional 𝑝 é dado por 𝑝 𝐸 𝑝 𝑝 𝐸 em que a margem de erro é definida por 𝐸 𝑧𝑐 𝑝 𝑞 𝑛 A probabilidade de que o intervalo de confiança contenha 𝑝 é 𝑐 supondo que o processo de estimação é repetido um grande número de vezes Observação Vimos anteriormente que uma distribuição binomial pode ser aproximada por uma distribuição normal quando 𝑛 𝑝 5 e 𝑛 𝑞 5 isto é quando n for grande Quando 𝑛 𝑝 5 e 𝑛 𝑞 5 a distribuição amostral de 𝑝 é aproximadamente normal e assim temos uma mudança de variável padronização da variável 𝑋 para a variável 𝑧escore dada por 𝑧 𝑋 𝜇 𝜎 Observe que 𝑧 𝑋 𝜇 𝜎 𝑧 𝑋 𝑛𝑝 𝜎 𝑧 𝑋 𝑛 𝑛𝑝 𝑛 𝑛 𝑝 𝑞 𝑛 𝑧 𝑝 𝑝 𝑝 𝑞 𝑛 Logo a diferença entre a proporção amostral e a proporção populacional é dada por 𝑝 𝑝 𝑧 𝑝 𝑞 𝑛 Dessa forma temos que a margem de erro no intervalo de confiança para a proporção é dada por 𝐸 𝑧 𝑝 𝑞 𝑛 Instruções Em palavras Em símbolos 1 Identificar as estatísticas amostrais 𝑛 e 𝑋 2 Encontrar as estimativas pontuais 𝑝 e 𝑞 𝑝 𝑋 𝑛 e 𝑞 1 𝑝 3 Verificar se a distribuição amostral de 𝑝 pode ser aproximada por uma distribuição normal 𝑛𝑝 5 e 𝑛𝑞 5 4 Encontre os valores críticos 𝑧𝑐 que correspondem ao nível de confiança 𝑐 dado Usar tabela TNP 5 Calcular a margem de erro 𝐸 𝐸 𝑧𝑐 𝑝 𝑞 𝑛 6 Calcular os limites inferior e superior e formar o intervalo de confiança 𝐸 𝑝 𝑝 𝑝 𝐸 Construindo um intervalo de confiança para a proporção populacional Exemplo 𝟏𝟔𝟏 Use os dados do Exemplo 160 para construir um intervalo de confiança de 95 para a proporção populacional de adolescentes americanos que possuem smartphones SOLUÇÃO Do Exemplo 160 temos que a estimativa amostral de adolescentes que possuem smartphones é dada por 𝑝 0372 Então a estimativa amostral para a proporção daqueles que não possuem é 𝑞 1 0372 0628 Podemos verificar que a distribuição amostral de 𝑝 pode ser aproximada por uma distribuição normal pois sendo 𝑛 1000 temos que 𝑛𝑝 1000 0372 372 5 e 𝑛𝑞 1000 0628 628 5 Como 𝑐 095 temos que 𝑧𝑐 196 e assim a margem de erro é dada por 𝐸 𝑧𝑐 𝑝 𝑞 𝑛 196 0372 0628 1000 0030 Logo temos o intervalo de confiança de 95 dado por 𝑝 𝐸 𝑝 𝑝 𝐸 0372 0030 𝑝 0372 0030 0342 𝑝 0402 Portanto com 95 de confiança podemos dizer que a proporção populacional de adolescentes americanos que possuem smartphones está entre 342 e 402 Exemplo 𝟏𝟔𝟐 A figura ao lado é baseada em uma pesquisa com 498 adultos americanos Construa um intervalo de confiança de 99 para a proporção populacional de adultos americanos que acham que os adolescentes são os motoristas mais perigosos SOLUÇÃO Da figura acima temos que 𝑝 071 Então 𝑞 1 071 029 Assim como 𝑝 071 𝑞 029 𝑛 498 e 𝑧𝑐 2575 temos que a margem de erro é dada por 𝐸 𝑧𝑐 𝑝 𝑞 𝑛 2575 071 029 498 0052 Podemos verificar que a distribuição amostral de 𝑝 pode ser aproximada por uma distribuição normal pois sendo 𝑛 498 temos que 𝑛𝑝 498 071 35358 5 e 𝑛𝑞 498 029 14442 5 Como 𝑐 099 temos que 𝑧𝑐 2575 e assim a margem de erro é dada por 𝐸 𝑧𝑐 𝑝 𝑞 𝑛 2575 071 029 498 0052 Assim temos o intervalo de confiança de 99 é dado por 𝑝 𝐸 𝑝 𝑝 𝐸 071 0052 𝑝 071 0052 0658 𝑝 0762 Portanto com 99 de confiança podemos dizer que a proporção populacional de adultos americanos que acham que os adolescentes são os motoristas mais perigosos está entre 658 e 762 Tamanho Mínimo da Amostra Uma forma de aumentar a precisão do intervalo de confiança dada uma margem de erro sem diminuir o nível de confiança é aumentar o tamanho da amostra Assim dado um nível de confiança 𝑐 e uma margem de erro 𝐸 o tamanho mínimo da amostra 𝑛 necessário para estimar a proporção populacional 𝑝 é dado por 𝑛 𝑝 𝑞 𝑧𝑐 𝐸 2 Essa fórmula supõe que você tenha estimativas preliminares de 𝑝 e 𝑞 Se não tiver use 𝑝 05 e 𝑞 05 Exemplo 𝟏𝟔𝟑 No decorrer de uma campanha política deseja estimar com 95 de confiança a proporção populacional de eleitores que votarão no seu candidato A estimativa deve ser precisa distando no máximo 3 da proporção populacional Encontre o tamanho mínimo da amostra necessário quando a não há estimativa preliminar disponível para a proporção desejada e b temse uma estimativa preliminar de 𝑝 031 c Compare os resultados SOLUÇÃO a Como não se tem uma estimativa preliminar de 𝑝 tomamos as estimativas 𝑝 05 e 𝑞 05 Sendo 𝑧𝑐 196 e 𝐸 003 temos que 𝑛 𝑝 𝑞 𝑧𝑐 𝐸 2 05 05 196 003 2 106711 Como 𝑛 não é um número inteiro arredondeo para o próximo número inteiro isto é temos que 𝑛 1068 Logo desconhecendo a estimativa da proporção amostral e para que essa seja precisa distando no máximo 3 da proporção populacional o tamanho mínimo da amostra necessário deve ser 1068 eleitores pesquisados b Já com uma estimativa preliminar de 𝑝 031 temos que 𝑞 069 Assim o tamanho da amostra deve ser de no mínimo 𝑛 𝑝 𝑞 𝑧𝑐 𝐸 2 031 069 196 003 2 91302 Logo conhecendo a estimativa da proporção amostral e para que essa seja precisa distando no máximo 3 da proporção populacional o tamanho mínimo da amostra necessário deve ser 914 eleitores pesquisados c Observemos que sem estimativa preliminar o tamanho mínimo da amostra deve ser de pelo menos 1068 eleitores Já com uma estimativa preliminar de 𝑝 031 o tamanho da amostra deve ser de no mínimo 914 eleitores Portanto conhecendo previamente a margem de erro 𝐸 e o nível de confiança 𝑐 mas desconhecendo previamente a estimativa pontual da proporção amostral 𝑝 temos que este fato influencia no aumento do tamanho da amostra em detrimento de quando se conhece a referida estimativa pontual de 𝑝