Introdução à Inferência Estatística: Estimativas Pontuais e por Intervalo

Prof Paulo Henrique Barbosa Galdino Disciplina Elementos de Probabilidade e Estatística Introdução A inferência estatística tem por objetivo fazer generalizações sobre uma população com base em valores amostrais A inferência pode ser feita estimando os parâmetros a por ponto e b por intervalo A estimativa por ponto é feita através de um único valor enquanto que a estimativa por intervalo fornece um intervalo de valores em torno do valor da estimativa pontual Na estimativa por ponto o objetivo é utilizar a informação amostral para se calcular um valor que seria nossa melhor avaliação para o valor real do parâmetro em questão Na estimativa por intervalo usase a mesma informação proveniente da amostra com o objetivo de se produzir um intervalo que contenha o valor real do parâmetro com algum nível de probabilidade nível de confiança Por exemplo uma amostra aleatória simples de 400 pessoas de uma cidade é extraída e 300 respondem que acham a administração municipal boa ou ótima Então o valor 𝑝 300 400 75 é uma estimativa pontual do percentual de pessoas da cidade que acham a administração boa ou ótima Esta mesma estimativa poderia ser enunciada de outra forma de 70 a 80 das pessoas da cidade acham a administração boa ou ótima Neste caso teríamos uma estimativa por intervalo da proporção do número de pessoas que acham a administração municipal boa ou ótima Note que o centro do intervalo é o valor 75 isto é o centro do intervalo é a estimativa pontual da proporção Estimativa Pontual O objetivo da estimativa pontual é o de produzir uma estimativa que realmente represente a melhor avaliação do valor do parâmetro desconhecido Devese especificar em primeiro lugar o que se entende por melhor avaliação e em segundo os estimadores que satisfaçam estas especificações Como um estimador é uma variável aleatória cujo valor varia de amostra para amostra suas propriedades são de fato as propriedades da distribuição amostral Antes porém de definir o que venha a ser uma estimativa pontual vamos relembrar a definição de parâmetro e estatística DEFINIÇÃO Um parâmetro é a descrição numérica de uma característica populacional Uma estatística é a descrição numérica de uma característica amostral DEFINIÇÃO Uma estimativa pontual de um parâmetro 𝜃 é um único número que pode ser considerado um valor sensato para este parâmetro 𝜃 O estimador pontual de 𝜃 será denotado por 𝜃 Vale observar que para se obter uma estimativa pontual para um parâmetro escolhemos uma estatística de interesse média variância desvio padrão ou proporção e calculamos seu valor pelos dados da amostra A estatística selecionada é chamada de estimador pontual do parâmetro 𝜃 Exemplo 𝟏𝟒𝟒 Suponha que o parâmetro de interesse seja 𝜇 que representa a vida útil média de certo tipo de pilhas Uma amostra aleatória de tamanho 𝑛 3 resulta nos valores de vida útil observados em horas dados por 𝑋1 50 𝑋2 64 e 𝑋3 59 O valor calculado da vida útil média amostral é 𝑋 577 e é razoável considerar 577 um valor bastante plausível de 𝜇 nossa melhor previsão para o valor de 𝜇 com base nas informações disponíveis da amostra Ou seja o estimador usado para obter a estimativa pontual de 𝜇 foi 𝑋 Assim escrevemos 𝜇 𝑋 que é lido como o estimador pontual de 𝜇 é a média amostral 𝑋 Note que escrevendo apenas 𝜃 577 não fica claro o que está se estimando parâmetro e nem de como foi feita a estimativa pontual estatística Assim recomendase que o estimador e a estimativa resultante sejam descritos como por exemplo na descrição 𝜇 𝑋 Exemplo 𝟏𝟒𝟓 Um fabricante de automóveis desenvolveu um novo tipo de parachoque que supostamente absorve impactos com menos danos que os parachoques anteriores O fabricante usou parachoques novos em uma sequência de 25 colisões controladas contra uma parede cada uma a 10 𝑚𝑝ℎ usando um de seus modelos de carro compacto Seja 𝑋 o número de colisões que resultam em danos imperceptíveis ao automóvel O parâmetro a ser estimado é 𝑝 proporção de todas as colisões que não provocam danos Se 𝑋 observado é 𝑋 15 o estimador 𝑝 mais razoável a ser considerado é 𝑝 𝑋 𝑛 15 25 060 ou 𝑝 60 Se para cada parâmetro de interesse houvesse somente um estimador pontual razoável não haveria muito o que discutir sobre a estimativa pontual mas na maioria dos problemas há mais de um estimador razoável Exemplo 𝟏𝟒𝟔 Considere as 20 observações que seguem na voltagem dielétrica de quebra de peças de resina de epóxi dadas por O histograma ao lado nos permite assumir que a distribuição da voltagem dielétrica de quebra é aproximadamente normal com valor médio 𝜇 As observações dadas são então assumidas como o resultado de uma amostra aleatória 𝑋1 𝑋2 𝑋20 dessa distribuição normal Considere os seguintes estimadores para o parâmetro 𝜇 𝑋 𝑋𝑖 𝑛 55586 20 27793 𝑋 2794 2798 2 27960 𝑋 min 𝑋𝑖 max 𝑋𝑖 2 2446 3088 2 27670 𝑋 𝑡𝑟 10 55586 2446 2561 2950 3088 16 27838 Este último estimador 𝑋 𝑡𝑟 10 é a média aparada de 10 isto é despreza os 10 menores e maiores da amostra e calcula a média Cada um dos estimadores dados anteriormente utiliza uma medida diferente do centro da amostra para estimar 𝜇 Qual das estimativas está mais próxima do valor real A pergunta acima não pode ser respondida sem saber o valor real da média No entanto uma pergunta que pode ser respondida posteriormente é Que estimador quando usado em outras amostras dos 𝑋𝑖 tenderá a produzir estimativas mais próximas do valor real A pergunta acima pode ser respondida utilizando o conceito de valor esperado já visto mas que não entraremos em detalhes Exemplo 𝟏𝟒𝟕 Há um interesse crescente no desenvolvimento de ligas à base de 𝑀𝑔 magnésio pois além de baixo custo para diversos processos de fundição este possui boas características de resistência mecânica sendo esta característica avaliada por meio do chamado módulo de elasticidade Considere a seguinte amostra de observações no módulo de elasticidade 𝐺𝑃𝑎 desta liga em um processo de fundição Assuma que essas observações sejam o resultado de uma amostra aleatória 𝑋1 𝑋2 𝑋8 da distribuição da população de módulo elástico sob tais circunstâncias Queremos estimar a variância da população 𝜎2 Um estimador natural é a variância amostral dada a seguir 𝜎 2 𝑠2 𝑋𝑖 𝑋 2 𝑛 1 176 7 𝟎 𝟐𝟓 Portanto uma estimativa de 𝜎 é dada por 𝜎 𝑠2 025 𝟎 𝟓 Um estimador alternativo para a variância é substituir na fórmula acima 𝑛 1 no divisor por de 𝑛 isto é 𝜎 2 𝑠2 𝑋𝑖 𝑋 2 𝑛 176 8 𝟎 𝟐𝟐 Assim temos duas formas diferentes de estimar o valor da variância populacional parâmetro 𝜎2 Observação Observemos que nos Exemplos 146 e 147 vimos estimadores pontuais para os parâmetros 𝜇 e 𝜎 média e desvio padrão populacional Em particular no Exemplo 146 vimos vários estimadores pontuais para o parâmetro 𝜇 Veremos a seguir qual estimador é o mais indicado para estimar um parâmetro Estimadores nãotendenciosos Na condição ideal podemos encontrar um estimador 𝜃 para o qual 𝜃 𝜃 sempre Entretanto 𝜃 é uma função da amostra dos 𝑋𝑖 portanto é uma variável aleatória Para algumas amostras 𝜃 produzirá um valor maior que 𝜃 enquanto para outras 𝜃 produzirá um valor menor que 𝜃 Se escrevermos 𝜃 𝜃 𝐞𝐫𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐞𝐬𝐭𝐢𝐦𝐚𝐭𝐢𝐯𝐚 então um estimador preciso seria aquele que resultasse em pequenos erros de estimativa de modo que os valores estimados estariam próximos do valor real Um estimador que possui a propriedade de nãotendenciosidade geralmente será preciso nesse sentido DEFINIÇÃO Um estimador pontual 𝜃 é considerado um estimador nãotendencioso de 𝜃 se 𝐸 𝜃 𝜃 para cada valor possível de 𝜃 Isto é se o valor esperado para o estimador coincide com o parâmetro Se 𝜃 for tendencioso a diferença 𝐸 𝜃 𝜃 é diferente de zero e assim esta diferença é chamada de desvio ou tendenciosidade de 𝜃 Quanto menor a diferença entre o valor esperado para o estimador e o parâmetro estimado 𝐸 𝜃 𝜃 menos tendencioso é o estimador 𝜃 Estimadores Média Proporção e Variância Na tabela seguinte apresentamos respectivamente estimadores não tendenciosos para a média proporção e variância populacional 𝑃𝑎𝑟â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝐸𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝜇 𝑋 𝑋1 𝑋2 𝑋𝑛 𝑛 A média amostral 𝑋 é um estimador não tendencioso da média populacional 𝜇 𝑝 𝑝 número de itens com a característica na amostra 𝑛 A proporção amostral 𝑝 é um estimador não tendencioso da proporção populacional 𝑝 𝜎2 𝑆2 𝑋𝑖 𝑋 2 𝑛 1 A variância amostral 𝑆2 é um estimador não tendencioso da variância populacional 𝜎2