Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuições de Probabilidade

Prof Paulo Henrique Barbosa Galdino Disciplina Elementos de Probabilidade e Estatística Distribuição de Probabilidade Contínua Variáveis Aleatórias Contínuas Uma variável aleatória 𝑣𝑎 é discreta se os seus valores possíveis constituírem tanto um conjunto finito ou como se puderem ser relacionados em uma sequência infinita uma lista em que haja um primeiro elemento um segundo um terceiro etc Uma variável aleatória cujo conjunto de valores possíveis consiste de um intervalo completo de números reais não é discreta é chamada de variável aleatória contínua DEFINIÇÃO Uma variável aleatória 𝑋 é dita ser contínua se o seu conjunto de valores possíveis 𝑥𝑖 com 𝑖 1 2 3 consistir de todos os pontos de um intervalo de números reais 𝑎 𝑏 Exemplo 𝟏𝟐𝟐 Variáveis aleatórias discretas número de irmãos 0 1 2 3 número de defeitos 0 1 2 3 número de pacientes em uma clínica 0 1 2 3 Variáveis aleatórias contínuas altura 154𝑚 165 𝑚 181 𝑚 peso de um indivíduo 420 𝑘𝑔 542 𝑘𝑔 658 𝑘𝑔 tempo empregado na realização de uma tarefa 1 hora 1 ½ hora 55 𝑚𝑖𝑛 22 𝑠 Distribuições de Probabilidade Contínua Suponha que a variável de interesse 𝑋 represente a profundidade de um lago em metros Seja 𝑀 profundidade máxima do lago de modo que qualquer número 𝑥𝑖 do intervalo 0 𝑀 seja um valor possível da variável 𝑋 𝑴 Se considerarmos a variável aleatória 𝑋 como sendo discreta podemos arredondar uma profundidade qualquer 𝑥𝑖 para o valor inteiro mais próximo sendo estes menores ou iguais a 𝑀 isto é 𝑥𝑖 0 𝑀 Vimos que a distribuição discreta resultante das profundidades 𝑋 pode ser representada por meio de um histograma Se desenharmos o histograma de forma que a área do retângulo acima de qualquer inteiro possível 𝑥𝑖 seja a proporção do lago cuja profundidade seja 𝑃 𝑥𝑖 com arredondamento para o metro seguinte então a soma das áreas de todos os retângulos será 1 0 𝑋 𝑃 𝑋 𝑀 𝑥𝑖 𝑃 𝑥𝑖 A partir do histograma anterior podemos também traçar o polígono de frequência dado abaixo por 0 𝑋 𝑃 𝑋 𝑀 Observe que temos uma linha poligonal ligando os valores 𝑃 𝑘𝑖 Se a profundidade for medida com arredondamento para o centímetro seguinte e for usado o mesmo eixo de medidas do histograma anterior cada retângulo no histograma de probabilidades será muito mais estreito neste caso metade do retângulo original e além disso note que a soma das áreas de todos os retângulos permanece igual a 1 O histograma neste caso é dado por 𝑋 𝑃 𝑋 𝑀 0 Observe na figura anterior que a curva que era uma poligonal vai se suavizando transformandose numa curva não poligonal Se continuarmos executando medidas de forma mais e mais precisas determinamos uma sequência infinita de retângulos de base cada vez menor cada vez mais ajustados a uma curva não poligonal conforme figura abaixo 𝑋 𝑃 𝑋 𝑀 0 Note que para cada histograma visto anteriormente a soma das áreas de todos os retângulos é igual a 1 assim como a área total sob a curva ajustada Dessa forma a probabilidade de uma profundidade 𝑥𝑖 aleatória qualquer estar entre 𝑎 e 𝑏 é igual à área sob a curva ajustada e entre as duas retas verticais passando por 𝑎 e 𝑏 𝑋 𝑃 𝑋 𝑀 0 𝑎 𝑏 É exatamente uma curva ajustada do tipo ilustrado na figura anterior que especifica uma distribuição de probabilidade contínua conforme definição a seguir DEFINIÇÃO Seja 𝑋 uma va contínua A distribuição de probabilidade ou função de densidade de probabilidade 𝑓𝑑𝑝 de 𝑋 será então uma função 𝑓 𝑥 tal que para quaisquer dois números reais 𝑎 e 𝑏 com 𝑎 𝑏 temse 𝑃 𝑎 𝑋 𝑏 𝑓 𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 Isto é a probabilidade de 𝑋 ter um determinado valor no intervalo 𝑎 𝑏 é a área contida entre 𝑎 e 𝑏 e abaixo da curva da função de densidade conforme ilustrado na abaixo O gráfico da função 𝑓𝑥 é denominado de curva de densidade 𝑃 𝑎 𝑋 𝑏 Para que uma função 𝑓 𝑥 seja uma 𝑓𝑑𝑝 esta deve satisfazer às duas condições a seguir 1 𝑓 𝑥 0 para todo 𝑥 no intervalo 𝑎 𝑏 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 1 Exemplo 𝟏𝟐𝟑 Tempo de avanço no fluxo do tráfego é o tempo entre o instante em que um carro termina de passar por um ponto fixo e o instante em que o próximo carro começa a passar por esse ponto Seja 𝑋 a variável aleatória que denota o tempo de avanço para dois carros consecutivos escolhidos ao acaso em uma estrada durante um período de tráfego intenso A seguinte 𝑓𝑑𝑝 de 𝑋 é essencialmente a sugerida em The Statistical Properties of Freeway Traffic Transp Research vol 11 p 221228 𝑓 𝑥 015 𝑒015 𝑥05 se 𝑥 055 0 caso contrário O gráfico de 𝑓 𝑥 é dado a seguir Observe que não há densidade associada aos tempos de avanço inferiores a 05 e a densidade do avanço decresce exponencialmente rápida à medida que 𝑥 aumenta a partir de 05 Mostremos que 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 1 Para tanto usemos a expressão do cálculo dada por 𝑒𝑘𝑥 𝑎 𝑑𝑥 1 𝑘 𝑒𝑘𝑎 Então 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 015 𝑒015 𝑥05 05 𝑑𝑥 015𝑒0075 𝑒015𝑥 05 𝑑𝑥 015 𝑒0075 1 015 𝑒 015 05 1 Assim por exemplo probabilidade do tempo de avanço ser no máximo 5 segundos é dada por 𝑃 𝑋 5 𝑓 𝑥 5 𝑑𝑥 015 𝑒015 𝑥05 5 05 𝑑𝑥 015𝑒0075 𝑒015𝑥 5 05 𝑑𝑥 015𝑒0075 1 015 𝑒015 5 𝑒015 05 𝑒0075 𝑒075 𝑒0075 1078 0472 0928 0491 Diferentemente das distribuições discretas tais como a binomial a distribuição de qualquer va contínua distribuída normalmente não pode ser deduzida por meio de argumentos probabilísticos simples Pelo contrário devese fazer uma escolha cuidadosa da 𝑓𝑑𝑝 com base em conhecimentos anteriores e dados disponíveis Felizmente há algumas famílias gerais de 𝑓𝑑𝑝𝑠 que funcionam bem em diversas situações experimentais várias delas discutidas a seguir Assim como no caso discreto normalmente é útil imaginar a população de interesse constituída de 𝑋 valores em vez de indivíduos ou objetos A 𝑓𝑑𝑝 é então um modelo para distribuição dos valores da população numérica e pelo modelo podese calcular diversas características da população como a média desvio padrão proporção etc