Estimadores Intervalares e Margem de Erro na Estatística

Prof Paulo Henrique Barbosa Galdino Disciplina Elementos de Probabilidade e Estatística Estimadores Intervalares e Margem de Erro Introdução Um clube de xadrez quer estimar o 𝑄𝐼 médio de seus membros A média de uma amostra aleatória dos membros é 115 pontos Como essa estimativa consiste em um único número ele é chamado de estimativa pontual conforme já vimos O problema com a utilização de uma estimativa pontual é que ela raramente é igual ao parâmetro exato média desvio padrão ou proporção da população A questão agora é como fazer uma estimativa mais apropriada especificando um intervalo de valores no conjunto dos números reais juntamente com uma afirmação de quão confiante se está de que o intervalo contém o parâmetro populacional Por exemplo suponha que o clube queira estar 90 confiante de sua estimativa para o 𝑄𝐼 médio de seus membros Na figura abaixo podemos ter uma visão geral de como construir uma estimativa por intervalo com um nível de confiança de 90 Então o clube pode estar 90 confiante de que o 𝑄𝐼 médio de seus membros está entre 1117 e 1183 pontos Exemplo 𝟏𝟒𝟖 Um pesquisador da área econômica está coletando dados sobre funcionários de mercearias em um dado município Os dados listados a seguir representam uma amostra aleatória do número de horas semanais trabalhadas por 40 funcionários de diversas mercearias no referido município Encontre uma estimativa pontual da média populacional 𝜇 SOLUÇÃO A média amostral dos dados é 𝑋 𝑋𝑖 𝑛 1184 40 296 Então a estimativa pontual para o número médio de horas semanais trabalhadas por funcionários de mercearias nesse município é de 296 horas Estimativa por Intervalo No Exemplo 148 visto anteriormente a probabilidade de que a média populacional seja exatamente 296 é praticamente zero Então em vez de estimar 𝜇 como sendo exatamente 296 por meio da estimativa pontual podemos estimar que 𝜇 esteja em um intervalo Isso se chama fazer uma estimativa por intervalo DEFINIÇÃO Uma estimativa por intervalo é um intervalo ou amplitude de valores usado para estimar um parâmetro populacional Ao se fazer uma estimativa por intervalo precisamos nos ater a duas questões a qual será a margem de erro em torno do centro desse intervalo b qual é o nível de confiança que temos de modo que a estimativa intervalar contenha a média populacional 𝜇 Nível de Confiança Antes de encontrar uma margem de erro para uma estimativa intervalar devemos primeiro determinar quão confiante precisamos estar de que sua estimativa intervalar contenha a média populacional 𝜇 DEFINIÇÃO O nível de confiança 𝒄 é a probabilidade de que a estimativa intervalar contenha o parâmetro populacional supondo que o processo de estimação é repetido um grande número de vezes Exemplo 𝟏𝟒𝟗 Um pesquisador político pretende perguntar a uma amostra aleatória de 500 eleitores se eles apoiam ou não o candidato em exercício Com os resultados da amostra o pesquisador criará um intervalo com nível de confiança de 90 para a proporção real de todos os eleitores que apoiam o candidato Isso significa que se o pesquisador repetir esse processo várias vezes então aproximadamente 90 dos intervalos produzidos vão capturar a proporção real de eleitores que apoiam o candidato Assim ao criarmos um intervalo com um nível de confiança 𝑐 90 95 𝑜𝑢 99 este referese à taxa de sucesso em longo prazo do método ou seja com que frequência esse tipo de intervalo vai capturar o parâmetro de interesse Um intervalo de confiança específico fornece uma amplitude de valores plausíveis para o parâmetro de interesse Valores Críticos Sabemos pelo TLC que quando 𝑛 30 a distribuição amostral das médias amostrais é uma distribuição normal Temos também que o nível de confiança 𝑐 é a área porcentagem da área sob a curva normal padrão entre os valores 𝑧𝑐 e 𝑧𝑐 chamados de valores críticos Esses valores críticos em geral separam resultados prováveis região central de improváveis ou incomuns caudas Verificase na figura ao lado que 𝑐 é a porcentagem da área sob a curva normal entre os valores 𝑧𝑐 e 𝑧𝑐 A área restante é 1 𝑐 então a área em cada cauda é dada por 1 𝑐 2 1 𝑐 2 1 𝑐 2 Observação Se 𝑐 90 então 5 da área está à esquerda de 𝑧𝑐 1645 e 5 da área está à direita de 𝑧𝑐 1645 conforme mostrado abaixo 5 5 1645 1645 Embora não exista uma regra para a adoção do nível de confiança os níveis mais adotados são de 90 95 e 99 cujos valores críticos associados TNP são respectivamente dados por 1645 196 e 2575 𝒄 𝟗𝟎 𝑐 090 Área na região azul 1 𝑐 010 Área nas regiões amarelas 1 𝑐 2 005 Área em uma cauda 𝑧𝑐 1645 Valor crítico separando a cauda esquerda 𝑧𝑐 1645 Valor crítico separando a cauda direita Margem de Erro A diferença entre a estimativa pontual e o valor real do parâmetro é chamada de erro de amostragem ou erro amostral Quando 𝜇 é estimado o erro de amostragem é a diferença dada por 𝑋 𝜇 Porém para usar a TNP precisamos padronizar a variável 𝑋 o que é feito pela seguinte mudança de variável que nos fornece também o erro amostral 𝑧 𝑋 𝜇 𝜎𝑋 𝑋 𝜇 𝑧 𝜎𝑋 Na maioria dos casos é claro 𝜇 é desconhecido e 𝑋 varia de amostra para amostra Entretanto podemos calcular o valor máximo para o erro quando soubermos o nível de confiança e a distribuição amostral da variável em estudo DEFINIÇÃO Dado um nível de confiança 𝑐 a margem de erro 𝐸 é a maior distância possível entre a estimativa pontual e o valor do parâmetro que ela está estimando Para uma média populacional 𝜇 em que 𝜎 é conhecido a margem de erro é definida como 𝐸 𝑧𝑐 𝜎𝑋 ou 𝐸 𝑧𝑐 𝜎 𝑛 quando são atendidas as duas condições a seguir a a amostra é aleatória b pelo menos um dos seguintes fatos é verdade a população é normalmente distribuída ou 𝑛 30 Margem de erro 𝐸 para 𝜇 𝜎 conhecido Exemplo 𝟏𝟓𝟎 Use os dados do Exemplo 148 e um nível de confiança de 95 para encontrar a margem de erro para o número médio de horas trabalhadas por funcionários de mercearias Suponha que o desvio padrão da população seja de 79 horas SOLUÇÃO Como 𝜎 79 a amostra é aleatória e 𝑛 40 30 temos que a margem de erro 𝐸 é dada por 𝐸 𝑧𝑐 𝜎 𝑛 O zescore que corresponde a um nível de confiança de 95 é de 196 Isso implica que 95 da área sob a curva normal padrão está no intervalo de 196 desvios padrão da média conforme mostra figura ao lado Usando os valores 𝑧𝑐 196 𝜎 79 e 𝑛 40 temos que 𝐸 𝑧𝑐 𝜎 𝑛 196 79 40 24 Portanto a interpretação que temos deste problema é que estamos 95 confiantes de que a margem de erro para a média populacional é de aproximadamente 24 horas Assim com base nos cálculos de uma estimativa pontual e da sua margem de erro podemos definir o que chamaremos de intervalo de confiança 𝑐