Distribuição de Probabilidade de Variável Aleatória em Amostras com Reposição

Prof Paulo Henrique Barbosa Galdino Disciplina Elementos de Probabilidade e Estatística Exemplo 𝟏𝟑𝟖 Considere uma urna onde há cinco pedaços de papel numerados 1 3 5 5 7 Um pedaço é sorteado e recolocado na urna então um segundo pedaço é sorteado Definindo a variável aleatória 𝑋 como sendo o valor assumido pelo elemento na população abaixo temos a distribuição de probabilidade de 𝑋 Consideremos respectivamente 𝑋1 e 𝑋2 como sendo o primeiro e o segundo números sorteados Considerando a população 1 3 5 5 7 selecionemos todas as amostras possíveis de tamanho 2 com reposição selecionadas aleatoriamente da população dada Considerando que 𝑋1 representa os elementos da coluna em vermelho e 𝑋2 representa os elementos da linha em branco temos o par ordenado 𝑋1 𝑋2 Dessa forma todas as amostras possíveis de tamanho 2 selecionadas aleatoriamente e com reposição são dadas na tabela abaixo 1 3 5 5 7 1 11 13 15 15 17 3 31 33 35 35 37 5 51 53 55 55 57 5 51 53 55 55 57 7 71 73 75 75 77 Valendo lembrar que os pares ordenados acima foram obtidos tomando todas as combinações possíveis de 5 elementos tomados 2 a 2 dadas por 𝐴𝑘 𝑛 𝑛𝑘 𝐴2 5 52 25 Assim temos abaixo a distribuição das probabilidades das possíveis amostras de tamanho 2 que podem ser selecionadas com reposição da população dada Observe que a tabela acima também pode ser vista como a distribuição de probabilidade da variável aleatória 𝑋 𝑋1 𝑋2 Considere a média amostral 𝑋 de cada amostra 𝑋1 𝑋2 definida por 𝑋 𝑋1 𝑋2 2 Note que por exemplo quando a amostra selecionada é o par 11 temos que sua média é 𝑋 1 Então pela tabela anterior temos que 𝑃 𝑋 1 1 25 Observe também que a média 𝑋 3 ocorre somente quando ocorrer o evento 𝐴 15 33 51 Logo temos que 𝑃 𝑋 3 𝑃 𝐴 2 25 1 25 2 25 5 25 1 5 Observe que os valores possíveis para 𝑋 são 1 2 3 4 5 6 e 7 Procedendo de maneira análoga para os demais valores que 𝑋 pode assumir obtemos a tabela abaixo que nos dá a distribuição da variável aleatória 𝑋 Nas figuras seguintes respectivamente temos as distribuições de probabilidade da variável aleatória 𝑋 e da variável aleatória 𝑋 Notase nos histogramas seguintes que a distribuição da variável 𝑋 é aproximadamente simétrica diferentemente da distribuição da variável 𝑋 𝒙 1 2 3 4 5 6 7 Total 𝑃 𝑥 1 25 2 25 5 25 6 25 6 25 4 25 1 25 1 Abaixo temos a distribuição de probabilidade da variável aleatória 𝑋 𝑋 1 3 5 2 25 4 25 6 25 7 𝑃 𝑋 Abaixo temos a distribuição de probabilidade da variável aleatória 𝑋 𝑋 1 2 3 4 5 6 2 25 4 25 6 25 7 𝑃 𝑋 Exemplo 𝟏𝟑𝟗 Considerando o Exemplo 138 temos a população 1 3 5 5 7 que possui média 𝜇 42 e variância 𝜎2 416 Pela distribuição de probabilidade dada no Exemplo 138 temos que 𝐸 𝑋 𝑥𝑖 𝑃 𝑥𝑖 𝑛 𝑖1 𝐸 𝑋 1 1 25 2 2 25 3 5 25 4 6 25 5 6 25 6 4 25 7 1 25 42 De modo análogo encontramos 𝑉𝑎𝑟 𝑋 𝑋𝑖 𝜇 2 𝑃 𝑋𝑖 𝑛 𝑖1 208 Consequentemente o desvio padrão amostral é dado por 𝐷𝑃 𝑋 𝑉𝑎𝑟 𝑋 208 144 Exemplo 𝟏𝟒𝟎 Considerando o Exemplo 138 temos a população 1 3 5 5 7 para a qual vamos construir os histogramas das distribuições de 𝑋 para amostras de tamanho 𝑛 1 2 3 1 Para 𝑛 1 temos que a distribuição de 𝑋 coincide com a distribuição de 𝑋 onde temos que 𝐸 𝑋 𝐸 𝑋 42 e 𝑉𝑎𝑟 𝑋 𝑉𝑎𝑟 𝑋 416 2 Para 𝑛 2 temos que a distribuição de 𝑋 coincide com a distribuição de 𝑋 onde temos que 𝐸 𝑋 𝐸 𝑋 42 e 𝑉𝑎𝑟 𝑋 208 3 Para 𝑛 3 temos que a distribuição de 𝑋 coincide com a distribuição de 𝑋 onde temos que 𝐸 𝑋 𝐸 𝑋 42 e 𝑉𝑎𝑟 𝑋 139 Na figura ao lado temos as distribuições de 𝑋 para amostras de tamanhos 𝑛 1 2 3 da população 1 3 5 5 7 Note que conforme 𝑛 vai aumentando o histograma tende a se concentrar cada vez mais em torno de 𝐸 𝑋 𝐸 𝑋 42 já que a variância vai diminuindo Os casos extremos passam a ter pequena probabilidade de ocorrência Quando 𝑛 for suficientemente grande o histograma alisado aproximase de uma distribuição normal Essa aproximação pode ser verificada analisandose os gráficos da figura abaixo que mostra o comportamento da distribuição de 𝑋 para várias formas da distribuição da população e vários valores do tamanho da amostra 𝑛 Considerando a média das médias amostrais denotada por 𝜇𝑋 e o desvio padrão das médias denotado por 𝜎𝑋 temos as seguintes propriedades das distribuições amostrais de médias 1 A média das médias amostrais 𝜇𝑋 é igual a média da população isto é 𝜇𝑋 𝜇 2 O desvio padrão das médias amostrais 𝜎𝑋 é igual o desvio padrão da população 𝜎 dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra 𝑛 isto é 𝜎𝑋 𝜎 𝑛 O desvio padrão da distribuição amostral das médias amostrais é chamado de erro padrão da média Observação Distribuição Amostral DEFINIÇÃO Uma distribuição amostral é a distribuição de probabilidade de uma estatística amostral que é formada quando amostras de tamanho 𝑛 são repetidamente extraídas de uma população Se a estatística amostral é a média temse então a distribuição amostral das médias Cada estatística amostral tem uma distribuição amostral Observase que os exemplos vistos anteriormente sugerem que quando o tamanho da amostra aumenta independentemente da forma da distribuição da população 𝑋 a distribuição amostral de 𝑋 aproximase cada vez mais de uma distribuição normal Esse resultado fundamental na teoria da Inferência Estatística é conhecido como Teorema do Limite Central TLC enunciado a seguir TEOREMA teorema do limite central TLC 1 Se amostras de tamanho 𝑛 em que 𝑛 30 são retiradas ao acaso de uma população qualquer com uma média 𝜇 e um desvio padrão 𝜎 então a distribuição amostral das médias se aproxima de uma distribuição normal Quanto maior o tamanho da amostra melhor a aproximação 2 Se a população é normalmente distribuída então a distribuição amostral das médias é normalmente distribuída para qualquer tamanho de amostra 𝑛 Em qualquer dos casos a distribuição amostral das médias tem média igual à média da população 𝜇𝑋 𝜇 média das médias amostrais A distribuição amostral das médias tem uma variância igual a 1 𝑛 vezes a variância da população e um desvio padrão igual ao desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada de 𝑛 respectivamente dados por 𝜎𝑋 2 𝜎2 𝑛 e 𝜎𝑋 𝜎 𝑛 Variância das médias amostrais Desvio padrão das médias amostrais Lembrese de que o desvio padrão da distribuição amostral das médias amostrais 𝜎𝑋 também é chamado de erro padrão da média