Controle de Servomecanismos - Aulas de Análise e Projeto

Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 CONTROLE E SERVOMECANISMOS Engenharia da Computacao Modulo 2 Metodos Classicos de Analise e Projeto Prof Dr Victor Leonardo Yoshimura Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Faculdade de Computacao 20222 Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Aula 13 A Equacao Diofantina Aula 14 Analise do Lugar das Raızes Aula 15 Projeto via Lugar das Raızes Aula 16 Resposta em Frequˆencia I Diagramas de Bode Aula 17 Resposta em Frequˆencia II O Criterio de Nyquist Aula 18 Resposta em Frequˆencia III Parˆametros de Desempenho Aula 19 Resposta em Frequˆencia IV Resposta em Malha Fechada Aula 20 Resposta em Frequˆencia V Projeto de Compensadores Controle Prof Victor Aula 13 Alocacao de Polos A Equacao Diofantina Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Aula 13 A Equacao Diofantina Aula 14 Analise do Lugar das Raızes Aula 15 Projeto via Lugar das Raızes Aula 16 Resposta em Frequˆencia I Diagramas de Bode Aula 17 Resposta em Frequˆencia II O Criterio de Nyquist Aula 18 Resposta em Frequˆencia III Parˆametros de Desempenho Aula 19 Resposta em Frequˆencia IV Resposta em Malha Fechada Aula 20 Resposta em Frequˆencia V Projeto de Compensadores Controle Prof Victor Aula 13 Alocacao de Polos A Equacao Diofantina Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Alocacao de Polos A partir das condicoes 9194 e possıvel escolher posicoes de polos adequadas para a FTMF O processo descrito e chamado alocacao de polos Importante Problema Dados os polos desejados e tendo a planta fixa como determinar o comepensador de forma a alocar os polos de malha fechada nas posicoes escolhidas O Sistema em Realimentacdo Unitaria onmons Prof Victor 7s és gs Alocaao de Polos Escrevamos as FTs da planta e do compensador como Mg 8 gi gs figs Dao Pie 131 dgs Lixo WS fh Me bjsi as els 20 Pie 132 des Lij2o as Usando a regra de feedback 34 os es9s fic8fgs aya AT AAPA DONO a 133 Fs 14 s9Gs fcsAgs desdgs Kn y Controle O Polindmio Caracteristico de Alocacao i ed col AAT ROE Observacdo Note que se a planta e o controlador tém ordens ng Ne respectivamente entdo o polinédmio caracteristico de alocagao Gs podera ter ng n polos a escolha Sejam p1p2Pnen OS polos desejados entdo NetNg NetNg Gs II s pj S gis 134 i1 i0 Controle Prof Victor Aula 13 Alocacao de Polos A Equacao Diofantina Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 A Equacao Diofantina Combinando as observacoes feitas em 133 e em 134 ˆncsˆngs ˆdcs ˆdgs ˆqs 135 que e chamada equacao diofantina Observacao Note que ˆncs e ˆdcs sao as incognitas de 135 Sob quais circunstˆancias existe solucao para 135 A solucao se existe e unica Como encontrar a solucao Note que como nao ha produto de incognitas a dependˆencia entre estas e os coeficientes de Dg e Ng e linear Solucdo da Equacao Diofantina onvel ed col AAT ROE Observando 131 e 132 note que ficSMgs boBo 6180 b081s b280 b1B1 en MetmMg bo B28 Se DiBmemi srs i0 dsdqs anao a1Q9 ana1s aga9 ayay NetNg aga 8 toot S AiOAnngi ghetng i0 Observacdo Como aj 3 sdo dados e ab sao as incdégnitas a Equacao Diofantina é um problema linear n n Controle Solucao da Equacao Diofantina i ed col AAT ROE P Dois polinémios sao iguais se seus respectivos eee coeficientes o sao Assim para os termos de grau zero de 135 agao Bobo go Para o termo de primeiro grau a1ag aga Bib9 fob1 1 Para o termo de iésimo grau i So ainak Bikde Gi k0 Controle Prof Victor Aula 13 Alocacao de Polos A Equacao Diofantina Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 A Matriz de Sylvester De 135 surge um sistema de equacoes lineares Convem utilizar a matriz de Sylvester Defina o bloco de Sylvester do denominador de G SD α0 0 0 0 0 0 α1 α0 0 0 0 0 α2 α1 α0 0 0 0 αng αng1 αng2 α0 0 0 0 αng αng1 α1 α0 0 0 0 0 0 0 αng Rncng1nc1 136 Solucao da Equacao Diofantina en nage VA Leino s O bloco do numerador é feito similarmente e com dimens3o Sy Ritet rat xme1 Escrevamos a a0 ai an b bo br bme q ao qe Gnctng SSp Sy A solucdo de 135 é obtida do sistema a S if q 137 Controle Prof Victor Aula 13 Alocacao de Polos A Equacao Diofantina Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Comentarios sobre a Matriz de Sylvester Para haver solucao unica S deve ser invertıvel o que implica em mc ng 1 138 De toda forma note que se deve fazer nc mc Nao ha interesse em fazer mc ng 1 pois aumenta a complexidade de C desnecessariamente Ha um problema nao resolvido o do controlador de ordem reduzida onde mc ng 1 Neste caso porem a Equacao Diofantina pode nao ter solucao Controladores Reduzidos e Minimos Quadrados onvel ed col AAT ROE PE possivel que um polindmio Q nao seja atendido por 137 Assim propdese solucionar o problema a in S 139 ab 5 we m 139 um problema de minimos quadrados cuja solucao é R SS 8q 1310 Controle Prof Victor Aula 13 Alocacao de Polos A Equacao Diofantina Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Comentarios Finais Nao se garante que 1310 atendera as especificacoes de projeto A solucao encontrada deve ser testada E comum ter que se projetar um controlador que imponha um tipo mınimo Procedimento simples i Troque G por G G sk onde k leva ao tipo desejado ii Solucione a Equacao Diofantina obtendo C iii A solucao verdadeira sera C sk Observacao Principal desvantagem da Equacao Diofantina os polos desejados devem ser exatamente especificados o que leva a pouca flexibilidade do metodo Controle Prof Victor Aula 13 Alocacao de Polos A Equacao Diofantina Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Exemplo Tanques Comunicantes Considere o sistema de tanques comunicantes Aula 07 com R1 1sm2 R2 04sm2 C1 2m2 e C2 5m2 Assim se a variavel controlada for o nıvel do tanque 2 ˆh2s ˆqs 04 4s2 48s 1 Verifiquemos se existe um controlador que Elimine o erro estatico de posicao Tenha tempo de acomodacao inferior a 10s criterio 2 Leve o overshoot a menos de 10 Controle Prof Victor Aula 13 Alocacao de Polos A Equacao Diofantina Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Exemplo Tanques Comunicantes Devemos inserir um polo na origem Logo usaremos ˆgs s 04 4s3 48s2 s Para garantir solucao da Equacao Diofantina facamos mc 2 Assim sˆcs b2s2 b1s b0 a1s a0 o polo extra esta em ˆgs Os blocos de Sylvester de ˆgs sao SD 0 0 1 0 48 1 4 48 0 4 SN 04 0 0 0 04 0 0 0 04 0 0 0 0 0 0 Exemplo Tanques Comunicantes rene ed col AAT ROE Para M 01 devese ter 06 Para t 10s devese ter Cw 04 critério 2 fee Facamos 065 e w 07 Pm Polos dominantes 0455 j0532 Os demais polos serdo reais com o dez vezes maior Assim Gs s 0455 j0532s 0455 j0532s 5 s4 109s 3465 2775 123 Aplicando 137 a bl 2425 025 3075 6319 5678 Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 O Lugar das Raızes Criterios para o Tracado Alocacao de Polos Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Aula 13 A Equacao Diofantina Aula 14 Analise do Lugar das Raızes Aula 15 Projeto via Lugar das Raızes Aula 16 Resposta em Frequˆencia I Diagramas de Bode Aula 17 Resposta em Frequˆencia II O Criterio de Nyquist Aula 18 Resposta em Frequˆencia III Parˆametros de Desempenho Aula 19 Resposta em Frequˆencia IV Resposta em Malha Fechada Aula 20 Resposta em Frequˆencia V Projeto de Compensadores Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 O Lugar das Raızes Criterios para o Tracado Alocacao de Polos Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Introducao Observacao Os polos de malha fechada sao chamados raızes do sistema A localizacao das raızes determina a estabilidade aula 12 e o desempenho do sistema aulas 08 e 09 O calculo das raızes pode ser feito numericamente Podese utilizar o Criterio de RouthHurwitz tambem Importante A analise do Lugar das Raızes LR root locus determina a mudanca da posicao das raızes a medida em que algum parˆametro do sistema e alterado Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 O Lugar das Raızes Criterios para o Tracado Alocacao de Polos Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Conceitos Preliminares I Considere o sistema de controle e 34 Σ ˆgs ˆhs ˆrs ˆys ˆys ˆrs ˆgs 1 ˆgsˆhs Considere em ˆgs a inclusao do compensador Para encontrar o LR devese resolver ˆgsˆhs 1 141 Importante O metodo LR determina os polos da FTMF a partir de informacoes da FTMA Logo nao e necessario determinar a FTMF Conceitos Preliminares II Prof Victor Como as raizes so complexas podese reescrever 141 9shs 1 1422 arg9shs 1802k 1k EN 142b Considere a forma ZeroPoloGanho ZPK da FTMA 122c m m I s 2 IL s zile ishs KE K4 143 s pv ls pile i1 i1 Importante Como determinar as raizes 4 medida em que K 000 é alterado Conceitos Preliminares III onvel ed col AAT ROE As condiées 142 sdo reescritas com 143 n m om nce Cease re k len Ths 144a i1 jl m n Sov So vi 1802k 1k EN 144b jl i1 Observacdo Com a forma racional para a FTMA se reescreve 141 ds Kfs 0 145 E evidente que grd n m grf Cada polo gera uma raiz e seu tracado é dito um ramo do LR Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 O Lugar das Raızes Criterios para o Tracado Alocacao de Polos Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 1ª Regra Inıcio e Fim do Tracado e Eixo de Simetria Lema Simetria O eixo real e um eixo de simetria do LR Demonstracao Basta notar que a equacao caracterıstica tem coeficientes todos reais logo as raızes complexas aparecem em pares conjugados Lema Inıcio e Fim do Tracado Os ramos do LR iniciamse em seu polo e terminam em um zero da FTMA Demonstracao Basta fazer k 0 e k em 145 Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 O Lugar das Raızes Criterios para o Tracado Alocacao de Polos Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 2ª Regra LR sobre o Eixo Real Lema LR sobre o Eixo Real Todos os pontos do eixo real que estejam a esquerda de um numero ımpar de polos e zeros fazem parte do LR Demonstracao Seja s um ponto do eixo real Assim se ϕ ψ C Entao ϕ ψ 0 ϕ ψ R a esquerda Entao ϕ ψ 0 ϕ ψ R a direita Entao ϕ ψ 180 Neste caso se o numero for ımpar atendese a 144 3 Regra Retas Assintotas ed col AAT ROE Observacdo Cada ramo LR inicia em um polo e termina em um zero E eee senm Lema Retas Assintotas O LR possui n m ramos tendendo ao infinito assintoticamente an m retas com coeficientes linear e angular n m dpi doz FF og 146a nm 2k 1 Oak 180 k12nm 146b nm Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 O Lugar das Raızes Criterios para o Tracado Alocacao de Polos Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 4ª Regra Ramificacao do LR Observacao Se existe LR no eixo real e fora dele de onde partem tais ramos Lema Ramificacao Se sb C e tal que existe cruzamento de ramos do LR entao ˆdsbˆnsb ˆnsb ˆdsb 147 Demonstracao Note que sb e raiz multipla de 145 para um K 0 bem escolhido Logo e raiz da derivada em relacao a s de 145 para o mesmo K Combinando estes resultados chegase a 147 Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 O Lugar das Raızes Criterios para o Tracado Alocacao de Polos Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Sumario das Regras para o Tracado do LR i Posicione os polos K 0 e zeros K no plano complexo ii Determine o LR sobre o eixo real iii Determine as assıntotas do LR com 146 iv Determine os pontos de ramificacao com os respectivos ganhos K com 147 v Determine os pontos de cruzamento do eixo imaginario com os respectivos ganhos K com o criterio de RouthHurwitz vi Determine os ˆangulos de partida e de chegada com 144b Controle Exemplo nage VA Leino s Assintotas com 146 K gshs 012 Gs s ss 1s 2 fa 3p 7 Ims ee eters K 00 Oak 2k 160 K 6 Quebras com 147 e 144a sjlAl Spi 042 3s6s2 0 s 158 Oa K 00 K sp1se1 1s01 2 Res 038 Cruzamento de Ims K 038 s 042 elo 5 s 3 K sjV2 s 6K K 6 38 K Ko A Regido 2 de Desempenho Garantido onvel ed col AAT ROE P Overshoot de 93 05 exp 7 Mmaz 071 V 1 Ims Alocaao de Polos 148 f O87 Tempo de acomodacao de 94 a omar 2 149 o3e2o1 Res temas 4 P Para Mnaz 04 e 087 a e2s 2 a Observacao 071 Desempenho garantido o 6 05 desempenho real 6 pelo menos o das especificaées Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Projeto via Lugar das Raızes Avanco e Atraso de Fase Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Aula 13 A Equacao Diofantina Aula 14 Analise do Lugar das Raızes Aula 15 Projeto via Lugar das Raızes Aula 16 Resposta em Frequˆencia I Diagramas de Bode Aula 17 Resposta em Frequˆencia II O Criterio de Nyquist Aula 18 Resposta em Frequˆencia III Parˆametros de Desempenho Aula 19 Resposta em Frequˆencia IV Resposta em Malha Fechada Aula 20 Resposta em Frequˆencia V Projeto de Compensadores Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Projeto via Lugar das Raızes Avanco e Atraso de Fase Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 O Projeto via Lugar das Raızes O projeto de sistemas de controle deve atender a certas especificacoes Precisao erro Estabilidade relativa Velocidade de resposta Em muitos casos um compensador P e suficiente Em outros o tracado do LR deve ser alterado A planta e considerada dada Esta alteracao e responsabilidade do compensador Observacao O conhecimento do tracado do LR facilita o projeto do compensador Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Projeto via Lugar das Raızes Avanco e Atraso de Fase Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Estruturas Compensadoras Compensacao serie Σ ˆcs ˆgs ˆrs ˆεs ˆys Compensacao paralela Σ ˆg1s Σ ˆg2s ˆcs ˆhs ˆrs ˆεs ˆys Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Projeto via Lugar das Raızes Avanco e Atraso de Fase Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Avanco e Atraso de Fase O compensador pode assumir qualquer estrutura P PI PD etc Outra estrutura compensadora avanco atraso de fase R1 R2 C2 C1 ε R3 R4 u ˆcs kc s z s p 151 Se p z compensacao avanco Do contrario atraso Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Projeto via Lugar das Raızes Avanco e Atraso de Fase Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Consideracoes Gerais O compensador avanco aproximase do PD Encontro das assıntotas vai para a esquerda sistema mais estavel ˆc0 kc os erros estaticos tendem a aumentar vide aula 11 O compensador atraso aproximase do PI Faz o contrario das caracterısticas do PD Observacao O projeto de sistemas de controle via LR e interessante para especificacoes no domınio do tempo taxa de amortecimento frequˆencia natural naoamortecida overshoot tempos de subida e de acomodacao Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Projeto via Lugar das Raızes Avanco e Atraso de Fase Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Compensacao em Avanco de Fase Reescreva 151 na forma avanco 0 α 1 ˆcs kc s 1 T s 1 αT 152 Procedimento para projeto 1 Estabeleca a localizacao das raızes dominantes 2 Verifique se e possıvel obter as raızes por ajuste de ganho no LR 3 Obtenha α e T a partir da necessidade angular 144b 4 Obtenha kc a partir da condicao de magnitude 144a Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Projeto via Lugar das Raızes Avanco e Atraso de Fase Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Exemplo de Projeto Σ ˆcs 4 ss2 ˆrs ˆys Especificacoes εp 0 ts 2s ε 2 e Mp 16 A especificacao de erro ja foi atendida pela planta Nao e possıvel obter as raızes para as especificacoes dadas com compensador P Por quˆe Escolha das raızes desejadas ts 2s ε 2 94 σ 2 Mp 16 93 ζ 05 β 60 sd 2 j2 tg 60 2 j2 3 Exemplo de Projeto onvel ed col AAT ROE Critério angular 154b 8 5m asq argsq 2 210 arg argsq argsq ss 2 SSq Avango e Atraso de Fase Assim argsq 30 para que sq entre no LR Posicionemos o zero em 25 e determinemos o polo 25 arg 1 30 p 47 5p SSq Para que a raiz seja escolhida devese ajustar o ganho com 144a sa 47 K 4k 2 174 c isq 125 Pella Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Projeto via Lugar das Raızes Avanco e Atraso de Fase Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Compensacao em Atraso de Fase Reescreva 151 na forma avanco α 1 constantes de tempo ˆcs αkc Ts 1 αTs 1 153 Procedimento para projeto 1 Estabeleca a localizacao das raızes dominantes 2 Determine o valor a ser adicionado a constante de erro 3 Estabeleca o polo e o zero para esta adicao mas proximos entre si e da origem assim nao alterarao o LR 4 Desenhe o novo LR 5 Determine kc com 144a para as raızes desejadas Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Projeto via Lugar das Raızes Avanco e Atraso de Fase Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Exemplo de Projeto Σ ˆcs 106 ss1s2 ˆrs ˆys Especificacoes εv 20 ts 12s ε 2 e Mp 16 Nao e possıvel adicionar um integrador puro Erro atual εv lim s0 1 sˆgs 19 A constante de erro de velocidade deve aumentar em 10 vezes Exemplo de Projeto onvel ed col AAT ROE As raizes dominantes atuais sg 03307 j05864 ja atendem as exigéncias de acomodacao e overshoot A forma 153 é Util neste caso pois j4 se tem mene WES ake 10 Escolh 005 0005 ese e sco T or Para o ajuste de ganho usase 144a 1 0005 1 2 Ke ae 005s 1s 09656 106 s005 ssq Observacdo Qual o preco pago pela melhoria do erro estatico de velocidade Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Projeto via Lugar das Raızes Avanco e Atraso de Fase Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Compensacao em Avanco e Atraso de Fase Procedimento para projeto 1 Estabeleca a localizacao das raızes dominantes 2 Determine a deficiˆencia angular a ser provida pela parcela avanco 3 Projete a parcela avanco prevendo que o ganho da parcela atraso sera proximo a unidade 4 Corrija o erro estatico com a parcela atraso mantendo Magnitude proxima a unidade Decremento inferior a 5 na fase Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Projeto via Lugar das Raızes Avanco e Atraso de Fase Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Exemplo de Projeto Σ ˆcs 4 ss05 ˆrs ˆys Especificacoes ζ 05 σ 2 e Kv 80 As raızes atuais 025 j198 nao atendem A constante de erro de velocidade tampouco Importante Para atender as especificacoes pode ser interessante posicionar as raızes desejadas mais para dentro da regiao Ω Aqui faremos sd 3 j4 Exemplo de Projeto onvel ed col AAT ROE Etapa avanco Posicionando o zero do compensador em 1 note que a deficiéncia angular é de 48 Logo eee argsq p 48 p 66 Do critério de magnitude 144a s1 4 ke 15k 71 oo Etapa atraso Note que K 86 com a inserao do avano Usando 153 sem k devemos fazer a 93 Usando a recomendado de que 0 polo e o zero devem ser préximos entre si e da origem escolhese T 10 Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 A Resposta em Frequˆencia Diagramas de Bode Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Aula 13 A Equacao Diofantina Aula 14 Analise do Lugar das Raızes Aula 15 Projeto via Lugar das Raızes Aula 16 Resposta em Frequˆencia I Diagramas de Bode Aula 17 Resposta em Frequˆencia II O Criterio de Nyquist Aula 18 Resposta em Frequˆencia III Parˆametros de Desempenho Aula 19 Resposta em Frequˆencia IV Resposta em Malha Fechada Aula 20 Resposta em Frequˆencia V Projeto de Compensadores Avanco e Atraso na Resposta Senoidal rene ed col AAT ROE Considere um SLITCSISO estavel submetido a uma excitacdo da forma ut Una sen wt 161 A FT do sistema pode ser escrita como x nls gs ts 162 II S Si i1 Logo a sajda fica na ns w 1 Gs Gsas mp ge Umm 163 II S Si i1 Avanco e Atraso na Resposta Senoidal II ed col AAT ROE Aplicando a TIL a 163 a a t Lo a Noo cena yt S Jw ar n ae I 4 Gel 4 S bier 164 i1 vai a 0 para t00 Observacdo Em 164 por simplicidade foi desconsiderada a possibilidade da existéncia de polos multiplos Se existirem entdo teremos termos da forma te para o iésimo residuo Avanco e Atraso na Resposta Senoidal III rene nace AVAL g Calculemos os residuos a e G Ww U UmaxG 9 ag j a gs s2 Ww s jw j2 a jw IN ore rea 165 Como é 0 conjugado de a U max a 166 T gjw 166 Definase Gjw gjwle 167a Imgjw y arctg 167b Re9ju 67 Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 A Resposta em Frequˆencia Diagramas de Bode Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Avanco e Atraso na Resposta Senoidal IV Aplicando 165 166 e 167 a 164 com t max i1n Resi1 yt Umax j2 ˆgjωejϕejωt Umax j2 ˆgjωejϕejωt Umaxˆgjωejωtϕ ejωtϕ j2 Umaxˆgjω senωt ϕ 168 Importante Um SLITC excitado por uma entrada senoidal responde de forma senoidal na mesma frequˆencia da entrada Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 A Resposta em Frequˆencia Diagramas de Bode Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Resposta em Frequˆencia Resposta em Frequˆencia Resposta em regime a uma entrada senoidal A representacao grafica da resposta em frequˆencia ˆgjω pode ser feita por Diagramas de Bode logarıtmicos Diagramas de Nyquist polares Diagramas de BlackNichols log magnitude versus fase Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 A Resposta em Frequˆencia Diagramas de Bode Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Diagramas de Bode Observe que a resposta em frequˆencia pode ser reescrita como ˆgjω ˆgjωej argˆgjω 169 Para facilitar a escrita de respostas de produtos de FTs definese ˆgjω 20 log ˆgjω dB 1610 Pois para ˆgsˆhs ˆgjωˆhjω ˆgjωˆhjωejargˆgjωargˆhjω 1611 Logo ˆgjωˆhjω ˆgjω ˆhjω 1612a argˆgjωˆhjω argˆgjω argˆhjω 1612b Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 A Resposta em Frequˆencia Diagramas de Bode Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Regras para o Tracado Observacao Diagramas de Bode Dois graficos ˆg log ω e argˆg log ω O tracado dos diagramas de Bode necessita de papel monolog Como a FT e uma funcao racional determinamos apenas 4 termos Termo constante Fator integrador ou derivador Fator de 1ª ordem Fator de 2ª ordem Diagramas exatos Difıcil construcao nao apresenta erro Diagramas assintoticos Simples porem com erros Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 A Resposta em Frequˆencia Diagramas de Bode Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Termo Constante e IntegradorDerivador Ganho constante K 0 K 20 log K 1613a argK 0 1613b Termo integradorderivador jω1 20 log jω1 20 log ω 1614a argjω1 argjω1 90 1614b Observacao Termo constante ganho constante e fase nula para ω 0 Termo integradorderivador variacao de 20dB por decada desde a origem e fase constante em 90 UW 1 Seyi tce tt Termo de 1 Ordem 1 i vot Vict Wy of Vite Determinacdo de ganho e de fase 1 20x 1 j 20 og 55 Wn Wn Diagramas de Bode w 2 10log1 1615a Wn Ww arg tarctg 1615b Wn Regras assintdticas Ganho Nulo até w a partir de entao 20dB por década Fase Nula até uma década antes de w 90 uma década apds w Variacdo linear entre estes valores UW 1 Controle Termo de 1 Ordem 1 i rot Viet Wn Ww og ieiaB arel a Wn 3 43410 0057 2 4341074 4057 1 432 107 57 0 301 45 1 2004 8429 2 40 8943 3 60 8994 WwW 1 Controle Termo de 1 Ordem 1 7 a ed col AAT ROE Wn 0 10 a Z 3 20 5 Diagramas de Bode 8 30 40 10 10 107 10 10 Frequency Hz 0 20 2 40 3 S 60 a 80 10 10 107 10 10 Frequency Hz Termo de 2 Ordem rene ed col AAT ROE w w 9 1 1 2 j 52 Wn Wn Observacao ee Interessa apenas o caso subamortecido Por qué Ganho e fase w2 2 w2 1 2 161 10 0g x2 ot60 a arg tarctg n 1616b 12 Termo de 2 Ordem onvel 2 1 ed col AAT ROE W W 1 2 i i Wn Wn Algumas observacoées RiGee Tracado fortemente dependente do amortecimento Pm Paraw wry arg 0 Pm Para w wy arg 180 e I 3 40 log 1617 Wn Pm Para w wp arg 90 e o ganho 20 log2 1618 Frequéncia e Pico de Ressonancia onvel ed col AAT ROE Considere a FT senoidal Ay 1 1 idee Fo 1619 ex G 8 Wn Wn Pm Frequéncia de ressonancia w Frequéncia de ganho nail maximo Pm Pico de ressonancia J O ganho anteriormente citado Aplicando as técnicas de obtenao de minimo em djw Wp Wyr1 27 1620a 1 M l6ur 2y1 1620b Observacdo 1 Ndo hd ressonancia para 0707 para 5 Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 A Resposta em Frequˆencia Diagramas de Bode Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 ζ 01 ζ 03 ζ 05 e ζ 0707 10 2 10 1 10 0 50x10 2 50x10 1 0 20 30 10 10 Frequency Hz Magnitude dB 10 2 10 1 10 0 50x10 2 50x10 1 0 100 150 50 Frequency Hz Phase degree Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 A Resposta em Frequˆencia Diagramas de Bode Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Sistemas de Fase Mınima Importante Considere um SLITC estavel Dizse que este e de fase mınima se seus zeros estiverem no semiplano complexo esquerdo Importante Sejam ˆgs e ˆhs SLITCs estaveis ˆgs de fase mınima e ˆgjω ˆhjω ω 0 Entao a excursao de fase de ˆg e menor ou igual a de ˆh Observacao O sistema ˆgs esT T 0 atraso de transporte puro e de fase naomınima Por quˆe Curva de Ganho e Erros Estaticos sons nage VA Leino s Considere o sistema 7s s gs Partindo de 118 podese reescrever m G jet 9jw a 1621 OT Gea 2 G jet i1 Observacdo Note que como TVFs 0w0 Curva de Ganho e Erros Estaticos aie Prof Victor Partindo de 1111 990 20log Kp N0 1622 Partindo de 1113 Diagamas de Bode Ay Ky 9Jw 20log N1 1623 jw Em 1623 observe que GjK O0dB Partindo de 1115 944 2010g 5 N 2 1624 QIM Og 775 5 jw Similarmente para GjVKa 0 obtémse a constante de erro Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Diagrama de Nyquist Criterio de Estabilidade de Nyquist Aula 18 Aula 19 Aula 20 Aula 13 A Equacao Diofantina Aula 14 Analise do Lugar das Raızes Aula 15 Projeto via Lugar das Raızes Aula 16 Resposta em Frequˆencia I Diagramas de Bode Aula 17 Resposta em Frequˆencia II O Criterio de Nyquist Aula 18 Resposta em Frequˆencia III Parˆametros de Desempenho Aula 19 Resposta em Frequˆencia IV Resposta em Malha Fechada Aula 20 Resposta em Frequˆencia V Projeto de Compensadores Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Diagrama de Nyquist Criterio de Estabilidade de Nyquist Aula 18 Aula 19 Aula 20 Introducao Nesta representacao a frequˆencia esta implıcita Diagrama de Nyquist DN Reˆgjω Imˆgjω Vantagens plotagem unica obtencao de magnitude e ˆangulo por simples inspecao Desvantagem nao e possıvel determinar as contribuicoes individuais dos polos e zeros A tıtulo ilustrativo faremos o estudo dos termos possıveis em uma FT Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Diagrama de Nyquist Criterio de Estabilidade de Nyquist Aula 18 Aula 19 Aula 20 Termo Constante e Termo IntegradorDerivador Reˆg Imˆg kej0 ω 0 ω ω 0 ω Termo constante ˆgjω K Kej0 171 Termo integradorderivador ˆgjω jω1 ω1ej π 2 172 Observacao Para o termo constante temos apenas um ponto Para integradorderivador uma semireta vertical iniciando na origem Termo de 1 Ordem rene ed col AAT ROE Im9 E trivial o resultado para w co expoente positivo de 1 Af W gjw 1 3 er WwW CO 10 w 0 Reg Para o caso negativo note que a 1 ta 1j 1j Wn Wn Ou seja é parte de uma circunferéncia de raio e centro iguais a 05 Na verdade a parte inferior Por qué Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Diagrama de Nyquist Criterio de Estabilidade de Nyquist Aula 18 Aula 19 Aula 20 Termo de 2ª Ordem Reˆg Imˆg ω 0 ω ω 0 ωr O caso dos zeros e trivial So interessa o caso dos polos subamortecidos Observe que lim ω0 ˆgjω 1 lim ω ˆgjω 0 ˆgjωn j 1 2ζ A frequˆencia de ressonˆancia ocorre no ponto mais distante da origem Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Diagrama de Nyquist Criterio de Estabilidade de Nyquist Aula 18 Aula 19 Aula 20 Efeito do Atraso de Transporte O atraso de transporte no domınio da frequˆencia e escrito como ˆgjω ejωT cos ωT j sen ωT 173 Observacao O DN do atraso de transporte e a circunferˆencia unitaria centrada na origem girando no sentido horario Importante O atraso de transporte adiciona a fase ωT a todos os pontos do diagrama de Nyquist tracado com os demais termos sT e 5 Controle Exemplo Integrador com Atraso gs oof Victor Observe que ny liar Im9 gjw ITE mn eee Tins io 2 w Assim Re9 979 00 m arg9j0 90 T 20 P gjoo 0 oP 0 a O diagrama gira no sentido horario Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Diagrama de Nyquist Criterio de Estabilidade de Nyquist Aula 18 Aula 19 Aula 20 Regras Gerais do Diagrama de Nyquist Considere uma FT senoidal dada por 1713 causal e estritamente propria Se N 0 o DN iniciase perpendicularmente ao eixo real em um valor positivo e termina na origem tangenciando um dos eixos N 1 o DN iniciase com magnitude infinita e fase de 90 e termina com magnitude nula tangenciando um dos eixos N 2 similar ao anterior com fase inicial de 180 O tracado intermediario do DN depende dos termos do numerador Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Diagrama de Nyquist Criterio de Estabilidade de Nyquist Aula 18 Aula 19 Aula 20 Funcoes Complexas e Seus Mapeamentos Seja F C C uma funcao complexa Entao 1º Se l DF e uma curva fechada que nao contem singularidades de F entao Fl CDF e fechada 2º Se l contem n polos m zeros de F em seu interior e gira no sentido horario entao Fl circundara a origem n m vezes no sentido antihorario horario Teorema Mapeamento Sejam Fs uma funcao complexa racional e P e Z respectivamente o numero de polos e de zeros de F circundados por uma curva fechada l DF que nao passe por polo ou zero de F Entao o numero de circundacoes de Fl em torno da origem no sentido horario N e N Z P 174 Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Diagrama de Nyquist Criterio de Estabilidade de Nyquist Aula 18 Aula 19 Aula 20 Funcoes Complexas e Seus Mapeamentos Res Ims l F ReF s ImF s Fl Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Diagrama de Nyquist Criterio de Estabilidade de Nyquist Aula 18 Aula 19 Aula 20 Mapeamento e Estabilidade de SLITCs Considere o sistema realimentado 34 entao Fs 1 ˆgsˆhs 175 devera ter todas as raızes zeros no semiplano esquerdo Res Ims A curva da figura e chamada caminho de Nyquist Tal caminho nao podera conter zeros de 175 para estabilidade Observacao Apenas o caminho de j a j sera utilizado para o DN se for constante lim s ˆgsˆhs 176 Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Diagrama de Nyquist Criterio de Estabilidade de Nyquist Aula 18 Aula 19 Aula 20 Criterio de Estabilidade de Nyquist Teorema Criterio de Estabilidade de Nyquist Se a FTMA tem k polos no semiplano direito no domınio e 176 vale entao o DN dessa FTMA com ω devera circundar k vezes o ponto 1 j0 no sentido antihorario para que o sistema seja estavel Importante Em outras palavras adaptando 174 Pf N Pa 177 N e contado positivo no sentido horario e em torno de 1 j0 O criterio vale mesmo com polos ou zeros da FTMA sobre a origem Se o DN passar por 1 j0 ha raiz sobre o eixo imaginario E daı Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Sistemas Multiloop Estabilidade Relativa Parˆametros de Desempenho no Domınio da Frequˆencia Aula 19 Aula 20 Aula 13 A Equacao Diofantina Aula 14 Analise do Lugar das Raızes Aula 15 Projeto via Lugar das Raızes Aula 16 Resposta em Frequˆencia I Diagramas de Bode Aula 17 Resposta em Frequˆencia II O Criterio de Nyquist Aula 18 Resposta em Frequˆencia III Parˆametros de Desempenho Aula 19 Resposta em Frequˆencia IV Resposta em Malha Fechada Aula 20 Resposta em Frequˆencia V Projeto de Compensadores Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Sistemas Multiloop Estabilidade Relativa Parˆametros de Desempenho no Domınio da Frequˆencia Aula 19 Aula 20 Estabilidade de Sistemas Multiloop Considere o sistema Σ ˆg1s Σ ˆg2s ˆh2s ˆh1s ˆrs ˆys ˆg3s Se ˆg3s for instavel as malhas externas poderao mascarar este fato Assim e necessario verificar a existˆencia de polos internos instaveis Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Sistemas Multiloop Estabilidade Relativa Parˆametros de Desempenho no Domınio da Frequˆencia Aula 19 Aula 20 Exemplo Sistemas Multiloop Σ ks 05 Σ 1 s2s1 ˆrs ˆys A FTMF do laco interno e ˆgints 1 s3 s2 1 s3 1 0 s2 1 1 s1 1 s0 1 Plote o diagrama de Nyquist Observacao Neste caso e possıvel detectar o numero de polos instaveis no laco interno Porem note que se algum zero de laco externo coincidisse com um polo de malha fechada do laco interno haveria um mascaramento de polo instavel Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Sistemas Multiloop Estabilidade Relativa Parˆametros de Desempenho no Domınio da Frequˆencia Aula 19 Aula 20 Estabilidade Relativa Pode ser realizada com a mudanca de variavel proposta em 1212 Para realimentacao unitaria tome a FTMA estavel ˆgs Considere o mapeamento Res Ims G Reˆg Imˆg 1 j0 Importante O diagrama de Nyquist nao pode abracar o ponto 1 j0 Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Sistemas Multiloop Estabilidade Relativa Parˆametros de Desempenho no Domınio da Frequˆencia Aula 19 Aula 20 Margens de Fase e de Ganho Com a finalidade de verificar a estabilidade relativa definese Margem de Fase MF E o avanco de fase na frequˆencia de cruzamento do ganho ˆgjωg 0dB que leva o sistema a estabilidade marginal Margem de Ganho MG E o inverso da magnitude na frequˆencia em que a fase tornase argˆgjωf 180 MF 180 argˆgjωg 181a MG 20 log ˆgjωf 181b Observacao Para estabilidade absoluta devese ter MF MG 0 Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Sistemas Multiloop Estabilidade Relativa Parˆametros de Desempenho no Domınio da Frequˆencia Aula 19 Aula 20 Margens de Fase e de Ganho 0 ω ˆg 180 ω argˆg ωg 180 MF ωf MG Reˆg Imˆg 1 j 1 j MF 10 MG 20 Observacao O criterio de estabilidade com MF e MG supoe sistema de fase mınima Correlacdo entre MF Me onmons nage VA Leino s MF100 M5 10 09 08 ont 06 05 04 eo Desempenho 03 no Dominio da Frequéncia 02 01 fo t 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 Relado entre MF e sistema de 2 ordem 2 MF arctg 26 182 14 44 2 Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Sistemas Multiloop Estabilidade Relativa Parˆametros de Desempenho no Domınio da Frequˆencia Aula 19 Aula 20 Correlacao entre MF Mr e ζ ζ MF100 Mr5 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 Para 0 ζ 06 vale MF 100ζ 183 Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Sistemas Multiloop Estabilidade Relativa Parˆametros de Desempenho no Domınio da Frequˆencia Aula 19 Aula 20 Frequˆencia de Corte Banda Passante e Dinˆamica A frequˆencia de corte e a frequˆencia ωb tal que se ω ωb entao ˆgjω ˆgj0 3dB 184 O intervalo 0 ωb e chamado banda passante e indica i Velocidade de resposta alto ωb pequeno tr ii Caracterısticas de filtragem de ruıdos de alta frequˆencia Exemplo Faca a analise da planta em realimentacao unitaria ˆgs k ss 1s 5 para k 10 e k 100 Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Lugares de Magnitude e de Fase Constante Determinacao Experimental de FTs Aula 20 Aula 13 A Equacao Diofantina Aula 14 Analise do Lugar das Raızes Aula 15 Projeto via Lugar das Raızes Aula 16 Resposta em Frequˆencia I Diagramas de Bode Aula 17 Resposta em Frequˆencia II O Criterio de Nyquist Aula 18 Resposta em Frequˆencia III Parˆametros de Desempenho Aula 19 Resposta em Frequˆencia IV Resposta em Malha Fechada Aula 20 Resposta em Frequˆencia V Projeto de Compensadores Relacdo Malha Aberta e Malha Fechada onmons ed col AAT ROE Considere sistema em malha fechada e realimentacao unitaria Observe que OA Gjwa que PA14Gjwa Logo Im9 OAll 9Jwo lOAll ee 191a PA Ia P Reg a Saas de Magnitude e de g JWe Gol te Lid yp Ve ba HONE Ly wt ee ia 191b A Defina il jea y MjweioGe MjweiY 192 Hany MUGwyer 192 Observacdo Desejase determinar os lugares geométricos de ganho e de fase constantes para a FTMF Lugares de Magnitude Constante rene Prof Victor Escreva 9jw Xjw JY gw X 7Y Tendo em vista 191a a magnitude M é dada por me Xs XPV PXjY2 4 X2Y2 ou ainda Seas 1 MX 2MX M41MY0 193 Importante 1 Se M 1 temos uma reta vertical passando por 5 0 eotnitce i Lugares de Magnitude Constante II i Prof Victor Para M 1 podese fazer M2 2 9 M2 x 4y2 194 33 GP p 194 Observacdo M2 Por ON erat ee 194 é uma circunferéncia com centro em ae 0 erio M M21 Note ainda que M 1 centro a direita da reta 193 M 1 centro 4 esquerda da reta 193 Lugares de Fase Constante onmons ed col AAT ROE De forma similar 4 obtencdo do ganho para a fase temos XjY we oe arg arctg arctg oe Tex 4jy VOSS KX MOET TY t A t B Lugares de Magnitude e de Definindo N tga e usando tgA B Title re aoa Y Y XY 14x 1 Naa AA ox 4 K Ty 0 14 X14X Lugares de Fase Constante II onvel ed col AAT ROE S d b b omando a ambos os membros 4 2N 1 1 1 1 X42 y 4 195 5 ay itene 99 Observacdo i O Ncirculo de a e o de a 180 sao o mesmo ii Os Mcirculos e Ncirculos no diagrama de Nyquist dao origem 4a carta de Hall Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Lugares de Magnitude e de Fase Constante Determinacao Experimental de FTs Aula 20 Diagrama de Black e a Carta de Nichols Diagrama de Black E a representacao grafica de ˆg argˆg Frequˆencia implıcita mas MF e MG sao facilmente reconhecıveis Carta de Nichols Plotagem dos Mcırculos e Ncırculos no diagrama de Black Esses cırculos nao aparecerao como tais no diagrama de Black Por quˆe Exemplo Analise o sistema com ˆgs k ss 105s 1 e obtenha MF MG ζ Mr e ωb O que ocorre com a alteracao de k Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Lugares de Magnitude e de Fase Constante Determinacao Experimental de FTs Aula 20 Determinacao Experimental de FTs Em muitos casos e difıcil estabelecer um modelo analıtico para sistemas Um modelo aproximado pode ser obtido por testes na resposta em frequˆencia Procedimento 1º Excitar a entrada do sistema com um sinal senoidal amplitude frequˆencia e fase conhecidas 2º Coletar o sinal senoidal de saıda amplitude e fase 3º Repetir para diversas frequˆencias 4º Tracar os diagramas de Bode e obter uma Funcao Transferˆencia FT aproximada Sistemas de Fase Minima rene ed col AAT ROE Importante Ao observar o diagrama de fase em w 00 arggjoo 90n m fase minima Por qué Com os dados experimentais observese i Cada variagao de 20dBdécada implica em um termo da forma ee 3 fe FTs 1 196 1 196 ii Cada variagao de 40dBdécada implica em um termo da forma 9 1 2 197 Wo Wo iii O valor de é obtido ao observar o pico de ressonancia em wo Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Lugares de Magnitude e de Fase Constante Determinacao Experimental de FTs Aula 20 Sistemas de Fase Mınima Na regiao de baixa frequˆencia ω minωci ωoi i Apenas termos constantes derivadores ou integradores sao detectados k sN 198 ii Sistemas tipo 0 O ganho e horizontal e igual a 20 log k iii Sistemas tipo 1 Inclinacao de 20dBdecada e ˆgjk 0dB iv Sistemas tipo 2 Inclinacao de 40dBdecada e ˆgj k 0dB sy Controle Sistemas de Fase NaoMinima i ed col AAT ROE O caso mais comum ocorre quando ha uma variado constante da fase com a frequéncia Assim podese assumir que ha um atraso de transporte no sistema da forma A ft Ts Gs hse 199 Assim observe que Detain Erneta d Z Ts d din Sang ile Jin 290 m wT T Entdo a partir dessa inclinacdo para a regido w maxwe Wo se pode obter o termo referente ao atraso de transporte Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Lugares de Magnitude e de Fase Constante Determinacao Experimental de FTs Aula 20 Comentarios Finais E mais simples obter medidas acuradas de amplitude do que de fase O equipamento de medida deve ter resposta em frequˆencia plana para magnitude proporcional a frequˆencia para a fase O sistema a ser caracterizado pode ter muitas naolinearidades Estas podem acarretar Saturacao para sinais de teste com grande amplitude Zona morta para sinais de teste com pequena amplitude Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Projeto de Compensadores no Domınio da Frequˆencia Aula 13 A Equacao Diofantina Aula 14 Analise do Lugar das Raızes Aula 15 Projeto via Lugar das Raızes Aula 16 Resposta em Frequˆencia I Diagramas de Bode Aula 17 Resposta em Frequˆencia II O Criterio de Nyquist Aula 18 Resposta em Frequˆencia III Parˆametros de Desempenho Aula 19 Resposta em Frequˆencia IV Resposta em Malha Fechada Aula 20 Resposta em Frequˆencia V Projeto de Compensadores Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Projeto de Compensadores no Domınio da Frequˆencia Introducao Se a compensacao introduzida nao for tipo P o DN altera seu formato Assim e mais conveniente o uso de diagramas de Bode para projetar compensadores Caracterısticas desejadas na resposta em malha aberta alto ganho na regiao de baixa frequˆencia cruzamento de ganho com inclinacao de 20dB por decada atenuacao significativa na regiao de alta frequˆencia Observacao Os objetivos das compensacoes a serem apresentadas aqui sao as mesmas na abordagem pelo LR Compensaao em Avanco de Fase eee Prof Victor Este compensador foi apresentado 152 e sera reescrito como Ts41 s s ake 0 1 201 és kee a 201 Observe que j0 ak e que joo k Para o restante de seu DN kel 1 a jwT 1 lta oaniifeds cana é NT ak g eGie 2 0d 2 ke1 a b la 2 fjawT 1 2 202 n Controle Compensacao em Avanco de Fase II i nage VA Leino s Imé 7 Yml 7 90 em ake kotha ke Reé 80 70 Avanco maximo de fase i Kor or torr orm la 40 arcsen 30 gm of 203 ol Frequéncia onde vy ocorre 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 204 Wm TiVo Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Projeto de Compensadores no Domınio da Frequˆencia Compensacao em Avanco de Fase III O procedimento para o projeto segue os passos i Determine o ganho αkc necessario para a exigˆencia de erro estatico ii Plote os diagramas de Bode e avalie a margem de fase iii Determine α a partir de 203 iv Escolha a nova frequˆencia de cruzamento de ganho com ˆgjωg 10 log α 205 v Use 204 para determinar T vi Determine kc com os resultados anteriores Exemplo Projete um compensador avanco para Kv 20 MF 50 e MG 10dB para a planta ˆgs 4 ss 2 Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Projeto de Compensadores no Domınio da Frequˆencia Compensacao em Atraso de Fase I Este compensador foi apresentado 153 e sera reescrito como ˆcs βkc Ts 1 βTs 1 β 1 206 Reˆc Imˆc kc βkc Observacao O atraso mınimo deste compensador nao e de interesse pois se usado de forma analoga a compensacao avanco a margem de fase seria reduzida Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Projeto de Compensadores no Domınio da Frequˆencia Compensacao em Atraso de Fase II O procedimento para o projeto segue os passos i Determine o ganho βkc necessario para a exigˆencia de erro estatico ii Plote os diagramas de Bode e determine a frequˆencia ωgdes que teria a MF desejada com uma folga iii Escolha o zero do compensador em valores bem abaixo de ωgdes pelo menos uma decada iv Determine β para impor ganho de 0dB em ωgdes com ˆgjωgdes 20 log β 207 v Determine o polo e kc Exemplo Projete um compensador atraso para Kv 5 MF 40 e MG 10dB para a planta ˆgs 1 ss 105s 1 Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Projeto de Compensadores no Domınio da Frequˆencia Compensacao em AvancoAtraso de Fase I Sua formulacao pode ser escrita como a combinacao de 201 e 206 ˆcs αβkc T1s 1 αT1s 1 T2s 1 βT2s 1 0 α 1 e β 1 208 Para αβ 1 Reˆc Imˆc ωl ω ω 0 com ωl 1 T1T2 209 Observacao Devido as exigˆencias de projeto devese fazer T2 T1 Controle Prof Victor Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Aula 17 Aula 18 Aula 19 Aula 20 Projeto de Compensadores no Domınio da Frequˆencia Comentarios sobre os Compensadores i O compensador avanco realiza a compensacao pelo seu avanco de fase aumentando a MF ii O compensador atraso o faz pela atenuacao em altas frequˆencias aumentando a MG iii O compensador avanco tende a aumentar a largura de banda reduzindo o tempo de acomodacao porem pode introduzir ruıdo no canal de controle iv O compensador avanco requer maior ganho para corrigir o erro em regime Exemplo Projete um compensador avancoatraso para Kv 10 MF 50 e MG 10dB para a planta ˆgs 1 ss 1s 2