Algebra Linear - Steinbruch e Winterle - Livro Completo

ÁLGEBRA LINEAR Alfredo STEINBRUCH Paulo WINTERLE 138 problemas resolvidos 381 problemas propostos PEARSON OUTROS LIVROS NA ÁREA BOULOS Cálculo diferencial e integral 2 volumes Précálculo BOULOS Geometria analítica 3ª edição FLEMMING Cálculo A GONÇALVES Cálculo B LIPSCHUTZ Álgebra linear 3ª edição SIMMONS Cálculo com geometria analítica 2 volumes SPIEGEL Probabilidade e estatística STEINBRUCH Geometria analítica plana STEINBRUCH Introdução à álgebra linear WINTERLE Vetores e geometria analítica Makron Books é um selo da PEARSON wwwpearsoncombr ISBN 9780074504123 SUMÁRIO Prefácio da 2ª edição Capítulo 1 VETORES Vetores 1 Operações com vetores 3 Vetores no IR² 5 Igualdade e operações 6 Vetor definido por dois pontos 8 Produto escalar 9 Ângulo de dois vetores 10 Paralelismo e ortogonalidade de dois vetores 12 Vetores no IR3 13 Capítulo 2 ESPAÇOS VETORIAIS Introdução 15 Espaços vetoriais 18 Propriedades dos espaços vetoriais 24 Subespaços vetoriais 25 Combinação linear 39 Espaços vetoriais finitamente gerados 53 Dependência e independência linear 53 Base e Dimensão 66 Espaços vetoriais isomorfos 86 Problemas Capítulo 3 ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS Produto interno em espaços vetoriais 106 Espaço vetorial euclidiano 111 Módulo de um vetor 112 Ângulo de dois vetores 116 Vetores ortogonais 119 Conjunto ortogonal de vetores 120 Conjuntos ortogonais entre si 130 Complemento ortogonal 132 Problemas Capítulo 4 TRANSFORMAÇÕES LINEARES Transformações lineares 151 Núcleo de uma transformação linear 168 Imagem 171 Matriz de uma transformação linear 181 Operações com transformações lineares 192 Transformações lineares planas 195 Transformações lineares no espaço 206 Problemas Capítulo 5 OPERADORES LINEARES Operadores lineares 230 Operadores inversíveis 230 Mudança de base 234 Matrizes semelhantes 244 Operador ortogonal 252 Operador simétrico 261 Problemas Capítulo 6 VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS Vetor próprio e valor próprio de um operador linear 276 Determinação dos valores próprios e dos vetores próprios 278 Propriedades dos vetores próprios e valores próprios 286 Diagonalização de operadores 289 Diagonalização de matrizes simétricas 299 Problemas Capítulo 7 FORMAS QUADRÁTICAS Forma quadrática no plano 323 Cônicas 328 Notas complementares 347 Forma quadrática no espaço tridimensional 353 Quádricas 358 Problemas Apêndice A MATRIZESDETERMINANTESSISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES MATRIZES Definição de matriz 369 Matriz quadrada 371 Matriz zero 374 Igualdade de matrizes 374 Adição de matrizes 374 Produto de uma matriz por um escalar 375 Produto de uma matriz por outra 376 Matriz transposta 398 Matriz simétrica 400 Matriz antisimétrica 401 Matriz ortogonal 402 Matriz triangular superior 403 Matriz triangular inferior 403 Potência de uma matriz 404 DETERMINANTES Classe de uma permutação 420 Termo principal 421 Termo secundário 421 Determinante de uma matriz 421 Ordem de um determinante 421 Representação de um determinante 421 Preliminares para o cálculo dos determinantes de 2ª e de 3ª ordem 422 Cálculo do determinante de 2ª ordem 423 Cálculo do determinante de 3ª ordem 426 Desenvolvimento de um determinante por uma linha ou por uma coluna 432 Propriedades dos determinantes 433 Cálculo de um determinante de qualquer ordem 446 INVERSÃO DE MATRIZES Matriz inversa 466 Matriz singular 466 Matriz nãosingular 467 Propriedades da matriz inversa 468 Operações elementares 470 Equivalência de matrizes 471 Inversão de uma matriz por meio de operações elementares 476 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Equação linear 505 Sistemas de equações lineares 505 Solução de um sistema linear 505 Sistema compatível 506 Sistemas equivalentes 507 Operações elementares e sistemas equivalentes 508 Sistema linear homogêneo 510 Estudo e solução dos sistemas de equações lineares 510 Problemas CAPÍTULO 1 VETORES 11 VETORES Este capítulo tem por finalidade precípua revisar resumidamente a noção de vetor no R² e no R³ e suas propriedades as quais já devem ser do conhecimento do leitor¹ Sabese que os vetores do plano ou do espaço são representados por segmentos orientados Todos os segmentos orientados que têm a mesma direção o mesmo sentido e o mesmo comprimento são representantes de um mesmo vetor Por exemplo no paralelogramo da Figura 11a os segmentos orientados AB e CD determinam o mesmo vetor v e escrevese v AB CD Figura 1 1 ¹ O assunto pode ser visto em detalhes no livro Geometria Analítica dos autores desta Álgebra Linear Editora McGrawHill Quando escrevemos v AB estamos afirmando que o vetor é determinado pelo segmento orientado AB de origem A e extremidade B Porém qualquer outro segmento de mesmo comprimento mesma direção e mesmo sentido de AB representa também o mesmo vetor v Assim sendo cada ponto do espaço pode ser considerado como origem de um segmento orientado que é representante do vetor v O comprimento ou o módulo a direção e o sentido de um vetor v é o módulo a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes Indicase o módulo de v por v Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero ou vetor nulo que é indicado por 0 A cada vetor nãonulo v corresponde um vetor oposto v que tem o mesmo módulo a mesma direção porém sentido contrário ao de v Figura 11b Um vetor v é unitário se v 1 Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção Em outras palavras u e v são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas Figura 11c Se os vetores nãonulos u v e w o número de vetores não importa possuem representantes AB CD e EF pertencentes a um mesmo plano π Figura 11d dizse que eles são coplanares Vetores Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e BC respectivamente Figura 12a Os pontos A e C determinam o vetor soma AC u v 1211 Propriedades da adição I Associativa u v w u v w II Comutativa u v v u III Existe um só vetor nulo 0 tal que para todo vetor v se tem v 0 0 v v IV Qualquer que seja o vetor v existe um só vetor v vetor oposto de v tal que v v v v 0 Álgebra linear Observações 1 A diferença de dois vetores u e v quaisquer é o vetor u v Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e AC respectivamente Construído o paralelogramo ABCD Figura 12b verificase que a soma u v é representada pelo segmento orientado AD uma das diagonais e que a diferença u v é representada pelo segmento orientado CB a outra diagonal 2 Quando os vetores u e v estão aplicados no mesmo ponto verificase que a a soma u v ou v u tem origem no referido ponto b a diferença u v tem origem na extremidade de v e por conseguinte a diferença v u tem origem na extremidade de u 122 Multiplicação de um Número Real por um Vetor Dado um vetor v 0 e um número real k 0 chamase produto do número real k pelo vetor v o vetor p kv tal que a módulo p kv kv b direção a mesma de v c sentido o mesmo de v se k 0 e contrário ao de v se k 0 A Figura 122 mostra o vetor v e os correspondentes 2v e 3v Observações 1 Se k 0 ou v 0 o vetor kv é o vetor 0 2 Se k 1 o vetor 1v é o oposto de v isto é 1v v Figura 122 1221 Propriedades da Multiplicação por um Número Real Se u e v são vetores quaisquer e a e b números reais temos I abu ab u II a b u au bu III a u v au av IV 1u u 13 VETORES NO R² O conjunto R² IR IR x y x y IR é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano xOy Qualquer vetor AB considerado neste plano tem sempre um representante segmento orientado OP cuja origem é a origem do sistema Figura 13a Em nosso estudo consideraremos geralmente vetores representados por segmentos orientados com origem na origem do sistema Nessas condições cada vetor do plano é determinado pelo ponto extremo do segmento Assim o ponto Px y individualiza o vetor v OP Figura 13b e escrevese v x y identificandose as coordenadas de P com as componentes de v Figura 13a Figura 13b A origem do sistema O0 0 representa o vetor nulo O vetor oposto de v x y é o vetor v x y 14 IGUALDADE E OPERAÇÕES 141 Igualdade Dois vetores u x₁ y₁ e v x₂ y₂ são iguais se e somente se x₁ x₂ e y₁ y₂ e escrevese u v Exemplos 1 Os vetores u 3 5 e v 3 5 são iguais 2 Se o vetor u x 1 4 é igual ao vetor v 5 2y 6 de acordo com a definição de igualdade de vetores x 1 5 e 2y 6 4 ou x 4 e y 5 Assim se u v então x 4 e y 5 142 Operações Sejam os vetores u x₁ y₁ e v x₂ y₂ e a R Definese a u v x₁ x₂ y₁ y₂ b au ax₁ ay₁ Portanto para somar dois vetores somamse suas componentes correspondentes e para multiplicar um vetor por um número multiplicase cada componente do vetor por este número Por exemplo se u 4 1 e v 2 6 a Figura 142a mostra que u v 4 1 2 6 4 2 1 6 6 7 e a Figura 142b mostra que 2u 24 1 24 21 8 2 Figura 142a Figura 142b 15 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS Ocorre às vezes o caso de um vetor ser representado por um segmento orientado que não parte da origem do sistema Consideremos o vetor AB de origem no ponto Ax₁ y₁ e extremidade Bx₂ y₂ Figura 15 De acordo com o que foi visto no item 1211 Observação 2 o vetor AB é a diferença entre os vetores OB e OA AB OB OA e portanto AB x₂ y₂ x₁ y₁ ou AB x₂ x₁ y₂ y₁ isto é as componentes do vetor AB são obtidas pela diferença entre as coordenadas da extremidade B e as da origem A Por exemplo se A 1 3 e B 2 2 o vetor AB será AB B A 2 2 1 3 3 5 16 PRODUTO ESCALAR 161 Definição Chamase produto escalar ou produto interno usual de dois vetores u x₁ y₁ e v x₂ y₂ e se representa por u v ao número real u v x₁ x₂ y₁ y₂ O produto escalar de u por v também é indicado por u v e se lê u escalar v Por exemplo se u 2 3 e v 4 1 temse u v 24 31 8 3 5 162 Módulo de um Vetor Módulo de um vetor v x y representado por v é o número real nãonegativo v v v ou em coordenadas v x y x y ou ainda v x² y² Por exemplo se v 3 4 então v 3² 4² 9 16 25 5 A partir de cada vetor v 0 é possível obter um vetor unitário u fazendo u v v Por exemplo é unitário o vetor u 3 4 3 4 3 4 3² 4² 3 4 9 16 3 4 25 3 4 5 35 45 Observação Dado um vetor AB com extremidades nos pontos Ax₁ y₁ e Bx₂ y₂ o módulo desse vetor será AB x₂ x₁² y₂ y₁² Assinalese que a distância entre os pontos A e B é calculada pela mesma fórmula 163 Propriedades do Produto Escalar Dados os vetores u v e w quaisquer e k IR temse I u u 0 e u u 0 se e somente se u 0 0 0 II u v v u comutativa III u v w u v u w distributiva em relação à adição de vetores IV mu v m u v u mv V u u u² Observações Como consequência das propriedades do produto escalar vem 1 u v² u² 2 u v v² Com efeito u v² u v u v u u v v u v u v² u u u v v u v v u v² u² 2u v v² 2 De modo análogo mostrase que u v² u² 2u v v² 17 ÂNGULO DE DOIS VETORES O ângulo de dois vetores u OA e v OB nãonulos Figura 17a é o ângulo θ formado pelas semiretas OA e OB Figura 17b e tal que 0 θ π 171 Cálculo do Ângulo de Dois Vetores Sejam os vetores u 0 e v 0 O ângulo θ formado por u e v pode ser calculado pela fórmula cos θ u v u v Com efeito aplicando a lei dos cosenos ao triângulo ABC da Figura 171 vem u v² u² v² 2 u v cos θ 1 Mas de acordo com o item 163 Observação 2 podese escrever u v² u² 2u v v² 2 Comparando as igualdades 2 e 1 u² 2u v v² u² v² 2 u v cos θ logo u v u v cos θ e cos θ u v u v 171 Uma vez calculado o cos θ o ângulo θ é encontrado numa tabela de cosenos Por exemplo se u 2 2 e v 0 2 o ângulo θ pode ser calculado por intermédio da Fórmula 171 cos θ u v u v 22 02 2² 2² 0² 2² cos θ 0 4 44 04 4 8 4 4 22 2 cos θ 12 22 θ arc cos 22 θ 45 18 PARALELISMO E ORTOGONALIDADE DE DOIS VETORES a Se dois vetores u x₁ y₁ e v x₂ y₂ são paralelos ou colineares existe um número k tal que u kv ou x₁ y₁ kx₂ y₂ o que implica x₁x₂ y₁y₂ k isto é dois vetores u e v são paralelos quando suas componentes são proporcionais Representase por u v dois vetores u e v paralelos Por exemplo os vetores u 2 3 e v 4 6 são paralelos pois 24 36 ou seja u 12 v b Se dois vetores u x₁ y₁ e v x₂ y₂ são ortogonais o ângulo θ por eles formado é de 90 e portanto cos θ cos 90 0 o que implica pela Fórmula 171 u v 0 ou x₁ x₂ y₁ y₂ 0 isto é dois vetores u e v são ortogonais quando o produto escalar deles é nulo Representase por u v dois vetores u e v ortogonais Por exemplo os vetores u 2 3 e v 3 2 são ortogonais pois u v 23 32 6 6 0 19 VETORES NO IR³ O conjunto IR³ IR IR IR x y z x y z IR é interpretado geometricamente como sendo o espaço cartesiano tridimensional Oxyz Da mesma forma como fizemos para o plano consideraremos geralmente vetores representados por segmentos orientados com a origem na origem do sistema Nessas condições cada vetor do espaço é determinado pelo ponto extremo do segmento Assim o ponto Px y z individualiza o vetor v OP Figura 19 e escrevese v x y z identificandose as coordenadas de P com as componentes de v A origem do sistema O000 representa o vetor nulo O vetor oposto de v x y z é o vetor v x y z De forma análoga à que tivemos no plano teremos no espaço I Dois vetores u x₁ y₁ z₁ e v x₂ y₂ z₂ são iguais se e somente se x₁ x₂ y₁ y₂ e z₁ z₂ II Dados os vetores u x₁ y₁ z₁ e v x₂ y₂ z₂ e a ℝ definese u v x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ au ax₁ ay₁ az₁ III Se Ax₁ y₁ z₁ e Bx₂ y₂ z₂ são dois pontos quaisquer no espaço então AB x₂ x₁ y₂ y₁ z₂ z₁ IV O produto escalar dos vetores u x₁ y₁ z₁ e v x₂ y₂ z₂ é o número real u v x₁x₂ y₁y₂ z₁z₂ V O módulo do vetor v x y z é dado por v x² y² z² VI se u e v são vetores nãonulos e θ é o ângulo formado por eles então cos θ u v u v VII Para u x₁ y₁ z₁ e v x₂ y₂ z₂ temse a u v se e somente se x₁x₂ y₁y₂ z₁z₂ b u v se e somente se x₁x₂ y₁y₂ z₁z₂ 0 CAPÍTULO 2 ESPAÇOS VETORIAIS 21 INTRODUÇÃO Sabese que o conjunto ℝ² xy xy ℝ é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano Um par xy pode ser encarado como um ponto Figura 21a e nesse caso x e y são coordenadas ou pode ser encarado como um vetor Figura 21b e nesse caso x e y são componentes ou coordenadas Essa mesma idéia em relação ao plano estendese para o espaço tridimensional que é a interpretação geométrica do conjunto ℝ³ Embora se perca a visão geométrica de espaços com dimensão acima de 3 é possível estender essa idéia a espaços como ℝ⁴ ℝ⁵ ℝⁿ Assim quádruplas de números x₁ x₂ x₃ x₄ podem ser vistas como pontos ou vetores no espaço ℝ⁴ de quarta dimensão A quíntupla 21354 será interpretada como um ponto ou um vetor no espaço ℝ⁵ de dimensão cinco Então o espaço de dimensão n ou espaço ndimensional será constituído pelo conjunto de todas as nuplas ordenadas e representado por ℝⁿ isto é ℝⁿ x₁ x₂ xₙ xⱼ ℝ A maneira de se trabalhar nesses espaços é idêntica àquela vista em ℝ² e em ℝ³ Por exemplo se u x₁ x₂ xₙ e v y₁ y₂ yₙ são vetores no ℝⁿ e α um escalar definese a u v se e somente se x₁ y₁ x₂ y₂ xₙ yₙ b u v x₁ y₁ x₂ y₂ xₙ yₙ c αu αx₁ αx₂ αxₙ d u v x₁y₁ x₂y₂ xₙyₙ e u u u x₁² x₂² xₙ² Desde já é bom observar que o vetor u x₁ x₂ xₙ aparecerá às vezes com a notação matricial matrizcoluna n x 1 u x₁ x₂ xₙT e é fácil ver que u v e αu na notação matricial são os vetores u v x₁ x₂ xₙT y₁ y₂ yₙT x₁ y₁ x₂ y₂ xₙ yₙT αu α x₁ x₂ xₙT αx₁ αx₂ αxₙT Vamos agora transmitir uma idéia nova Para tanto consideremos dois conjuntos o IRⁿ e o conjunto das matrizes reais de ordem m x n representado por Mm n Como nesses conjuntos estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar constatase a existência de uma série de propriedades comuns a seguir enumeradas Se u v w IRⁿ se α β IR e se A B C Mm n podemos verificar que a Em relação à adição valem as propriedades 1 u v w u v w e A B C A B C associatividade da adição 2 u v v u e A B B A comutatividade da adição 3 Existe um só elemento em IRⁿ e um só em Mm n indicado por 0 e tal que u 0 u e A 0 A existência do elemento neutro O elemento 0 nesse caso será o vetor 0 0 0 0 IRⁿ na primeira igualdade e a matriz nula 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Mm n na segunda igualdade 4 Para cada vetor u IRⁿ e para cada matriz A Mm n existe um só vetor u IRⁿ e uma só matriz A Mm n tais que u u 0 e A A 0 existência do elemento simétrico Por exemplo se tivermos u x₁ x₂ xₙ então o vetor simétrico é u x₁ x₂ xₙ e caso semelhante para a matriz A e sua correspondente simétrica A b Em relação à multiplicação por escalar valem as propriedades 1 αβ u α βu e αβ A α β A 2 α β u αu βu e α β A α A β A 3 α u v αu αv e α A B α A α B 4 1u u e 1A A Conforme acabamos de ver os conjuntos IRⁿ e Mm n munidos desse par de operações apresentam uma estrutura comum em relação a essas operações Esse fato não só vale para esses dois conjuntos com essas operações mas para muitos outros razão porque vamos estudálos simultaneamente Esses conjuntos serão chamados espaços vetoriais 22 ESPAÇOS VETORIAIS Seja um conjunto V nãovazio sobre o qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar isto é u v V u v V α IR u V αu V O conjunto V com essas duas operações é chamado espaço vetorial real ou espaço vetorial sobre IR se forem verificados os seguintes axiomas A Em relação à adição A₁ u v w u v w u v w V A₂ u v v u u v V A₃ 0 V u V u 0 u A₄ u V u V u u 0 M Em relação à multiplicação por escalar M₁ α β u α β u M₂ α β u α u β u M₃ α u v α u α v M₄ 1u u para u v V e α β IR Observações 1 Os elementos do espaço vetorial V serão chamados vetores independentemente de sua natureza Pode parecer estranho e à primeira vista não deixa de ser o fato de se chamar de vetores os polinômios quando V for constituído de polinômios as matrizes quando V for constituído por matrizes os números quando V for um conjunto numérico e assim por diante A justificativa está no fato de as operações de adição e multiplicação por escalar realizadas com esses elementos de natureza tão distinta se comportarem de forma idêntica como se estivéssemos trabalhando com os próprios vetores do IR² ou do IR³ Assim a familiaridade que temos com os vetores do IR² e do IR³ terá continuidade nesses conjuntos chamando seus elementos também de vetores 2 Se na definição acima tivéssemos tomado para escalares o conjunto C dos números complexos V seria um espaço vetorial complexo Daqui por diante salvo referência expressa em contrário serão considerados somente espaços vetoriais reais Assim quando se disser que V é um espaço vetorial deve ficar subentendido que V é um espaço vetorial sobre o conjunto IR dos números reais Exemplos 1 O conjunto V IR2 x yx y IR é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real assim definidas x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 α x y αx αy Essas são as operações usuais de adição e multiplicação por escalar Para verificarmos os oito axiomas de espaço vetorial consideremos u x1 y1 v x2 y2 e w x3 y3 Temse A1 u v w x1 y1 x2 y2 x3 y3 u v w x1 x2 y1 y2 x3 y3 u v w x1 x2 x3 y1 y2 y3 u v w x1 x2 x3 y1 y2 y3 u v w x1 y1 x2 x3 y2 y3 u v w x1 y1 x2 y2 x3 y3 u v w u v w A2 u v x1 y1 x2 y2 u v x1 x2 y1 y2 u v x2 x1 y2 y1 u v x2 y2 x1 y1 u v v u A3 0 0 0 IR2 u IR2 u 0 x1 y1 0 0 u 0 x1 0 y1 0 u 0 x1 y1 u 0 u A4 u x1 y1 IR2 u x1 y1 IR2 u v x1 y1 x1 y1 u u x1 x1 y1 y1 u u 0 0 0 M1 αβ u αβx1 y1 αβ x1 αβ y1 α β x1 α β y1 αβ u α β x1 β y1 α β x1 y1 αβ u α β u M2 α β u α β x1 y1 α β x1 α β y1 α x1 β x1 α y1 β y1 α β u α x1 α y1 β x1 β y1 α x1 y1 β x1 y1 α β u α u β u M3 α u v α x1 y1 x2 y2 α x1 x2 y1 y2 α x1 x2 α y1 y2 α u v α x1 α x2 α y1 α y2 α x1 α y1 α x2 α y2 α u v α x1 y1 α x2 y2 α u α v M4 1 u 1 x1 y1 1 x1 1 y1 x1 y1 1 u u 2 Os conjuntos IR3 IR4 IRn são espaços vetoriais com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais Depois de verificados os oito axiomas de espaço vetorial para o IR2 os mesmos ficam também evidentes nos conjuntos acima citados 3 O conjunto IR em relação às operações usuais de adição e multiplicação por escalar Os vetores nesse caso são números reais e sabese que a adição de números reais verifica as propriedades A1 A2 A3 e A4 da definição de espaço vetorial Assim também o produto de reais é um número real e a operação multiplicação satisfaz os axiomas M1 M2 M3 e M4 4 O conjunto Mm n das matrizes m n com as operações adição e multiplicação por escalar usuais Em particular o conjunto Mn n das matrizes quadradas de ordem n é um espaço vetorial relativamente às mesmas operações 5 O conjunto Pn a0 a1 x a2 x2 an xn ai IR dos polinômios com coeficientes reais de grau n mais o polinômio nulo em relação às operações usuais de adição de polinômios e multiplicação por escalar Em particular o conjunto P2 a0 ai x a2 x2 ai IR é um espaço vetorial relativamente às mesmas operações 6 O conjunto V f IR IR das funções reais definidas em toda reta Se f g V e α IR definese f g IR IR x f g x fx gx e α f IR IR x α f x α fx 7 O conjunto V x x2x IR com as operações definidas por x1 x12 x2 x2 2 x1 x2 x1 x2 2 α x x2 α x α2 x2 é um espaço vetorial sobre IR Os símbolos e são utilizados para indicar que a adição e a multiplicação por escalar não são as usuais 8 O conjunto V x yx y 0 é um espaço vetorial com as operações adição e multiplicação por escalar definidas assim x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 α x y xα yα O trabalho de testar os oito axiomas de espaço vetorial é um ótimo exercício para o leitor o qual observará por exemplo que o elemento neutro da adição axioma A3 é o vetor 1 1 e que o elemento simétrico axioma A4 de cada vetor x y V é o vetor 1x 1y V 9 Seja o conjunto R² a ba b R Vamos mostrar que o conjunto R² não é um espaço vetorial em relação às operações assim definidas a b c d a c b d ka b ka b Ora como a adição aqui definida é a usual verificamse os axiomas A1 A2 A3 e A4 de espaço vetorial conforme vimos no exemplo 1 Logo devem falhar algum ou alguns dos axiomas relativos à multiplicação Vamos testálos Consideremos u x1 y1 v x2 y2 e α β R Temos então M1 αβ u αβx1 y1 αβ x1 y1 αβx1 y1 αβx1 y1 αβ u αβx1 y1 αβu Este axioma se verifica M2 α β u α βx1 y1 α β x1 y1 αx1 βx1 y1 αu βu αx1 y1 βx1 y1 αx1 y1 βx1 y1 αx1 βx1 2y1 Como se vê α β u αu βu e portanto não se verifica o axioma M2 o que comprova não ser um espaço vetorial o conjunto de que trata esse exemplo 23 PROPRIEDADES DOS ESPAÇOS VETORIAIS Da definição de espaço vetorial V decorrem as seguintes propriedades I Existe um único vetor nulo em V elemento neutro da adição II Cada vetor u V admite apenas um simétrico u V III Para quaisquer u v w V se u w v w então u v IV Qualquer que seja v V temse v v isto é o oposto de v é v V Quaisquer que sejam u v V existe um e somente um x V tal que u x v Esse vetor x será representado por x v u VI Qualquer que seja v V temse 0v 0 Naturalmente o primeiro zero é o número real zero e o segundo é o vetor 0 V VII Qualquer que seja λ R temse λ0 0 VIII λv 0 implica λ 0 ou v 0 IX Qualquer que seja v V temse 1 v v X Quaisquer que sejam v V e λ R temse λ v λv λv 24 SUBESPAÇOS VETORIAIS Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto nãovazio de V O subconjunto S é um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação por escalar definidas em V Para mostrar que um subconjunto S é um subespaço vetorial de V deveríamos testar os oito axiomas de espaço vetorial relativos à adição e à multiplicação por escalar No entanto como S é parte de V que já se sabe ser um espaço vetorial não há necessidade da verificação de certos axiomas em S Por exemplo o axioma A2 diz que u v v u u v V Ora se a comutatividade da adição é válida para todos os vetores de V ela valerá conseqüentemente para todos os vetores de S Existem outros axiomas de espaço vetorial merecedores de comentário idêntico O teorema seguinte estabelece as condições para que um subconjunto S de um espaço vetorial V seja um subespaço vetorial de V 241 Teorema Um subconjunto S nãovazio de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se estiverem satisfeitas as condições I Para quaisquer u v S temse u v S II Para quaisquer α R u S temse αu S Vamos mostrar que sendo válidas essas duas condições em S os oito axiomas de espaço vetorial também se verificam em S De fato Seja u um vetor qualquer de S Pela condição II αu S para todo α R Fazendo α 0 vem 0u S ou seja 0 S axioma A3 Fazendo α 1 segue 1 u u S axioma A4 Os demais axiomas A1 A2 M1 M2 M3 e M4 de espaço vetorial são verificados em S pelo fato de ser S um subconjunto nãovazio de V Observação Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços o conjunto 0 chamado subespaço zero ou subespaço nulo e o próprio espaço vetorial V Esses dois são os subespaços triviais de V Os demais subespaços são denominados subespaços próprios de V Por exemplo os subespaços triviais de VR3 são 000 verificar as condições I e II do teorema 241 e o próprio R3 Os subespaços próprios do R3 são as retas e os planos que passam pela origem Para VR2 os subespaços triviais são 00 e R2 enquanto os subespaços próprios são as retas que passam pela origem Exemplos 1 Sejam VR2 e S xy R2 y2x ou S x2x x R isto é S é o conjunto dos vetores do plano que têm a segunda componente igual ao dobro da primeira Evidentemente S φ pois 00 S Verifiquemos as condições I e II Para ux12x1 S e vx22x2 S temse I uvx1 x2 2x12x2 x1 x2 2x1x2 S pois a segunda componente de uv é igual ao dobro da primeira II αu αx1 2x1 αx1 2αx1 S pois a segunda componente de αu é igual ao dobro da primeira Portanto S é um subespaço vetorial de R2 Esse subespaço S representa geometricamente uma reta que passa pela origem Figura 241a Observemos que ao tomarmos dois vetores u e v da reta o vetor soma uv ainda é da reta E se multiplicarmos um vetor u da reta por um número real α o vetor αu ainda estará na reta y S uv v 2 u 1 x α u Figura 241a O mesmo não ocorre quando a reta não passa pela origem Por exemplo a reta S x 4 2x x R não é um subespaço vetorial do R2 Se escolhermos os vetores u1 2 e v2 0 de S temos u v 3 2 S Figura 241b S y 4 u 2 uv v 0 1 2 3 x Figura 241b Observemos ainda que αu S para α 1 Os exemplos destas duas últimas retas sugerem para qualquer subconjunto S de um espaço vetorial V que sempre que 0 S S não é subespaço de V Aliás esse fato é sempre útil para detectar muitas vezes de imediato que um subconjunto S não é subespaço vetorial No entanto não nos enganemos pensando que se 0 S S é subespaço pois podemos ter 0 S sem que S seja subespaço É o caso do subconjunto S xx x R R2 Observemos que 00 S e que se tomarmos os vetores u33 e v22 de S teremos uv15 S Figura 241c y uv S 5 3 u v 2 0 1 3 x Figura 241c Observemos ainda que αu S α 0 Observação Nos exemplos trabalharemos somente com conjuntos nãovazios ficando dispensada a necessidade de mostrar que o conjunto é nãovazio 2 Sejam VR3 e S xyz R3 ax by cz0 Nesse caso u x₁ y₁ z₁ S implica ax₁ by₁ cz₁ 0 v x₂ y₂ z₂ S implica ax₂ by₂ cz₂ 0 I Somando essas igualdades resulta ax₁ x₂ by₁ y₂ cz₁ z₂ 0 e essa igualdade mostra que u v x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ S pois as coordenadas de u v satisfazem a equação ax by cz 0 II Por outro lado αu αx₁ αy₁ αz₁ S pois se ax₁ by₁ cz₁ 0 então αax₁ by₁ cz₁ α0 ou aαx₁ bαy₁ cαz₁ 0 o que vem mostrar que as coordenadas de αu satisfazem a equação ax by cz 0 Logo S é um subespaço vetorial de ℝ³ Esse subespaço S representa um plano qualquer passando pela origem no ℝ³ 3 Sejam V ℝ⁴ e S x y z 0 x y z ℝ isto é S é o conjunto dos vetores de ℝ⁴ que têm a quarta componente nula Verifiquemos as condições I e II de subespaço Para u x₁ y₁ z₁ 0 S e v x₂ y₂ z₂ 0 S temse I u v x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ 0 S pois a quarta componente de u v é nula II αu αx₁ αy₁ αz₁ 0 S pois a quarta componente de αu é nula Logo S é um subespaço vetorial de ℝ⁴ 4 Sejam V M2 2 a b c d a b c d ℝ e S a b 0 0 a b ℝ isto é S é o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 cujos elementos da segunda linha são nulos Para quaisquer u a₁ b₁ 0 0 S v a₂ b₂ 0 0 S e α ℝ temse I u v S II αu S Logo S é um subespaço vetorial de M2 2 Observação É interessante observar que se tivéssemos considerado V ℝ⁴ e S a b 0 0 a b ℝ o raciocínio seria idêntico ao que foi feito para as matrizes acima 5 Sejam V Mn n B uma matriz fixa de V e S A Mn nAB 0 isto é S é o conjunto das matrizes que multiplicadas à esquerda por B têm como resultado a matriz nula Então A₁ S implica A₁B 0 A₂ S implica A₂B 0 I Somando essas igualdades vem A₁B A₂B 0 ou A₁ A₂B 0 e portanto A₁ A₂ S II Multiplicando por α real a primeira igualdade vem αA₁B α0 ou αA₁B 0 e portanto αA₁ S Logo S é um subespaço vetorial de M2 2 6 Sejam V M3 1 e S o conjuntosolução de um sistema linear homogêneo a três variáveis Consideremos o sistema homogêneo 3x 4y 2z 0 2x y z 0 x y 3z 0 Fazendo A 3 4 2 2 1 1 1 1 3 X x y z e 0 0 0 0 o sistema em notação matricial será dado por AX 0 sendo X elemento do conjuntosolução S Se u X₁ x₁ y₁ z₁ e v X₂ x₂ y₂ z₂ são soluções do sistema então AX₁ 0 e AX₂ 0 I Somando essas igualdades vem AX₁ AX₂ 0 ou AX₁ X₂ 0 o que implica X₁ X₂ S isto é a soma de duas soluções é ainda uma solução do sistema II Multiplicando por α real a primeira igualdade vem αAX₁ α0 ou AαX₁ 0 o que implica αX₁ S isto é o produto de uma constante por uma solução é ainda uma solução Logo o conjuntosolução S do sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial de M3 1 Observações 1 Esse conjuntosolução S pode também ser considerado subespaço de R³ pois um vetor x y z R³ tem notação matricial x y z 2 Esse subespaço S é também chamado espaçosolução do sistema AX 0 3 Se tivermos um sistema homogêneo de m equações lineares com n variáveis o espaçosolução será um subespaço de Rⁿ 4 Se um sistema linear é nãohomogêneo o seu conjuntosolução S não é um subespaço vetorial verificação a cargo do leitor 7 Sejam V R² e S x y x 0 isto é S é o conjunto dos vetores de R² cuja primeira componente é positiva Sendo u x₁ y₁ x₁ 0 e v x₂ y₂ x₂ 0 vetores quaisquer do S temos I u v x₁ x₂ y₁ y₂ S pois x₁ x₂ 0 isto é a soma de dois vetores com a primeira componente positiva é um vetor cuja primeira componente é também positiva II αu αx₁ αy₁ S quando α 0 isto é nem sempre o produto de um vetor com a primeira componente positiva por um número real α resulta um vetor cuja primeira componente é positiva Por exemplo u 3 4 S e 23 4 6 8 S Logo S não é subespaço de R² Para chegar a essa conclusão poderíamos ter usado o fato de que 0 0 S imediata 242 Interseção de dois Subespaços Vetoriais Sejam S₁ e S₂ dois subespaços vetoriais de V A interseção S de S₁ e S₂ que se representa por S S₁ S₂ é o conjunto de todos os vetores v V tais que v S₁ e v S₂ 2421 Teorema A interseção S de dois subespaços vetoriais S1 e S2 de V é um subespaço vetorial de V De fato I se u v S1 então u v S1 se u v S2 então u v S2 Logo u v S1 S2 S II Para qualquer λ R se v S1 então λv S1 se v S2 então λv S2 Logo λv S1 S2 S Exemplos 1 Seja V o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2 V a b a b c d R c d Sejam S1 e S2 subespaços vetoriais de V S1 a b a b R 0 0 S2 a 0 a c R c 0 A interseção S S1 S2 é um subespaço vetorial de V S a 0 a IR 0 0 2 Seja o espaço vetorial IR³ a b c a b c R e os subespaços vetoriais S1 a b 0 a b R e S2 0 0 c c R A interseção S1 S2 é o subespaço vetorial S 0 0 0 0 243 Soma de dois Subespaços Vetoriais Sejam S1 e S2 dois subespaços vetoriais de V A soma S de S1 e S2 que se representa por S S1 S2 é o conjunto de todos os vetores u v de V tais que u S1 e v S2 2431 Teorema A soma S de dois subespaços vetoriais S1 e S2 de V é um subespaço vetorial de V De fato I se u1 u2 S1 então u1 u2 S1 se v1 v2 S2 então v1 v2 S2 Por outro lado u1 v1 S u2 v2 S logo u1 v1 u2 v2 u1 u2 v1 v2 S1 S2 S II Para qualquer λ IR se u1 S1 então λu1 S1 se v1 S2 então λv1 S2 Por outro lado u1 v1 S logo λu1 v1 λu1 λv1 S1 S2 S Exemplos 1 A soma S dos subespaços vetoriais S1 e S2 referidos no exemplo 1 de 2421 é um subespaço vetorial de V S a b a b c R c 0 2 Sejam os subespaços vetoriais S1 a b 0 a b R e S2 0 0 c c R do espaço vetorial IR³ a b c a b c IR A soma S1 S2 é o subespaço vetorial S a b c a b c R que no caso é o próprio IR³ 244 Soma Direta de dois Subespaços Vetoriais Sejam S1 e S2 dois subespaços vetoriais de V Dizse que V é a soma direta de S1 e S2 e se representa por V S1 S2 se V S1 S2 e S1 S2 0 2441 Teorema Se V é a soma direta de S1 e S2 todo vetor v V se escreve de modo único na forma v u w onde u S1 e w S2 De fato de V S1 S2 vem para qualquer v V v u w onde u S1 e v S2 2441I Suponhamos que v pudesse exprimirse também pela forma v u w onde u S1 e w S2 2441II As igualdades 2441I e 2441II permitem escrever u w u w ou u u w w onde u u S1 e w w S2 Tendo em vista que S1 S2 0 u u w w 0 isto é u u e w w Exemplo O espaço vetorial ℝ³ a b c a b c ℝ é a soma direta dos subespaços vetoriais S1 a b 0 a b ℝ e S2 0 0 c c ℝ pois qualquer vetor a b c ℝ³ pode ser escrito como soma de um vetor de S1 e um vetor de S2 de modo único a b c a b 0 0 0 c e portanto ℝ³ S1 S2 25 COMBINAÇÃO LINEAR Sejam os vetores v₁ v₂ vₙ do espaço vetorial V e os escalares a₁ a₂ aₙ Qualquer vetor v V da forma v a₁v₁ a₂v₂ aₙvₙ é uma combinação linear dos vetores v₁ v₂ vₙ Exemplo No espaço vetorial P₂ dos polinômios de grau 2 o polinômio v 7x² 11x 26 é uma combinação linear dos polinômios v₁ 5x² 3x 2 e v₂ 2x² 5x 8 De fato v 3v₁ 4v₂ isto é 7x² 11x 26 35x² 3x 2 42x² 5x 8 7x² 11x 26 15x² 9x 6 8x² 20x 32 7x² 11x 26 7x² 11x 26 251 Problemas Resolvidos Para os problemas de 1 a 4 consideremos no ℝ³ os seguintes vetores v₁ 1 3 2 e v₂ 2 4 1 1 Escrever o vetor v 4 18 7 como combinação linear dos vetores v₁ e v₂ Solução Pretendese que v a₁v₁ a₂v₂ sendo a₁ e a₂ escalares a determinar Então devemos ter 4 18 7 a₁1 3 2 a₂2 4 1 ou 4 18 7 a₁ 3a₁ 2a₁ 2a₂ 4a₂ a₂ ou 4 18 7 a₁ 2a₂ 3a₁ 4a₂ 2a₁ a₂ Pela condição de igualdade de dois vetores resulta o sistema a₁ 2a₂ 4 3a₁ 4a₂ 18 2a₁ a₂ 7 cuja solução é a₁ 2 e a₂ 3 Portanto v 2v₁ 3v₂ Observação Esse sistema e outros deste Capítulo estão resolvidos no Apêndice 2 Mostrar que o vetor v 4 3 6 não é combinação linear dos vetores v1 e v2 Solução Devese mostrar que não existem escalares a1 e a2 tais que v a1 v1 a2 v2 Com procedimento análogo ao do problema anterior temos 4 3 6 a1 1 3 2 a2 2 4 1 de onde resulta o sistema a1 2a2 4 3a1 4a2 3 2a1 a2 6 Observemos que esse sistema difere do anterior pelos termos independentes Como é incompatível o vetor v não pode ser escrito como combinação linear de v1 e v2 3 Determinar o valor de k para que o vetor u 1 k 7 seja combinação linear de v1 e v2 Solução Devemos ter u a1 v1 a2 v2 ou 1 k 7 a1 1 3 2 a2 2 4 1 de onde vem o sistema a1 2a2 1 3a1 4a2 k 2a1 a2 7 do qual resulta como solução do problema proposto k 13 a1 3 e a2 1 De fato 1 13 7 3 1 3 2 1 2 4 1 1 13 7 3 9 6 2 4 1 1 13 7 1 13 7 4 Determinar a condição para x y e z de modo que x y z seja combinação linear dos vetores v1 e v2 Solução Devemos ter x y z a1 1 3 2 a2 2 4 1 de onde vem o sistema a1 2a2 x 3a1 4a2 y 2a1 a2 z O vetor x y z somente será combinação linear de v1 e v2 se o sistema tiver solução e isto somente ocorre se x y 2z 0 ou x y 2z Assim todos os vetores x y z R³ que são combinações lineares de v1 e v2 têm a forma y 2z y z com y z R Podemos fazer a interpretação geométrica desse resultado Observemos que os vetores v1 e v2 não são colineares O vetor a1 v1 tem a direção de v1 e o vetor a2 v2 a direção de v2 Logo todos os vetores x y z R³ do tipo x y z a1 v1 a2 v2 formam um plano π que passa pela origem conforme sugere a figura 251 Esse plano tem equação x y 2z 0 que estabelece a condição solicitada entre os componentes x y e z 5 Mostrar que o vetor v 3 4 R² pode ser escrito de infinitas maneiras como combinação linear dos vetores v1 1 0 v2 0 1 e v3 2 1 Solução Temse 3 4 a 1 0 b 0 1 c 2 1 onde a 2c 3 b c 4 ou a 3 2c b 4 c e portanto para cada valor de c obtémse um valor para a e outro para b 252 Subespaços Gerados Seja V um espaço vetorial Consideremos um subconjunto A v1 v2 vn V A φ O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é um subespaço vetorial de V De fato se u a1 v1 a2 v2 an vn e v b1 v1 b2 v2 bn vn são dois vetores quaisquer de S podese escrever u v a1 b1 v1 a2 b2 v2 an bn vn αu αa1 v1 αa2 v2 αan vn Tendo em vista que u v S e que αu S por serem combinações lineares de v1 v2 vn concluise que S é um subespaço vetorial de V Simbolicamente o subespaço S é S v Vv a1 v1 an vn a1 an IR Observações 1 O subespaço S dizse gerado pelos vetores v1 v2 vn ou gerado pelo conjunto A e representase por S v1 v2 vn ou S GA Os vetores v1 v2 vn são chamados geradores do subespaço S enquanto A é o conjunto gerador de S 2 Para o caso particular de A φ definese φ 0 3 A GA ou seja v1 vn v1 vn 4 Todo conjunto A V gera um subespaço vetorial de V podendo ocorrer GA V Nesse caso A é um conjunto gerador de V Exemplos 1 Os vetores i 1 0 e j 0 1 geram o espaço vetorial R² pois qualquer x y R² é combinação linear de i e j x y xi yj x1 0 y0 1 x 0 0 y x y Então i j R² 2 Os vetores i 1 0 0 e j 0 1 0 do R³ geram o subespaço S x y 0 IR³ x y IR pois x y 0 x1 0 0 y0 1 0 Então i j S é um subespaço próprio do R³ e representa geometricamente o plano xOy 3 Os vetores e1 1 0 0 e2 0 1 0 e e3 0 0 1 geram o espaço vetorial R³ pois qualquer v x y z R³ é combinação linear de e1 e2 e e3 x y z x1 0 0 y0 1 0 z0 0 1 ou v xe1 ye2 ze3 Então e1 e2 e3 IR³ Observação Antes de resolvermos alguns problemas e fornecermos certas interpretações geométricas atentemos para um fato importante Dados n vetores v1 vn de um espaço vetorial V se w V é tal que w a1 v1 an vn então v1 vn w v1 vn pois todo vetor v que é combinação linear de v1 vn w é também combinação linear de v1 vn Supondo que v v₁ vₙ w então existem números reais b₁ bₙ b tais que v b₁v₁ bₙvₙ bw mas w a₁v₁ aₙvₙ logo v b₁v₁ bₙvₙ ba₁v₁ aₙvₙ ou v b₁ a₁bv₁ bₙ aₙbvₙ e portanto v é combinação linear de v₁ vₙ isto é v v₁ vₙ A recíproca ou seja se v v₁ vₙ então v v₁ vₙ w é trivial pois se v a₁v₁ aₙvₙ então v a₁v₁ aₙvₙ 0w Assim sendo S um subespaço gerado por um conjunto A ao acrescentarmos vetores de S a esse conjunto A os novos conjuntos continuarão gerando o mesmo subespaço S Esse fato faz entender que um determinado subespaço S pode ser gerado por uma infinidade de vetores porém existe um número mínimo de vetores para gerálo 2521 Problemas Resolvidos 6 Seja V IR³ Determinar o subespaço gerado pelo vetor v₁ 1 2 3 Solução Temos v₁ x y z IR³x y z a1 2 3 a IR Da igualdade x y z a1 2 3 vem x a y 2a z 3a donde y 2x z 3x Logo v₁ x y z IR³y 2x e z 3x ou v₁ x 2x 3x x IR O subespaço gerado por um vetor v₁ IR³ v₁ 0 é uma reta que passa pela origem Figura 252a Se a esse vetor acrescentarmos v₂ v₃ todos colineares entre si o subespaço gerado por 2 3 vetores continuará sendo a mesma reta v₁ v₁ v₂ v₁ v₂ v₃ Figura 252b 7 Seja V IR³ Determinar o subespaço gerado pelo conjunto A v₁ v₂ sendo v₁ 1 2 1 e v₂ 2 1 1 Solução Temos v₁ v₂ x y z IR³x y z a₁1 2 1 a₂2 1 1 a₁ a₂ IR Da igualdade acima vem a₁ 2a₂ x 2a₁ a₂ y a₁ a₂ z O vetor x y z v₁ v₂ se e somente se o sistema tem solução e isto somente ocorre quando x 3y 5z 0 exercício a cargo do leitor Logo v₁ v₂ x y z IR³x 3y 5z 0 O subespaço gerado pelos vetores v₁ v₂ IR³ nãocolineares é um plano π que passa pela origem Figura 252c Se a esses dois vetores acrescentarmos v₃ v₄ todos coplanares o subespaço gerado por 3 4 vetores continuará sendo o mesmo plano π v₁ v₂ v₁ v₂ v₃ v₁ v₂ v₃ v₄ Figura 252d 8 Seja V IR³ Determinar o subespaço gerado pelo conjunto A v₁ v₂ v₃ sendo v₁ 1 1 1 v₂ 1 1 0 e v₃ 1 0 0 Solução Para todo vetor x y z v₁ v₂ v₃ temse x y z a₁1 1 1 a₂1 1 0 a₃1 0 0 Desta igualdade vem a₁ a₂ a₃ x a₁ a₂ y a₁ z ou a₁ z a₂ y z a₃ x y Portanto x y z z1 1 1 y z1 1 0 x y1 0 0 e por conseguinte os vetores v₁ v₂ e v₃ geram o IR³ pois cada vetor do IR³ é combinação linear dos vetores dados Logo v₁ v₂ v₃ IR³ O subespaço gerado por três vetores nãocoplanares é o próprio IR³ Figura 252e Se a esses três vetores acrescentarmos v₄ v₅ quaisquer o subespaço gerado pelos 4 5 vetores continuará sendo o próprio IR³ v₁ v₂ v₃ v₁ v₂ v₃ v₄ Figura 252e 9 Mostrar que o conjunto A 3 1 5 2 gera o IR² Solução Vamos mostrar que todo vetor x y IR² é combinação linear dos vetores do conjunto A isto é sempre existem os números reais a₁ e a₂ tais que x y a₁3 1 a₂5 2 Daí vem o sistema 3a₁ 5a₂ x a₁ 2a₂ y que resolvido em termos de x e y fornece a₁ 2x 5y e a₂ 3y x Portanto x y 2x 5y3 1 3y x5 2 isto é GA IR² 10 Sejam V M2 2 e o subconjunto A 1 2 2 3 3 1 1 1 Determinar o subespaço GA Solução Para todo vetor v x y z t GA temse x y z t a1 2 2 3 b3 1 1 1 e daí o sistema a 3b x 2a b y 2a b z 3a b t que é compatível se z y e x 2y t Logo GA 2y t y y t y t IR 26 ESPAÇOS VETORIAIS FINITAMENTE GERADOS Um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe um conjunto finito A A V tal que V GA Com exceção do Exemplo 6 de 22 os demais exemplos de espaços vetoriais citados até aqui são finitamente gerados Por exemplo vimos que o IR³ é gerado pelo conjunto finito de três vetores A 100 010 001 pois para todo x y z IR³ temse xyz x100 y010 z001 Em nosso estudo trataremos somente de espaços vetoriais finitamente gerados Um exemplo de espaço vetorial que não é finitamente gerado é o espaço P de todos os polinômios reais Na verdade dado A p₁ pₙ P onde pᵢ é um polinômio de grau i e pₙ o de mais alto grau qualquer combinação linear a₁p₁ a₂p₂ aₙpₙ tem grau n Assim o subespaço p₁ pₙ contém somente polinômios de grau menor ou igual ao grau de pₙ Como P é formado por todos os polinômios existem nele polinômios de grau maior que o de pₙ Logo GA P para todo conjunto finito A P 27 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR No problema 8 de 2521 chamamos a atenção para o fato de que o espaço vetorial IR³ pode ser gerado por três vetores ou também por quatro ou por cinco etc Assim três vetores constituem o número mínimo necessário para gerar o IR³ No entanto quatro cinco ou mais vetores podem gerar o IR³ Porém nesse caso sobram vetores no conjunto gerador Em nosso estudo temos grande interesse no conjunto gerador que seja o menor possível Para a determinação do menor conjunto gerador de um espaço vetorial precisamos ter a noção de dependência e independência linear 271 Definição Sejam V um espaço vetorial e A v₁ vₙ V Consideremos a equação a₁v₁ aₙvₙ 0 27 Sabemos que essa equação admite pelo menos uma solução a₁ 0 a₂ 0 aₙ 0 chamada solução trivial O conjunto A dizse linearmente independente LI ou os vetores v₁ vₙ são LI caso a equação 27 admita apenas a solução trivial Se existirem soluções aᵢ 0 dizse que o conjunto A é linearmente dependente LD ou que os vetores v₁ vₙ são LD Exemplos 1 No espaço vetorial V IR³ os vetores v₁ 21 3 v₂ 102 e v₃ 23 1 formam um conjunto linearmente dependente pois 3v₁ 4v₂ v₃ 0 ou seja 321 3 41 0 2 2 3 1 0 0 0 2 No espaço vetorial V IR⁴ os vetores v₁ 2 2 34 v₂ 0 5 3 1 e v₃ 00 4 2 são linearmente independentes De fato a2 2 3 4 b0 5 3 b c0 0 4 2 0 0 0 0 2a 2a 3a 4a 0 5b 3b b 0 0 4c 2c 0 0 0 0 2a 2a 5b 3a 3b 4c 4a b 2c 0 0 0 0 isto é 2a 0 2a 5b 0 3a 3b 4c 0 4a b 2c 0 O sistema admite unicamente a solução a 0 b 0 e c 0 3 No espaço vetorial IR³ o conjunto e₁ e₂ e₃ tal que e₁ 1 0 0 e₂ 0 1 0 e e₃ 0 0 1 é LI De fato a equação a₁e₁ a₂e₂ a₃e₃ 0 ou a₁1 0 0 a₂0 1 0 a₃0 0 1 0 0 0 transformase em a₁ a₂ a₃ 0 0 0 e portanto a₁ a₂ a₃ 0 Logo o conjunto 1 0 0 0 1 0 0 0 1 é LI De forma análoga mostrase que os vetores e₁ 1 0 0 0 e₂ 0 1 0 0 eₙ 0 0 0 1 formam um conjunto linearmente independente no IRⁿ