Lista de Exercícios Resolvidos - Transformações Lineares e Vetores em R2 e R3

4 Seja V R² Fazer um gráfico de um vetor genérico v x y do domínio e de sua imagem Tv sob a transformação linear T R² R² dada por a Tx y 2x 0 d Tx y 3x 2y b Tx y 2x y e Tx y 2x y c Tx y 2x 2y f Tx y x y 5 Dentre as seguintes funções verificar quais são lineares a T R² IR³ Tx y x y 3x 2y b T IR³ IR³ Tx y z x y x y 0 c T IR² IR² Tx y x² y² x d T IR IR² Tx x 2 e T IR³ IR Tx y z 3x 2y z f T IR² IR² Tx y x y g T IR² IR Tx y x h T IR² IR Tx y xy i T IR² IR⁴ Tx y y x y x j T IR² M2 2 Tx y 2y 3x y x 2y k T M2 2 IR² T a b c d a c b c l T M2 2 IR T a b c d det a b c d m T IR³ IR² x y z 2 1 3 1 0 2 x y z 6 Seja a aplicação T IR² IR⁵ x y x ky x k y Verificar em que casos T é linear a k x b k 1 c k 0 7 a Determinar a transformação linear T R² IR³ tal que T1 1 3 2 1 e T0 1 1 1 0 b Encontrar v R² tal que Tv 2 1 3 8 a Determinar a transformação linear T IR³ R² tal que T1 1 0 1 1 T0 1 1 2 2 e T0 0 1 3 3 b Achar T1 0 0 e T0 1 0 9 Seja T IR³ R² uma transformação linear definida por T1 1 1 1 2 T1 1 0 2 3 e T1 0 0 3 4 a Determinar Tx y z b Determinar v IR³ tal que Tv 3 2 c Determinar v IR³ tal que Tv 0 0 48 PROBLEMAS PROPOSTOS 1 Consideremos a transformação linear T IR² IR² definida por Txy 3x 2y x 4y Utilizar os vetores u 1 2 e v 3 1 para mostrar que T3u 4v 3Tu 4Tv 2 Dada a transformação linear T V W tal que Tu 3u e Tv u v calcular em função de u e v a Tu v b T3v c T4u 5v 3 Dentre as transformações T IR² IR² definidas pelas seguintes leis verificar quais são lineares a Tx y x 3y 2x 5y b Tx y y x c Tx y x² y² d Tx y x 1 y e Tx y y x 0 f Tx y x 2y g Tx y senx y h Tx y xy x y i Tx y 3y 2x 6 Seja a aplicação T IR² R⁵ x y x ky x k y Verificar em que casos T é linear a k x b k 1 c k 0 7 a Determinar a transformação linear T R² IR³ tal que T1 1 3 2 1 e T0 1 1 1 0 b Encontrar v R² tal que Tv 2 1 3 8 a Determinar a transformação linear T IR³ R² tal que T1 1 0 1 1 T0 1 1 2 2 e T0 0 1 3 3 b Achar T1 0 0 e T0 1 0 9 Seja T IR³ R² uma transformação linear definida por T1 1 1 1 2 T1 1 0 2 3 e T1 0 0 3 4 a Determinar Tx y z b Determinar v IR³ tal que Tv 3 2 c Determinar v IR³ tal que Tv 0 0 10 Seja T o operador linear no R3 tal que T100 020 T010 002 e T001 103 Determinar Txyz e o vetor v R3 tal que Tv 549 11 Determinar a transformação linear T P2 P2 tal que T1 x Tx 1 x2 e Tx2 x 2x2 12 Seja o operador linear T R2 R2 Txy 2x y 4x 2y Quais dos seguintes vetores pertencem a NT a 12 b 23 c 36 13 Para o mesmo operador linear do exercício anterior verificar quais dos vetores pertencem a ImT a 24 b 121 c 13 Nos problemas 14 a 21 são apresentadas transformações lineares Para cada uma delas a Determinar o núcleo uma base para esse subespaço e sua dimensão T é injetora Justificar b Determinar a imagem uma base para esse subespaço e sua dimensão T é sobrejetora Justificar 14 T R2 R2 Txy 3x y 3x y 15 T R2 R3 Txy x y x 2y 16 T R2 R2 Txy x 2y x y 17 T R3 R2 Txyz x 2y z 2x y z 18 T R3 R3 Txyz x y 2z x 2y z x 3z 19 T R3 R3 Txyz x 3y x z z x 20 T P1 R3 Tat b a 2a a b 21 T M22 R2 Ta b c d a b a b 22 Seja a transformação linear T R2 R3 tal que T23 101 e T12 010 a Determinar Txy b Determinar NT e ImT c T é injetora E sobrejetora 23 Seja T R4 R3 a transformação linear tal que Te1 121 Te2 101 Te3 012 e Te4 131 sendo e1 e2 e3 e4 a base canônica do R4 a Determinar o núcleo e a imagem de T b Determinar bases para o núcleo e para a imagem c Verificar o Teorema da Dimensão 24 Encontrar um operador linear T R3 R3 cujo núcleo é gerado por 121 e 110 25 Encontrar uma transformação linear T R3 R2 tal que NT 101 26 Encontrar uma transformação linear T R3 R4 cuja imagem é gerada por 1312 e 2011 27 Consideremos a transformação linear T R3 R2 definida por Txyz 2x y z x 2y e as bases A 100 210 011 do R3 e B 11 01 do R2 Determinar a matriz TBA 28 Seja a transformação linear T R2 R3 Txy 2x y x 3y 2y e as bases A 1121 e B 001011110 Determinar TBA Qual a matriz TCA onde C é a base canônica do R3 29 Sabendo que a matriz de uma transformação linear T R2 R3 nas bases A 1110 do R2 e B 111210301 e do R2 é 31 25 11 encontrar a expressão de Txy e a matriz T 30 Seja T 1 2 2 0 1 3 a matriz canônica de uma transformação linear T R2 R3 Se Ty 242 calcular v 31 Seja T R2 R3 uma transformação linear com matriz TBB 11 01 23 para B e1 e2 base canônica do R2 e B 101 201 010 base do R3 Qual a imagem do vetor 23 pela T 32 Seja T R3 R2 tal que TB1B2 101 111 sendo B1 011 100 101 e B2 10 01 bases do R3 e do R2 respectivamente a Encontrar a expressão de Txyz b Determinar ImT e uma base para esse subespaço c Determinar NT e uma base para esse subespaço d T é injetora T é sobrejetora Justificar 33 Consideremos o operador linear T R2 R2 x y x2y xy e as bases A 1 11 0 B 21 1 1 e C canônica Determinar TA TB TC 34 A matriz de T R2 R2 relativa à base B v1 v2 sendo v1 1 1 e v2 3 2 é 2 1 1 3 a Determinar Tv1B e Tv2B b Determinar Tv1 e Tv2 c Calcular Tx y 35 Mostrar que a matriz do operador linear identidade I Rn Rn v v em uma base qualquer é a matriz identidade n x n 36 Seja T R2 R2 definida por T 1 3 1 5 Determinar os vetores u v e w tais que a Tu u b Tv 2v c Tw 4 4 37 Seja T o operador linear dado pela matriz 1 2 1 2 0 1 1 2 2 a Calcular NT e dim NT b Calcular ImT e dim ImT 38 Seja o espaço vetorial V M2 2 e a transformação linear T V IR3 Ta b c d ab cd 2a a Mostrar que T é linear b Determinar TBA sendo A e B as bases canônicas de M2 2 e IR3 respectivamente c Calcular vV tal que Tv 3 2 4 d Determinar NT 39 Sejam F R2 M2 2 uma transformação linear e α e β as bases canônicas de IR2 e M2 2 respectivamente Sabendo que Fβα 1 0 2 1 3 2 1 2 determinar a F1 0 b F0 1 c F2 3 d Fx y e a b tal que Fa b 1 2 3 4 40 Sejam as transformações lineares T1 R2 R3 Tx y xy 2xy 2x e T2 R2 R3 T2x y 2x y x 3y y Determinar as seguintes transformações lineares de R2 em R3 a T1 T2 b 3T1 2T2 41 Consideremos as transformações lineares S e T de R3 em R2 definidas por Sx y z 2x y 3x 2y z e Tx y z x y z y 2z a Determinar o núcleo da transformação linear S T b Encontrar a matriz canônica de 3S 4T 42 Sejam S e T operadores lineares de IR2 definidos por Sx y x 2y y e Tx y 2x y Determinar a S T d S o T b T S e T o S c 2S 4T f S o S 43 Seja a transformação linear S IR3 R4 Sx y z x y z x y y z a Calcular S o T x y se T IR2 R3 x y 2x y x y x 3y b Determinar a matriz canônica de S o T e mostrar que ela é o produto da matriz canônica de S pela matriz canônica de T 44 As transformações S IR2 R3 e T IR3 IR2 são tais que Sx y y x y 2x 2y e Tx y z x y a Sendo B 1 0 1 1 1 1 1 0 0 uma base do IR3 determinar a matriz S o TB b Determinar T o SB e T o SB sendo B 1 1 0 1 e B a base canônica 45 Sendo S e T operadores lineares do IR3 definidos por Sx y z x 2y x y e Tx y z x z y z determinar a S o T b T o S 46 Os pontos A2 1 e B1 4 são vértices consecutivos de um quadrado Calcular os outros dois vértices utilizando a matrizrotação 47 Os pontos A1 1 B4 1 e Ca b são vértices de um triângulo retângulo isósceles reto em A Determinar o vértice C fazendo uso da matrizrotação 48 Em um triângulo ABC os ângulos B e C medem 75 cada Sendo A1 1 e B1 5 determinar o vértice C 49 Determinar em cada caso a matriz da transformação linear de IR2 em IR2 que representa a sequência de transformações dadas a Reflexão em torno do eixo dos y seguida de um cisalhamento de fator 5 na direção horizontal b Rotação de 30 no sentido horário seguida de uma duplicação dos módulos e inversão dos sentidos c Rotação de 60 seguida de uma reflexão em relação ao eixo dos y d Rotação de um ângulo θ seguida de uma reflexão na origem e Reflexão em torno da reta y x seguida de uma dilatação de fator 2 na direção Ox e finalmente um cisalhamento de fator 3 na direção vertical 50 O vetor v 3 2 experimenta seqüencialmente 1 Uma reflexão em torno da reta y x 2 Um cisalhamento horizontal de fator 2 3 Uma contração na direção Oy de fator 13 4 Uma rotação de 90 no sentido antihorário a Calcular o vetor resultante dessa sequência de operações b Encontrar a expressão da transformação linear T IR2 R2 que representa a composta das quatro operações c Determinar a matriz canônica da composta das operações 51 Determinar o ângulo α formado pelos vetores v e Tv quando o espaço gira em torno do eixo dos z de um ângulo θ nos seguintes casos a v 22 22 1 e θ 180 b v 32 22 22 e θ 180 c v 322 24 22 e θ 60 1 A seguir são dados operadores lineares T em IR2 e em IR3 Verificar quais são inversíveis e nos casos afirmativos determinar uma fórmula para T1 a T IR2 IR2 Tx y 3x 4y x 2y b T IR2 IR2 Tx y x 2y 2x 3y c T IR2 IR2 Tx y 2x y 4x 2y d T IR2 IR2 Tx y 5x 2y 4x 2y e T IR2 IR2 Tx y x y f T IR3 IR3 Tx y z x y 2z y z 2y 3z g T R3 R3 Txyz x y z x 2y z h T R3 R3 Txyz x x z x y z i T R3 R3 Txyz x y 2z y z 2x y 3z j T R3 R3 Txyz x z x z y 2 Seja o operador linear T R3 R3 definido pela matriz 1 0 1 2 1 1 0 0 1 a Mostrar que T é um isomorfismo b Determinar a lei que define o operador T1 c Utilizar a matriz de T ou de T1 para obter o vetor v R3 tal que Tv 2 3 0 3 Mostrar que o operador linear no R3 definido pela matriz 1 2 3 2 3 4 3 5 7 não é inversível Determinar v R3 tal que Tv 6 9 15 4 Verificar se o operador linear T R3 R3 definido por T100 210 T010 111 e T031 011 é inversível e em caso afirmativo determinar T1 xyz 5 No plano uma rotação de π3 radianos é seguida de uma reflexão em torno do eixo dos y a Mostrar que a transformação é um isomorfismo b Determinar a inversa da transformação definida 6 Seja T R2 R2 o operador linear que transforma u em Tu e v em Tv conforme a figura a Dar a lei do operador T b Determinar a transformação linear que transforma Tu em u e Tv em v 7 Utilizar a inversão de matrizes 2 x 2 para mostrar que a A transformação linear inversa de uma reflexão em torno do eixo dos x é uma reflexão em torno desse eixo b A transformação inversa de uma dilatação ao longo de um eixo é uma contração ao longo desse eixo c A inversa de uma rotação do plano de um ângulo θ é a rotação do plano do ângulo θ 8 Consideremos as seguintes bases do R2 A 11 01 e B 23 35 a Determinar a matrizmudança de base IAB b Utilizar a matriz obtida no item a para calcular vB sendo vA 23 c Determinar a matrizmudança de base de B para A 9 Repetir o problema 8 para as bases A 31 12 e B 32 22 sendo vA 43 10 Sejam B 10 01 B1 11 10 B2 11 23 e B3 21 51 bases do R2 a Determinar as matrizesmudança de base IBB1 IB1B IBB2 IB2B e IBB3B2 b Determinar o vetor coordenada de v 34 em relação às bases B B1 B2 e B3 11 Sabendo que IAB 1 4 4 11 e B 35 12 determinar a base A 12 Sabendo que IAB 7 6 11 8 e A 13 24 determinar a base B 13 A base B é obtida da base canônica A do R2 pela rotação de π3 rad Calcular a IBA b IAB 14 Consideremos as seguintes bases do R3 A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 e B 1 0 1 0 1 1 1 1 1 a Determinar a matriz IBA b Utilizar a matriz obtida no item a para calcular vB sendo vA 1 2 3 c Determinar a matriz IAB 15 Se IBA 0 1 0 1 1 0 1 1 1 determinar vA sabendo que vB 3 2 0 16 Mostrar que para qualquer base A de um espaço vetorial a matrizmudança de base IAA é a matriz identidade 17 Em relação aos operadores dados determinar primeiramente a matriz de T na base A e a seguir utilizar a relação entre matrizes semelhantes para calcular a matriz de T na base B a T R2 R2 Tx y x 2y x y A 11 1 2 e B 1 3 0 2 b T R2 R2 Tx y 2x 3y x y A 1 0 0 1 e B 3 0 2 1 c T R2 R2 Tx y 7x 4y 4x y A é a base canônica e B 21 12 d T R3 R3 Tx y z x 2y 2z y 2y 3z A é canônica e B 0 1 1 1 0 0 1 0 1 18 Seja T R2 R2 um operador linear Consideremos as bases A canônica e B 4 1 11 3 Sabendo que TB 3 5 1 2 determinar TA utilizando a relação entre matrizes semelhantes 19 Seja o operador linear T R2 R2 Tx y x y x y a Determinar TB sendo B 1 2 0 1 b Utilizar a matriz encontrada em a para calcular TvB sabendo que v 4 2 20 Encontrar três matrizes semelhantes à matriz 1 1 1 2 21 Quais dos seguintes operadores são ortogonais a T R2 R2 Tx y 12 x 12 y 12 x 12 y b T R2 R2 Tx y y x c T R2 R2 Tx y x y x y 22 Dentre os seguintes operadores lineares verificar quais são ortogonais a T R3 R3 Tx y z z x y b T R3 R3 Tx y z x y z c T R3 R3 Tx y z x 0 0 d T R3 R3 Tx y z x ycos θ zsen θ ysen θ zcos θ 23 Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais e dentre estas determinar as que representam rotações a 35 45 45 35 b 35 45 35 45 c 15 25 25 15 d 110 310 310 110 e 1 0 1 1 1 0 1 1 0 f 13 23 23 23 23 13 23 13 23 g 13 13 13 0 22 12 26 16 16 h 13 16 12 13 16 12 13 26 0 i cosθ 0 senθ 0 1 0 senθ 0 cosθ 24 Construir uma matriz ortogonal cuja primeira coluna seja a 25 15 b 13 23 23 25 Mostrar que se A e B são matrizes ortogonais então AB também é ortogonal 26 Mostrar por meio da multiplicação de matrizes que uma rotação de 30 seguida de uma rotação de 60 resulta em uma rotação de 90 27 Determinar a e b para que os seguintes operadores no IR³ sejam simétricos a T IR³ IR³ Txyz 3x 2y ax y 3z by z b T IR³ IR³ Txyz x 2z ax 4y bz 2x 3y z