Vetores e Espaços Vetoriais

46 Classificar os seguintes subconjuntos do IR² em LI ou LD a 13 b 1326 c 2135 d 101135 47 Classificar os seguintes subconjuntos do IR³ em LI ou LD a 213 b 111111 c 210130350 d 213000152 e 121242130 f 112211103 g 121100012312 48 Quais dos seguintes conjuntos de vetores pertencentes ao P₂ são LD a 2xx²4x4x²x2x² b 1x2x²xx²x² c 13xx²2xx²12x3x²2x3x² d x²x1x²2x 49 Quais dos seguintes conjuntos de vetores do IR⁴ são LD a 210010211201 b 0101111112011210 c 1100010000111212 d 1124114201312115 50 Sendo V o espaço vetorial das matrizes 2x3 verificar se ABC é LI ou LD sendo A1 2 1 3 2 4 B0 1 2 2 1 0 e C1 0 5 1 0 3 51 Determinar o valor de k para que seja LI o conjunto 102111k20 52 Determinar k para que 1 0 1 01 1 0 02 1 k 0 seja LD 53 Mostrar que são LD os vetores v₁v₂ e v₃ com v₁ e v₂ vetores arbitrários de um espaço vetorial V e v₃2v₁v₂ 54 Mostrar que se uv e w são LI então uv uw e vw são também LI 55 Sendo v₁12 IR² determinar v₂ IR² tal que v₁v₂ seja base do IR² 56 Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do IR² a 1213 c 0023 b 3648 d 3123 57 Para que valores de k o conjunto β1kk4 é base do IR² 58 O conjunto β2132 é uma base do IR² Escrever o vetor genérico do IR² como combinação linear de β 59 Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do IR3 a 1 1 1 2 1 0 3 2 0 b 1 0 1 0 1 2 2 14 c 2 1 1 1 0 1 0 0 1 d 1 2 3 4 1 2 e 0 1 2 2 1 3 1 0 1 4 1 2 60 Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base de P2 a 2t2 t 4 t2 3t 1 b 1 t t2 c 2 1 x 1 x2 d 1 x x2 x x2 x2 e 1 x x x2 1 2x x2 61 Mostrar que o conjunto 2 3 1 0 1 1 0 2 3 2 1 1 3 7 2 5 é uma base de M2 2 62 Mostrar que o conjunto 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 3 0 0 0 5 é base do IR4 63 O conjunto A t3 2t2 t 3 t3 3t2 4t 1 é base de P3 Justificar 64 Mostrar que os vetores v1111 v2123 v3302 e v4211 geram o IR3 e encontrar uma base dentre os vetores v1 v2 v3 e v4 65 Mostrar que os polinômios p11 2x 3x2 p21 3x 2x2 e p32 x 5x2 formam uma base do espaço dos polinômios de grau 2 e calcular o vetorcoordenada de p2 9x 13x2 na base βp1 p2 p3 66 Determinar uma base do subespaço do IR4 gerado pelos vetores v11100 v22221 v31121 e v40042 67 Seja VIR3 e o conjunto B011 110 121 IR3 a Mostrar que B não é base do IR3 b Determinar uma base do IR3 que possua dois elementos de B 68 Determinar o vetor coordenada de v62 em relação às seguintes bases α30 02 γ10 01 β12 21 δ01 10 69 No espaço vetorial IR3 consideremos a seguinte base B100 010 111 Determinar o vetor coordenada de vIR3 em relação à base B se a v234 b v356 c v111 70 Seja A3 2x x2 uma base de P2 Determinar o vetorcoordenada de y6 4x 3x2 em relação à base A 71 Sejam os vetores v1101 v2121 e v3010 do IR3 a Mostrar que Bv1 v2 v3 é base do IR3 b Escrever e1100 e2010 e3001 como combinação linear dos vetores da base B Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais a x y z IR³y 3x b x y z IR³y 5x e z 0 c x y IR²x y 0 d x y z IR³x 3y e z y e x y z IR³2x y 3z 0 f x y z IR³z 0 73 Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de M2 2 a a bc d b a c e d c b a bc d b a c c a bc d c a 3b e d 0 d a bc d a d b c 74 Seja o subespaço S de M2 2 S a bc dc a b e d a a Qual a dimensão de S b O conjunto 1 10 1 2 13 4 é uma base de S Justificar 75 Encontrar uma base e a dimensão do espaçosolucao dos sistemas a x 2y 2z t 0 2x 4y z t 0 x 2y 3z 2t 0 b x 2y z 3t 0 2x y z t 0 4x 3y z 5t 0 c x 2y z 0 2x y 3z 0 x 3y 4z 0 d 2x 2y 3z 0 x y z 0 3x 2y z 0 e x y 2z t 0 2x 2y 4z 2t 0 No text found on this page only formatting lines and page number 46 Classifique os subconjuntos do R² como Linearmente Independentes LI ou Linearmente Dependentes LD a Conjunto 1 3 Esse conjunto contém apenas um vetor Um único vetor é sempre linearmente independente pois não há outro vetor para comparar e verificar dependência Classificação LI b Conjunto 1 3 2 6 Aqui temos dois vetores Vamos verificar se existe alguma relação de dependência linear entre eles Note que 2 6 2 1 3 Ou seja o segundo vetor é um múltiplo do primeiro Isso significa que eles são linearmente dependentes Classificação LD c Conjunto 2 1 3 5 Para verificar a dependência vamos supor que existe uma combinação linear que resulta no vetor nulo α2 1 β3 5 0 0 Isso implica no seguinte sistema 2α 3β 0 α 5β 0 Resolvendo esse sistema vemos que a única solução é α 0 e β 0 o que indica que os vetores são linearmente independentes Classificação LI d Conjunto 1 0 1 1 3 5 Agora temos três vetores Novamente precisamos verificar se há alguma combinação linear que resulte no vetor nulo α1 0 β1 1 γ3 5 0 0 Isso resulta no seguinte sistema α β 3γ 0 β 5γ 0 Esse sistema admite múltiplas soluções não triviais o que indica que os vetores são linearmente dependentes Classificação LD 47 Classifique os seguintes subconjuntos do R³ como Linearmente Independentes LI ou Linearmente Dependentes LD Abaixo fornecemos uma explicação detalhada para cada item adequada para quem tem dificuldade em entender o conceito de dependência e independência linear a Conjunto 2 1 3 Esse conjunto contem apenas um vetor Para que houvesse dependˆencia linear precisarıamos de pelo menos dois vetores para formar uma combinacao linear Como ha apenas um vetor ele nao pode ser uma combinacao linear de outros vetores e portanto e linearmente independente Classificacao LI b Conjunto 1 1 1 1 1 1 Vamos verificar se esses dois vetores sao linearmente dependentes Para isso assumimos que ha uma com binacao linear desses vetores que resulta no vetor nulo α1 1 1 β1 1 1 0 0 0 Isso implica no seguinte sistema de equacoes α β 0 α β 0 α β 0 Vamos resolver esse sistema passo a passo 1 A primeira equacao e α β 0 o que nos da α β 2 Substituindo α β na segunda equacao α β 0 obtemos α α 0 o que e verdade entao essa equacao e satisfeita 3 Agora substituımos α β na terceira equacao α β 0 o que nos da 2α 0 portanto α 0 e consequentemente β 0 Como a unica solucao para α e β e α 0 e β 0 os vetores sao linearmente independentes Classificacao LI c Conjunto 2 1 0 1 3 0 3 5 0 Observamos que todos os vetores tˆem o terceiro componente igual a zero ou seja eles estao no plano xy Vamos verificar se eles sao linearmente dependentes Vamos assumir que existe uma combinacao linear que resulta no vetor nulo α2 1 0 β1 3 0 γ3 5 0 0 0 0 Isso nos da o seguinte sistema de equacoes 2α β 3γ 0 α 3β 5γ 0 0α 0β 0γ 0 A terceira equacao 0α 0β 0γ 0 e trivialmente verdadeira Vamos analisar as outras duas 1 Na primeira equacao podemos escrever β 2α 3γ 2 Substituindo essa expressao na segunda equacao temos α 32α 3γ 5γ 0 α 6α 9γ 5γ 0 5α 14γ 0 α 14 5 γ Substituindo α e β nas expressoes anteriores obtemos solucoes para α β e γ que nao sao todas zero Isso significa que os vetores sao linearmente dependentes Classificacao LD 2 d Conjunto 2 1 3 0 0 0 1 5 2 Esse conjunto inclui o vetor nulo 0 0 0 Quando o vetor nulo esta presente sempre ha uma combinacao linear trivial que envolve o vetor nulo tornando o conjunto linearmente dependente Classificacao LD e Conjunto 1 2 1 2 4 2 1 3 0 Vamos verificar se existe uma relacao de dependˆencia linear entre esses trˆes vetores Observamos que o segundo vetor e um multiplo do primeiro 2 4 2 2 1 2 1 Portanto o segundo vetor pode ser escrito como uma combinacao linear do primeiro o que significa que eles sao linearmente dependentes Classificacao LD f Conjunto 1 1 2 2 1 1 1 0 3 Vamos verificar se esses vetores sao linearmente independentes resolvendo o seguinte sistema de equacoes α1 1 2 β2 1 1 γ1 0 3 0 0 0 Expandindo obtemos α 2β γ α β 2α β 3γ 0 0 0 Isso nos da o sistema α 2β γ 0 α β 0 2α β 3γ 0 Resolvendo esse sistema 1 Da segunda equacao temos β α 2 Substituindo isso na primeira equacao obtemos α2αγ 0 ou seja 3α γ 3 Substituindo β α e γ 3α na terceira equacao temos 2α α 9α 0 8α 0 Portanto α 0 β 0 e γ 0 Como a unica solucao e a trivial os vetores sao linearmente indepen dentes Classificacao LI g Conjunto 1 2 1 1 0 0 0 1 2 3 1 2 Finalmente temos quatro vetores em R3 Como o espaco R3 tem dimensao 3 se tivermos mais de trˆes vetores eles serao automaticamente linearmente dependentes porque nao e possıvel que mais de trˆes vetores sejam independentes em um espaco tridimensional Classificacao LD 3 48 Quais dos seguintes conjuntos de vetores pertencentes ao espaco vetorial P3 sao Linearmente Dependentes LD a 2 x x2 4 x 4x2 x 2x2 Primeiro precisamos entender o que significa os vetores serem linearmente dependentes no contexto de polinˆomios Um conjunto de polinˆomios e linearmente dependente se existe uma combinacao linear dos polinˆomios que resulta no polinˆomio nulo onde nao todos os coeficientes sao zero Vamos considerar uma combinacao linear desses polinˆomios α2 x x2 β4 x 4x2 γx 2x2 0 Expandindo os termos α2 αx αx2 β4 βx β4x2 γx γ2x2 0 Agrupando os termos semelhantes 2α 4β α β γx α 4β 2γx2 0 Para que essa equacao seja verdadeira os coeficientes dos termos 1 x e x2 devem ser iguais a zero 2α 4β 0 α β γ 0 α 4β 2γ 0 Vamos resolver esse sistema 1 Da primeira equacao 2α 4β α 2β 2 Substituindo α 2β na segunda equacao 2β β γ 0 β γ 0 γ β 3 Substituindo α 2β e γ β na terceira equacao 2β 4β 2β 0 0 0 Isso mostra que o sistema tem infinitas solucoes nao triviais e portanto os polinˆomios sao linearmente dependentes Classificacao LD b 1 x 2x2 x x2 x2 Novamente vamos considerar uma combinacao linear desses polinˆomios α1 x 2x2 βx x2 γx2 0 Expandindo e agrupando termos semelhantes α α βx 2α β γx2 0 Para que essa equacao seja verdadeira os coeficientes dos termos 1 x e x2 devem ser iguais a zero α 0 α β 0 2α β γ 0 4 Resolvendo o sistema 1 Da primeira equacao α 0 2 Substituindo α 0 na segunda equacao β 0 3 Substituindo α 0 e β 0 na terceira equacao γ 0 A unica solucao possıvel e α β γ 0 o que significa que os polinˆomios sao linearmente independentes Classificacao LI c 1 3x x2 2 x x2 1 2x 3x2 2 x 3x2 Vamos verificar se esses quatro polinˆomios sao linearmente dependentes Consideramos a combinacao linear α1 3x x2 β2 x x2 γ1 2x 3x2 δ2 x 3x2 0 Expandindo e agrupando termos semelhantes α 2β γ 2δ 3α β 2γ δx α β 3γ 3δx2 0 Isso nos da o sistema de equacoes α 2β γ 2δ 0 3α β 2γ δ 0 α β 3γ 3δ 0 Este e um sistema linear com quatro variaveis A resolucao do sistema mostra que ele tem infinitas solucoes ou seja nao triviais indicando que os polinˆomios sao linearmente dependentes Classificacao LD d x2 x 1 x2 2x Vamos considerar a combinacao linear αx2 x 1 βx2 2x 0 Expandindo e agrupando termos semelhantes α βx2 α 2βx α 0 Isso resulta no sistema α β 0 α 2β 0 α 0 Resolvendo 1 Da terceira equacao α 0 2 Substituindo α 0 na primeira β 0 Como a unica solucao e a trivial os polinˆomios sao linearmente independentes Classificacao LI 49 Classifique os seguintes conjuntos de vetores em R4 como Linearmente Dependentes LD ou Linearmente Independentes LI Para isso utilizaremos o conceito de combinacao linear e sistema de equacoes associado 5 a Conjunto 2 1 0 0 1 0 2 1 1 2 0 1 Vamos analisar se esses vetores sao linearmente dependentes Para isso supomos que existe uma combinacao linear que resulta no vetor nulo α2 1 0 0 β1 0 2 1 γ1 2 0 1 0 0 0 0 Expandindo e agrupando os coeficientes dos vetores obtemos o seguinte sistema de equacoes 2α β γ 0 α 2γ 0 2β 0 β γ 0 Agora vamos resolver o sistema 1 A terceira equacao nos da β 0 2 Substituindo β 0 na quarta equacao obtemos γ 0 3 Substituindo γ 0 na segunda equacao obtemos α 0 4 Com α 0 β 0 e γ 0 todas as equacoes sao satisfeitas Como a unica solucao possıvel e a trivial α β γ 0 os vetores sao linearmente independentes Classificacao LI b Conjunto 0 1 0 1 1 1 1 1 1 2 0 1 1 2 1 0 Vamos verificar se esse conjunto de vetores e linearmente dependente Supomos a combinacao linear α0 1 0 1 β1 1 1 1 γ1 2 0 1 δ1 2 1 0 0 0 0 0 Expandindo e agrupando termos semelhantes β γ δ 0 α β 2γ 2δ 0 β δ 0 α β γ 0 Resolvendo o sistema 1 Da terceira equacao temos β δ 2 Substituindo β δ na primeira equacao obtemos δγδ 0 o que resulta em γ 0 3 Substituindo β δ e γ 0 na quarta equacao obtemos α δ 0 ou seja α δ 4 Substituindo α δ β δ e γ 0 na segunda equacao obtemos δ δ 0 o que implica δ 0 Logo α 0 e β 0 Como todos os coeficientes sao zero o sistema tem apenas a solucao trivial indicando que os vetores sao linearmente independentes Classificacao LI c Conjunto 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 2 1 2 Aqui temos quatro vetores em R4 Vamos verificar se eles sao linearmente dependentes α1 1 0 0 β0 1 0 0 γ0 0 1 1 δ1 2 1 2 0 0 0 0 Expandindo e agrupando α δ 0 α β 2δ 0 γ δ 0 γ 2δ 0 6 Resolvendo o sistema 1 Da primeira equação δ α 2 Da terceira equação δ γ 3 Substituindo δ α na segunda equação α β 2α 0 β 3α 4 Substituindo δ γ na quarta equação obtemos γ 2γ 0 o que não gera novas informações indicando que γ α Podemos ver que esse sistema admite múltiplas soluções não triviais portanto os vetores são linearmente dependentes Classificação LD d Conjunto 1 1 2 4 1 1 4 2 0 1 3 1 2 1 1 5 Finalmente analisaremos este conjunto de vetores Suponhamos a combinação linear α1 1 2 4 β1 1 4 2 γ0 1 3 1 δ2 1 1 5 0 0 0 0 Expandindo e agrupando α β 2δ 0 α β γ δ 0 2α 4β 3γ δ 0 4α 2β γ 5δ 0 Este sistema complexo mostra que não há solução trivial Portanto os vetores são linearmente dependentes Classificação LD 50 Enunciado Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 3 Verifique se o conjunto A B C é linearmente independente ou linearmente dependente onde A 1 2 1 0 1 2 B 3 2 4 2 1 0 C 1 0 5 1 0 3 Resolução Para verificar se o conjunto A B C é linearmente independente ou linearmente dependente devemos analisar se existe uma combinação linear não trivial das matrizes A B e C que resulte na matriz nula Considere a combinação linear das matrizes λ₁A λ₂B λ₃C 0 onde λ₁ λ₂ e λ₃ são escalares e 0 é a matriz nula 2 3 Expanda a combinação linear λ₁1 2 1 0 1 2 λ₂3 2 4 2 1 0 λ₃1 0 5 1 0 3 0 0 0 0 0 0 Multiplicando os escalares λ₁ 2λ₁ λ₁ 0 λ₁ 2λ₁ 3λ₂ 2λ₂ 4λ₂ 2λ₂ λ₂ 0 λ₃ 0 5λ₃ λ₃ 0 3λ₃ 0 0 0 0 0 0 Somando as matrizes λ₁ 3λ₂ λ₃ 2λ₁ 2λ₂ λ₁ 4λ₂ 5λ₃ 2λ₂ λ₃ λ₁ λ₂ 2λ₁ 3λ₃ 0 0 0 0 0 0 Isso gera um sistema de equações lineares λ₁ 3λ₂ λ₃ 0 2λ₁ 2λ₂ 0 λ₁ 4λ₂ 5λ₃ 0 2λ₂ λ₃ 0 λ₁ λ₂ 0 2λ₁ 3λ₃ 0 Vamos resolver este sistema Segunda Equação 2λ₁ 2λ₂ 0 λ₁ λ₂ Quinta Equação λ₁ λ₂ 0 λ₁ λ₂ Essa equação confirma a relação λ₁ λ₂ Quarta Equação 2λ₂ λ₃ 0 λ₃ 2λ₂ Primeira Equação λ₁ 3λ₂ λ₃ 0 λ₂ 3λ₂ 2λ₂ 0 4λ₂ 0 λ₂ 0 λ₁ 0 Última Equação 2λ₁ 3λ₃ 0 3λ₃ 0 λ₃ 0 Portanto λ₁ λ₂ λ₃ 0 Conclusão Como a única solução para o sistema de equações é λ₁ λ₂ λ₃ 0 concluímos que o conjunto A B C é linearmente independente LI 51 Vamos determinar o valor de k para que o conjunto 1 0 2 1 1 1 k 2 0 seja linearmente independente LI Passo 1 Entendendo o problema Para verificar se os vetores 1 0 2 1 1 1 e k 2 0 são linearmente independentes precisamos verificar se existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor nulo 0 0 0 α1 0 2 β1 1 1 γk 2 0 0 0 0 Expandindo essa combinação linear obtemos o seguinte sistema de equações α β γk 0 β 2γ 0 2α β 0 Passo 2 Resolvendo o sistema Agora vamos resolver esse sistema de equações passo a passo 1 Da segunda equação temos β 2γ 2 Substituindo β 2γ na terceira equação 2α 2γ 0 α γ 3 Agora substituindo α γ e β 2γ na primeira equação γ 2γ γk 0 γ1 2 k 0 γ3 k 0 Passo 3 Analisando a solução Para que os vetores sejam linearmente independentes a única solução para α β e γ deve ser a trivial ou seja α β γ 0 A equação γ3 k 0 nos dá duas possibilidades 1 γ 0 que levaria a α 0 e β 0 resultando na solução trivial 2 3 k 0 o que significa k 3 Se k 3 então a solução não é trivial pois a equação seria satisfeita independentemente dos valores de γ Isso significa que para que o conjunto seja linearmente independente k não pode ser igual a 3 Resultado Portanto para que o conjunto 102 111 k20 seja linearmente independente o valor de k deve ser qualquer número diferente de 3 Resposta k 3 λ₁ λ₂ 2λ₃ 0 λ₂ λ₃ 0 λ₁ kλ₃ 0 0 0 Vamos resolver este sistema 1 Segunda Equação λ₂ λ₃ 2 Primeira Equação λ₁ λ₃ 2λ₃ 0 λ₁ 3λ₃ 0 λ₁ 3λ₃ 3 Terceira Equação 3λ₃ kλ₃ 0 λ₃k 3 0 Para que o sistema tenha uma solução não trivial precisamos que k 3 0 ou seja k 3 Se k 3 então o sistema terá soluções não triviais λ₃ pode ser diferente de zero e as outras λ₁ e λ₂ podem ser determinadas em função de λ₃ Conclusão O conjunto de matrizes será linearmente dependente se k 3 pois é o valor que permite a existência de uma combinação linear não trivial das matrizes que resulta na matriz nula 53 Enunciado Mostrar que são linearmente dependentes os vetores v₁ v₂ e v₃ com v₁ e v₂ vetores arbitrários de um espaço vetorial V e v₃ 2v₁ v₂ Resolução Para mostrar que os vetores v₁ v₂ e v₃ são linearmente dependentes precisamos encontrar uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor nulo ou seja precisamos encontrar escalares λ₁ λ₂ e λ₃ que não sejam todos zero tais que λ₁v₁ λ₂v₂ λ₃v₃ 0 Sabemos que v₃ 2v₁ v₂ Substituindo v₃ na equação acima obtemos λ₁v₁ λ₂v₂ λ₃2v₁ v₂ 0 Distribuindo λ₃ dentro da equação λ₁v₁ λ₂v₂ 2λ₃v₁ λ₃v₂ 0 Agora podemos agrupar os termos semelhantes λ₁ 2λ₃v₁ λ₂ λ₃v₂ 0 Para que essa equação seja verdadeira os coeficientes de v₁ e v₂ devem ser zero Isso nos dá o sistema de equações λ₁ 2λ₃ 0 λ₂ λ₃ 0 Resolvendo este sistema 1 Da segunda equacao temos λ2 λ3 2 Substituindo λ2 λ3 na primeira equacao λ1 2λ3 0 λ1 2λ3 Portanto temos que λ1 2λ3 λ2 λ3 e λ3 e um escalar livre Podemos escolher λ3 diferente de zero o que significa que os vetores v1 v2 e v3 sao linearmente dependentes ja que encontramos uma combinacao linear nao trivial que resulta no vetor nulo 54 Mostrar que se u v w sao linearmente independentes entao u v u w v w tambem sao linearmente independentes Passo 1 Entendendo a Proposta Para provar que os vetores u v u w v w sao linearmente independentes devemos mostrar que a unica solucao para a combinacao linear αu v βu w γv w 0 e α β γ 0 Passo 2 Expandindo a Combinacao Linear Primeiro expandimos a expressao αu v βu w γv w αu αv βu βw γv γw Agrupando termos semelhantes α βu α γv β γw 0 Passo 3 Analisando a Equacao Para que essa equacao seja igual ao vetor nulo 0 os coeficientes de u v e w devem ser todos iguais a zero α β 0 α γ 0 β γ 0 Passo 4 Resolvendo o Sistema de Equacoes Vamos resolver esse sistema de equacoes 1 Da primeira equacao temos β α 2 Da segunda equacao temos γ α 3 Substituindo β α e γ α na terceira equacao obtemos α α 0 ou seja α 0 Assim β 0 e γ 0 Passo 5 Conclusao Como a unica solucao e a trivial α β γ 0 provamos que os vetores uv uw vw sao linearmente independentes 11 55 Sendo v₁ 12 R² determinar v₂ R² tal que o conjunto v₁ v₂ seja uma base de R² Passo 1 Entendendo o Problema Para que o conjunto v₁ v₂ seja uma base de R² é necessário que os vetores v₁ e v₂ sejam linearmente independentes Isso significa que não deve existir um escalar α tal que v₂ αv₁ Passo 2 Escolha de v₂ Vamos escolher um vetor v₂ ab que não seja múltiplo de v₁ 12 Para garantir que v₁ e v₂ sejam linearmente independentes o determinante da matriz formada por esses dois vetores como colunas deve ser diferente de zero A matriz formada por v₁ e v₂ é M 1 a 2 b O determinante dessa matriz é detM 1 b 2 a b 2a Para que v₁ e v₂ sejam linearmente independentes precisamos que b 2a 0 Passo 3 Determinação de v₂ Podemos escolher qualquer vetor v₂ ab tal que b 2a Por exemplo podemos escolher a 1 e b 0 Então v₂ 10 Passo 4 Verificação da Linearidade Com essa escolha temos M 1 1 2 0 O determinante é detM 1 0 2 1 2 0 Como o determinante é diferente de zero v₁ v₂ é um conjunto linearmente independente e portanto é uma base de R² Conclusão Portanto v₂ 10 é um vetor que junto com v₁ 12 forma uma base de R² Isso mostra que v₁ v₂ é uma base de R² e os vetores são linearmente independentes 56 Enunciado Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R² a 12 13 b 36 48 c 00 23 d 31 23 Essa equação nos dá duas possibilidades beta 0 ou k2 4 3 Se beta 0 então alpha 0 pela equação 1 o que nos dá a solução trivial 4 Se k2 4 então k pm 2 Nesse caso a equação 2 é satisfeita para valores de beta diferentes de zero o que implica uma solução não trivial ou seja os vetores são linearmente dependentes para k pm 2 Conclusão Portanto o conjunto P 1 k k 4 será uma base de mathbbR2 para todos os valores de k exceto k 2 e k 2 Esses valores tornam os vetores linearmente dependentes Resposta k eq pm 2 58 O conjunto P 2 1 3 2 é uma base de mathbbR2 Escrever o vetor genérico de mathbbR2 como combinação linear de P Passo 1 Entendendo o problema Para escrever um vetor genérico xy de mathbbR2 como uma combinação linear dos vetores P 2 1 3 2 precisamos encontrar escalares alpha e beta tais que x y alpha 2 1 beta 3 2 Expandindo essa equação x y 2alpha 3beta alpha 2beta Isso resulta em um sistema de equações left beginarrayl x 2 alpha 3 beta y alpha 2 beta endarray right Passo 2 Resolvendo o sistema de equações Para resolver o sistema vamos isolar alpha e beta em termos de x e y 1 Da segunda equação temos alpha 2 beta y 2 Substituindo alpha 2 beta y na primeira equação x 22 beta y 3 beta x 4 beta 2 y 3 beta x beta 2 y beta x 2 y 3 Agora substituindo beta x 2 y na equação alpha 2 beta y alpha 2x 2 y y alpha 2 x 4 y y Resolvendo o sistema 1 Da primeira equação lambda1 lambda2 2 Substituindo na segunda equação 2lambda2 3lambda2 0 Rightarrow lambda2 0 Rightarrow lambda1 0 Como a única solução é lambda1 lambda2 0 os vetores são linearmente independentes e portanto formam uma base do mathbbR2 b 3 6 4 8 Vamos verificar a independência linear lambda1 3 6 lambda2 4 8 0 0 Isso nos dá left beginarrayl 3 lambda1 4 lambda2 0 6 lambda1 8 lambda2 0 endarray right Resolvendo o sistema 1 Multiplicando a primeira equação por 2 6 lambda1 8 lambda2 0 2 Comparando com a segunda equação 6 lambda1 8 lambda2 0 Somando as equações obtemos 12lambda1 0 o que implica que lambda1 0 Substituindo lambda10 na primeira equação obtemos lambda2 0 Portanto os vetores são linearmente dependentes e não formam uma base c 0 0 2 3 Um dos vetores é o vetor nulo 00 e sabemos que qualquer conjunto que inclua o vetor nulo é automaticamente linearmente dependente conforme discutido na teoria ver Seção 241 sobre subespaços vetoriais Portanto este conjunto não forma uma base d 3 1 2 3 Vamos verificar a independência linear lambda13 1 lambda223 0 0 Isso nos dá left beginarrayl 3 lambda1 2 lambda2 0 lambda1 3 lambda2 0 endarray right Resolvendo o sistema 1 Da primeira equação lambda1 frac23 lambda2 2 Substituindo na segunda equação leftfrac23 lambda2 right 3 lambda2 0 Rightarrow frac23 lambda2 3 lambda2 0 Rightarrow lambda2 0 Rightarrow lambda1 0 Como a única solução é lambda1 lambda2 0 os vetores são linearmente independentes e formam uma base do mathbbR2 57 Para que valores de k o conjunto P 1 k k 4 é uma base de mathbbR2 Passo 1 Entendendo o problema Para que P seja uma base de mathbbR2 os vetores 1 k e k 4 devem ser linearmente independentes Isso significa que a única combinação linear que resulta no vetor nulo deve ser a trivial Vamos começar verificando se existe alguma combinação linear desses vetores que resulte no vetor nulo 0 0 alpha1 k betak 4 0 0 Expandindo a expressão alpha beta k alpha k beta 4 0 0 Passo 2 Formando o sistema de equações A expressão anterior nos dá o seguinte sistema de equações left beginarrayl alpha beta k 0 alpha k beta 4 0 endarray right Para que os vetores sejam linearmente independentes a única solução para esse sistema deve ser alpha 0 e beta 0 Passo 3 Analisando o sistema Vamos resolver o sistema para determinar para quais valores de k a solução trivial é a única 1 Da equação 1 temos alpha beta k 2 Substituindo essa expressão na equação 2 beta k2 4 beta 0 Podemos fatorar betak2 4 0 α 2x 3y Portanto os valores de α e β em termos de x e y sao α 2x 3y β x 2y Passo 3 Expressando o vetor generico Agora podemos expressar o vetor generico x y de R2 como uma combinacao linear dos vetores em P x y 2x 3y2 1 x 2y3 2 Isso significa que qualquer vetor em R2 pode ser representado como uma combinacao linear dos vetores 2 1 e 3 2 confirmando que P e de fato uma base de R2 59 Enunciado Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do R3 a 1 1 1 2 1 0 3 2 0 b 1 0 1 0 1 2 2 1 4 c 2 1 1 1 0 1 0 0 1 d 1 2 3 4 1 2 e 0 1 2 2 1 3 1 0 1 4 1 2 Resolucao Para determinar quais dos conjuntos de vetores formam uma base do R3 precisamos verificar se os vetores sao linearmente independentes e se ha exatamente trˆes vetores no conjunto pois uma base do R3 deve consistir de exatamente trˆes vetores linearmente independentes Vamos analisar cada conjunto separadamente a 1 1 1 2 1 0 3 2 0 Para verificar se os vetores sao linearmente independentes formamos a matriz cujas colunas sao os vetores do conjunto e calculamos o determinante Matriz 1 2 3 1 1 2 1 0 0 O determinante e det 1 1 0 2 0 1 2 0 2 1 1 2 2 1 3 det 0 4 7 4 7 11 Como o determinante e diferente de zero os vetores sao linearmente independentes e formam uma base do R3 b 1 0 1 0 1 2 2 1 4 Formamos a matriz e calculamos o determinante Matriz 1 0 2 0 1 1 1 2 4 O determinante e 16 det 1 1 4 2 1 0 0 4 1 1 2 0 2 1 1 det 1 4 2 2 1 2 2 0 Como o determinante e zero os vetores sao linearmente dependentes e nao formam uma base do R3 c 2 1 1 1 0 1 0 0 1 Formamos a matriz e calculamos o determinante Matriz 2 1 0 1 0 0 1 1 1 O determinante e det 2 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 det 0 1 1 Como o determinante e diferente de zero os vetores sao linearmente independentes e formam uma base do R3 d 1 2 3 4 1 2 Aqui o conjunto tem apenas dois vetores o que significa que ele nao pode formar uma base do R3 pois uma base do R3 deve ter exatamente trˆes vetores e 0 1 2 2 1 3 1 0 1 4 1 2 Aqui o conjunto tem quatro vetores Como discutido na teoria ver Secao 24 sobre Espacos Vetoriais e Bases uma base do R3 deve ter exatamente trˆes vetores Portanto este conjunto tambem nao pode ser uma base do R3 60 Enunciado Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base de P2 espaco dos polinˆomios de grau menor ou igual a 2 a 2t2 t 4 t2 3t 1 b 1 t t2 c 2 1 t 1 t2 d 1 t t2 t t2 t2 e 1 t t t2 1 2t t2 Resolucao Para determinar quais dos conjuntos formam uma base de P2 precisamos garantir que os polinˆomios sejam linearmente independentes e que o conjunto tenha exatamente trˆes elementos ja que P2 e um espaco de dimensao 3 Vamos analisar cada caso separadamente a 2t2 t 4 t2 3t 1 Este conjunto contem apenas dois polinˆomios enquanto P2 tem dimensao 3 Portanto este conjunto nao pode formar uma base para P2 b 1 t t2 Este conjunto contem exatamente trˆes polinˆomios e sabemos pela teoria que os polinˆomios 1 t e t2 sao linearmente independentes e formam uma base padrao de P2 Portanto este conjunto forma uma base para P2 17 c 2 1 t 1 t2 Para verificar a linearidade consideramos a combinacao linear λ1 2 λ2 1 t λ3 1 t2 0 Expanda e organize por potˆencias de t 2λ1 λ2 λ3 λ2t λ3t2 0 Isso nos da o sistema de equacoes 2λ1 λ2 λ3 0 λ2 0 λ3 0 Resolvendo obtemos λ2 0 e λ3 0 o que implica 2λ1 0 Portanto λ1 0 Como a unica solucao e λ1 λ2 λ3 0 os polinˆomios sao linearmente independentes e o conjunto forma uma base para P2 d 1 t t2 t t2 t2 Para verificar a linearidade consideramos a combinacao linear λ1 1 t t2 λ2 t t2 λ3 t2 0 Expandindo e organizando λ1 λ1 λ2t λ1 λ2 λ3t2 0 Isso nos da o sistema de equacoes λ1 0 λ1 λ2 0 λ1 λ2 λ3 0 Resolvendo o sistema obtemos λ1 0 λ2 0 e λ3 0 Como a unica solucao e trivial os polinˆomios sao linearmente independentes e o conjunto forma uma base para P2 e 1 t t t2 1 2t t2 Consideramos a combinacao linear λ1 1 t λ2 t t2 λ3 1 2t t2 0 Expandindo e organizando λ1 λ3 λ1 λ2 2λ3t λ2 λ3t2 0 Isso nos da o sistema de equacoes λ1 λ3 0 λ1 λ2 2λ3 0 λ2 λ3 0 Resolvendo o sistema obtemos λ1 0 λ2 0 e λ3 0 Como a unica solucao e trivial os polinˆomios sao linearmente independentes e o conjunto forma uma base para P2 18 68 Enunciado Determinar o vetor coordenada de v 6 2 em relação às seguintes bases C 3 0 0 2 B 1 0 0 1 D 1 2 2 1 e E 0 1 1 0 Resolução Para encontrar o vetor coordenada de v 6 2 em relação a uma base B precisamos expressar v como uma combinação linear dos vetores da base Especificamente queremos encontrar os escalares c1 e c2 tais que v c1 b1 c2 b2 onde b1 e b2 são os vetores da base B a Base C 3 0 0 2 Precisamos encontrar c1 e c2 tais que 6 2 c1 3 0 c2 0 2 Isso nos dá o sistema de equações 3 c1 6 2 c2 2 Resolvendo c1 63 2 c2 22 1 Portanto o vetor coordenada de v em relação à base C é 2 1 b Base B 1 0 0 1 Aqui a base B é a base canônica Portanto v já está nas coordenadas dessa base 6 2 61 0 20 1 O vetor coordenada de v em relação à base B é 6 2 c Base D 1 2 2 1 Precisamos encontrar c1 e c2 tais que 6 2 c1 1 2 c2 2 1 Isso nos dá o sistema de equações c1 2 c2 6 2 c1 c2 2 Resolvendo o sistema multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos a segunda 2 c1 4 c2 2 c1 c2 12 2 3 c2 10 c2 103 c1 2 1032 23 Portanto o vetor coordenada de v em relação à base D é 23 103 d Base E 0 1 1 0 Esta base é apenas uma permutação da base canônica Portanto 6 2 20 1 61 0 O vetor coordenada de v em relação à base E é 2 6 69 Enunciado No espaço vetorial R3 consideremos a seguinte base B 1 0 0 0 1 0 1 1 1 Determinar o vetor coordenada de v R3 em relação à base B se a v 2 3 4 b v 3 5 6 c v 1 1 1 Resolução Para determinar o vetor coordenada de v em relação à base B precisamos expressar v como uma combinação linear dos vetores da base B v c1 b1 c2 b2 c3 b3 onde b1 1 0 0 b2 0 1 0 e b3 1 1 1 Isso nos dá o sistema de equações para determinar c1 c2 e c3 c1 c3 c2 c3 c3 v Resolvemos esse sistema para cada um dos vetores v dados a v 2 3 4 Comparando com a expressão Vamos considerar a combinacao linear dos vetores do conjunto e igualala ao vetor nulo λ11 1 0 0 λ20 0 1 1 λ31 0 0 3 λ40 0 0 5 0 0 0 0 Expandindo a combinacao linear temos λ1 λ3 λ1 λ2 λ2 3λ3 5λ4 0 0 0 0 Isso nos da o seguinte sistema de equacoes λ1 λ3 0 λ1 0 λ2 0 λ2 3λ3 5λ4 0 Resolvendo o sistema 1 Da segunda equacao temos λ1 0 2 Substituindo λ1 0 na primeira equacao obtemos λ3 0 3 Da terceira equacao temos λ2 0 4 Substituindo λ2 0 e λ3 0 na quarta equacao obtemos 5λ4 0 o que implica λ4 0 Como a unica solucao para esse sistema e λ1 λ2 λ3 λ4 0 os vetores sao linearmente indepen dentes Como o conjunto contem quatro vetores linearmente independentes em R4 ele forma uma base para R4 Dessa forma o conjunto 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 3 0 0 0 5 e uma base de R4 63 Enunciado O conjunto A t3 2t2 t 3 3t2 4t 1 e base de P3 Justificar Resolucao Para determinar se o conjunto A t3 2t2 t 3 3t2 4t 1 e uma base de P3 o espaco dos polinˆomios de grau ate 3 precisamos verificar duas condicoes 1 O conjunto precisa ser linearmente independente 2 O conjunto precisa gerar todo o espaco P3 que e de dimensao 4 Primeiro vamos observar que P3 tem dimensao 4 ou seja uma base de P3 deve conter exatamente 4 polinˆomios No entanto o conjunto A contem apenas 3 polinˆomios Isso ja e suficiente para concluir que o conjunto A nao pode ser uma base de P3 pois para ser uma base o conjunto deve ter o mesmo numero de elementos que a dimensao do espaco vetorial Alem disso podemos verificar se os polinˆomios de A sao linearmente independentes mas mesmo que sejam o conjunto ainda nao podera gerar P3 por completo ja que falta um polinˆomio para completar a base Para verificar a independˆencia linear consideramos a combinacao linear dos polinˆomios λ1t3 λ22t2 t 3 λ33t2 4t 1 0 Expanda e organize por potˆencias de t λ1t3 2λ2 3λ3t2 λ2 4λ3t 3λ2 λ3 0 Para que essa equacao seja verdadeira para todos os valores de t os coeficientes de cada potˆencia de t devem ser iguais a zero o que nos da o seguinte sistema de equacoes 20 λ1 0 2λ2 3λ3 0 λ2 4λ3 0 3λ2 λ3 0 Resolvendo o sistema encontramos que a unica solucao e λ1 λ2 λ3 0 o que significa que os polinˆomios sao linearmente independentes No entanto como mencionado anteriormente o fato de o conjunto A ter apenas 3 polinˆomios impede que ele seja uma base de P3 que requer 4 polinˆomios para formar uma base Portanto o conjunto A t3 2t2 t 3 3t2 4t 1 nao e uma base de P3 64 Enunciado Mostrar que os vetores v1 1 1 1 v2 1 2 3 v3 3 0 2 e v4 2 1 1 geram R3 e encontrar uma base dentre os vetores v1 v2 v3 e v4 Resolucao Para mostrar que os vetores v1 v2 v3 e v4 geram R3 precisamos verificar se eles podem formar com binacoes lineares que resultam em qualquer vetor de R3 Em outras palavras precisamos verificar se eles sao linearmente independentes e se sao suficientes para gerar o espaco R3 Primeiro formamos a combinacao linear dos vetores λ1v1 λ2v2 λ3v3 λ4v4 0 Explicando isso temos λ11 1 1 λ21 2 3 λ33 0 2 λ42 1 1 0 0 0 Expandindo e separando por componentes obtemos o sistema de equacoes λ1 λ2 3λ3 2λ4 0 λ1 2λ2 0λ3 λ4 0 λ1 3λ2 2λ3 λ4 0 Esse sistema pode ser representado pela matriz dos coeficientes 1 1 3 2 1 2 0 1 1 3 2 1 Para verificar se os vetores sao linearmente independentes precisamos determinar o posto desta matriz Se o posto for 3 entao trˆes desses vetores formam uma base para R3 Verificacao da Independˆencia Linear e Calculo do Posto Para verificar se os vetores sao linearmente independentes precisamos determinar o posto desta matriz Vamos escalonar a matriz dos coeficientes utilizando operacoes elementares de linha para determinar o seu posto 1 Subtraımos a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar o primeiro elemento das linhas 2 e 3 1 1 3 2 0 1 3 3 0 2 1 1 21 2 Subtraımos o dobro da segunda linha da terceira para eliminar o segundo elemento da terceira linha 1 1 3 2 0 1 3 3 0 0 5 5 Apos o escalonamento vemos que ha 3 linhas nao nulas indicando que o posto da matriz e 3 Como o posto e 3 isso significa que trˆes desses vetores sao linearmente independentes e formam uma base para R3 Portanto podemos concluir que o conjunto v1 v2 v3 forma uma base para R3 enquanto v4 pode ser escrito como uma combinacao linear dos outros trˆes vetores 65 Enunciado Mostrar que os polinˆomios p1 1 2x 3x2 p2 1 3x 2x2 e p3 2 x 5x2 formam uma base do espaco dos polinˆomios de grau 2 e calcular o vetorcoordenada de p 2 9x 13x2 na base β p1 p2 p3 Resolucao Para mostrar que os polinˆomios p1 p2 e p3 formam uma base do espaco dos polinˆomios de grau 2 precisamos verificar se eles sao linearmente independentes e se geram todo o espaco dos polinˆomios de grau 2 que tem dimensao 3 Primeiro vamos verificar a independˆencia linear Consideramos a combinacao linear λ1p1 λ2p2 λ3p3 0 Substituindo os polinˆomios λ11 2x 3x2 λ21 3x 2x2 λ32 x 5x2 0 Expandindo e agrupando os termos semelhantes λ1 λ2 2λ3 2λ1 3λ2 λ3x 3λ1 2λ2 5λ3x2 0 Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de x os coeficientes de cada potˆencia de x devem ser iguais a zero o que nos da o sistema de equacoes λ1 λ2 2λ3 0 2λ1 3λ2 λ3 0 3λ1 2λ2 5λ3 0 Resolvendo o sistema encontramos que a unica solucao e λ1 λ2 λ3 0 o que significa que os polinˆomios sao linearmente independentes Como p1 p2 e p3 sao linearmente independentes e o conjunto contem trˆes polinˆomios ele forma uma base do espaco dos polinˆomios de grau 2 Agora para calcular o vetorcoordenada de p 2 9x 13x2 na base β p1 p2 p3 precisamos encontrar os escalares c1 c2 e c3 tais que p c1p1 c2p2 c3p3 Substituindo os polinˆomios 2 9x 13x2 c11 2x 3x2 c21 3x 2x2 c32 x 5x2 Expandindo e agrupando 2 9x 13x2 c1 c2 2c3 2c1 3c2 c3x 3c1 2c2 5c3x2 22 Comparando os coeficientes de 1 x e x2 obtemos o sistema c1 c2 2c3 2 2c1 3c2 c3 9 3c1 2c2 5c3 13 Resolvendo esse sistema encontramos os valores de c1 c2 e c3 c1 1 c2 5 c3 4 Portanto o vetorcoordenada de p 2 9x 13x2 na base β p1 p2 p3 e 1 5 4 66 Enunciado Determinar uma base do subespaco gerado pelos vetores v1 1 1 0 0 v2 2 2 2 1 v3 1 1 2 1 e v4 0 0 4 2 Resolucao Vamos verificar se esses vetores sao linearmente independentes e identificar uma base para o subespaco gerado por eles 1 v1 1 1 0 0 Este vetor e o primeiro elemento de nossa base 2 Vamos agora considerar v2 2 2 2 1 Verificamos se v2 e linearmente independente de v1 Nao ha um escalar λ tal que λv1 v2 logo v2 e independente de v1 e adicionamos v2 a base 3 Verifiquemos agora v3 1 1 2 1 Podemos expressar v3 como uma combinacao linear de v1 e v2 Tentamos encontrar coeficientes α1 e α2 tais que α1v1 α2v2 v3 α11 1 0 0 α22 2 2 1 1 1 2 1 Isso resulta no sistema de equacoes α1 2α2 1 α1 2α2 1 2α2 2 α2 1 Esse sistema e inconsistente para algumas das equacoes indicando que v3 nao e linearmente independente em relacao a v1 e v2 4 Finalmente consideramos v4 0 0 4 2 Tentamos novamente expressar v4 como uma combinacao linear de v1 e v2 mas verificamos que v4 nao e independente de v1 e v2 pois ele pode ser obtido como uma combinacao dos outros vetores Portanto a base do subespaco gerado pelos vetores v1 v2 v3 e v4 e Base v1 v2 1 1 0 0 2 2 2 1 A dimensao do subespaco e 2 23 61 Enunciado Mostrar que o conjunto 2 3 1 0 1 1 0 2 3 2 1 1 3 7 2 5 é uma base de M22 Resolução Para mostrar que esse conjunto é uma base de M22 precisamos verificar se ele é composto por quatro matrizes linearmente independentes já que o espaço M22 das matrizes 2 2 é um espaço vetorial de dimensão 4 Primeiro formamos a combinação linear das matrizes do conjunto e a igualamos à matriz nula λ1 2 3 1 0 λ2 1 1 0 2 λ3 3 2 1 1 λ4 3 7 2 5 0 0 0 0 Isso nos dá um sistema de equações lineares considerando cada entrada da matriz 2λ1 λ2 3λ3 3λ4 0 3λ1 λ2 2λ3 7λ4 0 λ1 0λ2 λ3 2λ4 0 0λ1 2λ2 λ3 5λ4 0 Escrevemos o sistema na forma matricial 2 1 3 3 3 1 2 7 1 0 1 2 0 2 1 5 λ1 λ2 λ3 λ4 0 0 0 0 Para que as matrizes sejam linearmente independentes a única solução desse sistema deve ser λ1 λ2 λ3 λ4 0 Para verificar isso podemos calcular o determinante da matriz dos coeficientes Se o determinante for diferente de zero então as matrizes são linearmente independentes Calculando o determinante da matriz det 2 1 3 3 3 1 2 7 1 0 1 2 0 2 1 5 Após calcular encontramos que o determinante é 42 Como o determinante é diferente de zero isso confirma que as matrizes são linearmente independentes Como temos quatro matrizes linearmente independentes em um espaço de dimensão 4 concluímos que o conjunto de matrizes dado forma uma base de M22 67 Enunciado Seja VR3 e o conjunto B 0 1 1 1 1 0 1 2 1 R3 a Mostrar que B não é uma base de R3 Resolução Para verificar se B é uma base de R3 devemos verificar se os vetores em B são linearmente independentes e se o conjunto possui três vetores já que a dimensão de R3 é 3 Primeiro formamos a matriz com os vetores de B como colunas Matriz 0 1 1 1 1 2 1 0 1 Para verificar a independência linear calculamos o determinante dessa matriz det 011 02 111 12 111 12 det 0 1 1 0 Como o determinante é zero os vetores são linearmente dependentes Logo não podem formar base de R3 b Determinar uma base de R3 que possua dois elementos de B Para formar uma base de R3 que contenha dois elementos de B devemos encontrar um vetor que seja linearmente independente dos dois vetores escolhidos Vamos escolher os vetores v1 011 e v2 110 Agora precisamos encontrar um vetor v3 que seja linearmente independente de v1 e v2 O vetor v3 100 é uma escolha natural pois ele não é uma combinação linear de v1 e v2 Portanto uma base para R3 que contém dois elementos de B é 011 110 100 c1 c3 2 c2 c3 3 c3 4 Substituindo c3 4 nas outras equações c1 4 2 c1 2 c2 4 3 c2 1 Portanto o vetor coordenada de v 2 3 4 em relação à base B é 2 1 4 b v 3 5 6 Comparando com a expressão c1 c3 3 c2 c3 5 c3 6 Substituindo c3 6 nas outras equações c1 6 3 c1 3 c2 6 5 c2 11 Portanto o vetor coordenada de v 3 5 6 em relação à base B é 3 11 6 c v 1 1 1 Comparando com a expressão c1 c3 1 c2 c3 1 c3 1 Substituindo c3 1 nas outras equações c1 1 1 c1 0 c2 1 1 c2 0 Portanto o vetor coordenada de v 1 1 1 em relação à base B é 0 0 1 70 Enunciado Seja A 3 2x x2 uma base de P2 Determinar o vetorcoordenada de v 6 4x 3x2 em relação à base A Resolução Para determinar o vetorcoordenada de v 6 4x 3x2 em relação à base A 3 2x x2 precisamos expressar v como uma combinação linear dos elementos da base A Ou seja precisamos encontrar os escalares c1 c2 e c3 tais que v c1 3 c2 2x c3 x2 Substituindo v 6 4x 3x2 c1 3 c2 2x c3 x2 Expanda a combinação linear 6 4x 3x2 3c1 2c2x c3x2 Comparando os coeficientes de 1 x e x2 obtemos o seguinte sistema de equacoes 3c1 6 2c2 4 c3 3 Resolvendo o sistema c1 6 3 2 c2 4 2 2 c3 3 Portanto o vetorcoordenada de v 6 4x 3x2 em relacao a base A e 2 2 3 71 Enunciado Sejam os vetores v1 1 0 1 v2 1 2 1 e v3 0 1 0 do R3 a Mostrar que B v1 v2 v3 e uma base do R3 b Escrever e1 1 0 0 e2 0 1 0 e3 0 0 1 como combinacao linear dos vetores da base B Resolucao a Para mostrar que B v1 v2 v3 e uma base do R3 precisamos verificar se os vetores v1 v2 e v3 sao linearmente independentes e se geram todo o espaco R3 Calculando o determinante da matriz cujas colunas sao v1 v2 e v3 Matriz 1 1 0 0 2 1 1 1 0 O determinante dessa matriz e det 1 2 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 2 1 1 1 2 Como o determinante e diferente de zero det 2 os vetores sao linearmente independentes e formam uma base para R3 b Vamos agora escrever e1 1 0 0 e2 0 1 0 e e3 0 0 1 como combinacoes lineares dos vetores da base B Para e1 1 0 0 queremos encontrar α1 α2 α3 tais que e1 α1v1 α2v2 α3v3 Substituindo os vetores 1 0 0 α11 0 1 α21 2 1 α30 1 0 Expandindo 1 0 0 α1 α2 2α2 α3 α1 α2 Resolvendo o sistema de equacoes α1 α2 1 2α2 α3 0 α1 α2 0 Temos α1 α2 e α2 1 2 α3 1 Portanto 27 e1 1 2v1 1 2v2 v3 Para e2 0 1 0 queremos encontrar β1 β2 β3 tais que e2 β1v1 β2v2 β3v3 Substituindo os vetores 0 1 0 β11 0 1 β21 2 1 β30 1 0 Expandindo 0 1 0 β1 β2 2β2 β3 β1 β2 Resolvendo o sistema de equacoes β1 β2 0 2β2 β3 1 β1 β2 0 Temos β1 0 β2 0 e β3 1 Portanto e2 v3 Para e3 0 0 1 queremos encontrar γ1 γ2 γ3 tais que e3 γ1v1 γ2v2 γ3v3 Substituindo os vetores 0 0 1 γ11 0 1 γ21 2 1 γ30 1 0 Expandindo 0 0 1 γ1 γ2 2γ2 γ3 γ1 γ2 Resolvendo o sistema de equacoes γ1 γ2 0 2γ2 γ3 0 γ1 γ2 1 Temos γ1 1 2 γ2 1 2 e γ3 1 Portanto e3 1 2v1 1 2v2 v3 72 Enunciado Determinar a dimensao e uma base para cada um dos seguintes espacos vetoriais a x y z R3 y 3x b x y z R3 y 5x e z 0 c x y R2 x y 0 d x y z R3 x 3y e z y 28 e x y z R3 2x y 3z 0 f x y z R3 z 0 Resolucao a x y z R3 y 3x Aqui a condicao y 3x relaciona y e x deixando z livre Podemos expressar o vetor generico como x 3x z x1 3 0 z0 0 1 Portanto uma base para este espaco e Base 1 3 0 0 0 1 A dimensao do espaco e 2 b x y z R3 y 5x e z 0 Aqui temos duas restricoes que nos dao x 5x 0 x1 5 0 Portanto uma base para este espaco e Base 1 5 0 A dimensao do espaco e 1 c x y R2 x y 0 A condicao x y 0 implica y x O vetor generico e x x x1 1 Portanto uma base para este espaco e Base 1 1 A dimensao do espaco e 1 d x y z R3 x 3y e z y Aqui temos as relacoes x 3y e z y O vetor generico e 3y y y y3 1 1 Portanto uma base para este espaco e Base 3 1 1 A dimensao do espaco e 1 e x y z R3 2x y 3z 0 A equacao 2x y 3z 0 pode ser rearranjada para expressar y em termos de x e z y 2x 3z O vetor generico e x 2x 3z z x1 2 0 z0 3 1 Portanto uma base para este espaco e Base 1 2 0 0 3 1 A dimensao do espaco e 2 f x y z R3 z 0 29 A condição z 0 deixa x e y livres O vetor genérico é x y 0 x1 0 0 y0 1 0 Portanto uma base para este espaço é Base 1 0 0 0 1 0 A dimensão do espaço é 2 73 Enunciado Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de M2 2 a a b c d onde b a c e d c b a b c d onde b a c c a b c d onde c a 3b e d 0 d a b c d onde a d b c Resolução a Para a b c d onde b a c e d c Substituindo as condições dadas a matriz genérica fica a ac c c a1 1 0 0 c0 1 1 1 Portanto uma base para esse subespaço é Base 1 1 0 0 0 1 1 1 A dimensão do subespaço é 2 b Para a b c d onde b a c Substituindo a condição dada a matriz genérica fica a ac c d a1 1 0 0 c0 1 1 0 d0 0 0 1 Portanto uma base para esse subespaço é Base 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 A dimensão do subespaço é 3 c Para a b c d onde c a 3b e d 0 Substituindo as condições dadas a matriz genérica fica a b a 3b 0 a1 0 1 0 b0 1 3 0 Portanto uma base para esse subespaço é Base 1 0 1 0 0 1 3 0 A dimensão do subespaço é 2 d Para a b c d onde a d b c Substituindo a condição dada temos d b c a e a matriz genérica fica a b c b c a a1 0 0 1 b0 1 0 1 c0 0 1 1 Portanto uma base para esse subespaço é Base 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 A dimensão do subespaço é 3 74 Enunciado Seja o subespaço S de M2 2 S a b c d c a d e d a a Qual a dimensão de S b O conjunto 1 1 0 1 2 1 3 4 é uma base de S Justificar Resolução a Para determinar a dimensão de S precisamos encontrar uma forma geral para as matrizes pertencentes a S usando as condições c a d e d a Substituindo d a na equação c a d obtemos c a a 2a Portanto a forma geral das matrizes em S é a b 2a a a1 0 2 1 b0 1 0 0 Podemos concluir que a base de S é formada pelos vetores Base 1 0 2 1 0 1 0 0 A dimensão de S é 2 b Para verificar se o conjunto 1 1 0 1 2 1 3 4 é uma base de S precisamos verificar se essas matrizes pertencem a S e se são linearmente independentes Primeiro verifiquemos se as matrizes pertencem a S Para a primeira matriz 1 1 0 1 c 0 e a d 1 1 2 então c a d portanto essa matriz não pertence a S Para a segunda matriz 2 1 3 4 c 3 e a d 2 4 6 então c a d portanto essa matriz também não pertence a S Como nenhuma das matrizes pertence ao subespaço S o conjunto 1 1 0 1 2 1 3 4 não pode ser uma base de S 75 Enunciado Encontrar uma base e a dimensão do espaçosolução dos sistemas a x 2y 2z t 0 2x 4y z t 0 x 2y 3z 2t 0 Resolução Vamos resolver o sistema diretamente 1 Da primeira equação x 2y 2z t 2 Substituímos na segunda equação 22y 2z t 4y z t 0 4y 4z 2t 4y z t 0 5z 3t 0 z 35 t 3 Substituímos z na primeira equação x 2y 2 35 t t 2y 65 t t 2y 15 t Portanto o vetor solução é v y 2 1 0 0 t 15 0 35 1 A base é 2 1 0 0 15 0 35 1 A dimensão é 2 b x 2y z 3t 0 2x y z t 0 4x 3y z 5t 0 1 Da primeira equação x 2y z 3t 2 Substituindo na segunda 22y z 3t y z t 0 4y 2z 6t y z t 0 5y 3z 7t 0 Logo y 35 z 75 t 3 Substituindo na primeira x 235 z 75 t z 3t 65 z 145 t z 3t 15 z 15 t Portanto o vetor solução é v z 15 35 1 0 t 15 75 0 1 A base é 15 35 1 0 15 75 0 1 32 A dimensão é 2 c x 2y z 0 2x y 3z 0 x 3y 4z 0 1 Da primeira equação x 2y z 2 Substituindo na segunda 22y z y 3z 0 4y 2z y 3z 0 5y 5z 0 y z 3 Substituindo na primeira x 2z z z Portanto o vetor solução é v z 1 1 1 A base é 1 1 1 A dimensão é 1 d 2x 2y 3z 0 x y z 0 3x 2y z 0 1 Da segunda equação x y z 2 Substituindo na primeira 2y z 2y 3z 0 2y 2z 2y 3z 0 4y z 0 z 4y 3 Substituindo na segunda x y 4y 5y Portanto o vetor solução é v y 5 1 4 A base é 5 1 4 A dimensão é 1 e x y 2z t 0 2x 2y 4z 2t 0 1 A segunda equação é equivalente à primeira A primeira equação pode ser escrita como x y 2z t Portanto o vetor solução é v y 1 1 0 0 z 2 0 1 0 t 1 0 0 1 33 A base e 1 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 A dimensao e 3 34