Atividade de Introdução a Álgebra Linear

Introdução à Álgebra Linear Lista1Parte 01EST Prof Martinho da Costa Araujo Alunoa 07072025 1 Quais dos conjuntos V com as operações indicadas de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre ℝ Caso V não seja um espaço vetorial sobre ℝ dê um contraexemplo das propriedades que não são satisfeitas a V ℝ² xy xy ℝ com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas poru xyv ab ℝ² e α ℝ uv xyab xa1yb1 αu αxy αx αy b No conjunto V 0 definimos as operações de adição e multiplicação por escalar por xy V e λ ℝ xy xy λx xλ c Seja V xyzw ℝ⁴ y x z w² com as operações usuais de ℝ⁴ 2 Quais dos subconjuntos do espaço vetorial ℝ³ com as operações usuais são subespaços vetoriais de ℝ³ a W₁ xyz ℝ³ xy 1 b W₂ xyz ℝ³ y 2z c W₃ xyz ℝ³ x² y² z² d W₄ xyz ℝ³ z 2xy 3 Seja V M₂ℝ o espaço vetorial das matrizes quadradas 22 com entradas reais e operações usuais E W₁ a b b a M₂ℝ ab ℝ e W₂ c d d c M₂ℝ cd ℝ subconjuntos de V Mostre que W₁e W₂ são subespaços de V M₂ℝ Introdução à Álgebra Linear Lista1Parte 01EST Prof Martinho da Costa Araujo Alunoa 07072025 1 Quais dos conjuntos V com as operações indicadas de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre ℝ Caso V não seja um espaço vetorial sobre ℝ dê um contraexemplo das propriedades que não são satisfeitas a V ℝ² xy xy ℝ com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas poru xyv ab ℝ² e α ℝ uv xyab xa1yb1 αu αxy αx αy Vejamos se valem as propriedades i Sejam x₁y₁ x₂y₂ V então x₁y₁x₂y₂ x₁x₂1 y₁y₂1 x₂x₁1 y₂y₁1 x₂y₂x₁y₁ logo vale a comutatividade ii Dados x₁y₁ x₂y₂ x₃y₃ V vejamos x₁y₁x₂y₂ x₃y₃ x₁x₂1 y₁y₂1x₃y₃ x₁x₂1x₃1 y₁y₂1y₃1 x₁x₂x₃11 y₁y₂y₃11 x₁y₁x₂x₃1 y₂y₃1 x₁y₁x₂y₂x₃y₃ VALE A ASSOCIATIVIDADE iii Tomemos em V o elemento θ 11 Para todo xy V temos xyθ xy11 x11 y11 xy Ou seja θ 11 é o ELEMENTO NEUTRO ADITIVO iv Seja xy V tomemos ab V tq xy ab 0 Assim xy 0b 11 xa1 yb1 11 xa1 1 e yb1 1 a 2x e b 2y Portanto existe o simétrico aditivo v Sejam xy 0b V e α R temos α xy 0b α xa1 yb1 α x α a α α y α b α Por outro lado αxy α0b α x α y α a α b α x α a 1 α y α b 1 Logo a igualdade vale apenas para α1 E portanto V com estas operações não pode ser espaço vetorial V NÃO É ESPAÇO VETORIAL Para ver sejam x₁ x₂ V e λ2 R Observe que 2x₁x₂ x₁x₂² x₁² x₂² 2x₁ x₂ 2x₁ 2x₂ Ou seja o produto por escalar não é distributivo logo V não é ESPAÇO VETORIAL c Seja V xyzw R⁴ y x z w² com as operações usuais de R⁴ Observe que se xyzw V xyzw xxw²w Primeiro veja que 0000 é o vetor nulo de V pois x₁x w² w 0000 x x w² w Apenas observe que 1111 V mas não possui inverso em V pois 1111 1111 0000 mas w² 1 w R logo 1111 V Ou seja 111 1 não possui inverso aditivo em V e isto implica que V não é ESPAÇO VETORIAL 2 Quais dos subconjuntos do espaço vetorial R³ com as operações usuais são subespaços vetoriais de R³ a W₁ xyz R³ xy1 b W₂ xyz R³ y 2z c W₃ xyz R³ x² y² z² d W₄ xyz R³ z 2x y a W₁ xyz R³ xy1 Observe que 000 W₁ pois 000 1 Logo W₁ não é subespaço de R³ b W₂ xyz R³ y 2 z Vejamos 000 W₂ pois 000 0 20 0 Dados x₁y₁z₁ x₂y₂z₂ W₂ temos x₁y₁z₁ x₂y₂z₂ x₁ 2 z₁ z₁ x₂ 2 z₂ z₂ x₁x₂ 2 z₁ 2 z₂ z₁ z₂ x₁x₂ 2 z₁z₂ z₁z₂ Ou seja W₂ é fechado para a adição Por fim sejam α R e xyz W₂ temos α xyz α x 2 z z αx γ²α z α z Ou seja W₂ é fechado para a multiplicação por escalar E portanto concluímos que W₂ é subespaço vetorial de R³ c W₃ xyz R³ x² y² z² Observe que 000 W₃ pois 0² 0² 0² Agora sejam x₁y₁z₁ x₂y₂z₂ W₃ vemos que x₁y₁z₁ x₂y₂z₂ x₁x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ Mas 3 Seja V M₂ R o espaço vetorial das matrizes quadradas 2 x 2 com entradas reais e operações usuais E W₁ a b b a M₂ R a b R e W₂ c d d c M₂ R c d R subconjuntos de V Mostre que W₁ e W₂ são subespaços de V M₂ R PARA W₁ i Veja que 0 0 0 0 W₁ pois 0 0 0 0 0 0 0 0 Sejam a1 b1 b1 a1 e a2 b2 b2 a2 matrizes em W1 Assim a1 b1 b1 a1 a2 b2 b2 a2 a1a2 b1b2 b1b2 a1a2 a1a2 b1b2 b1b2 a1a2 ou seja a11 a22 e a12 a21 Isto garante que W1 é fechado para a adição Agora seja a b b a W1 e α R temos que α a b b a αa αb αb αa W1 Logo W1 é fechado para multiplicação por escalar e é subespaço de M2R PARA W2 0 0 0 0 W2 pois 0 0 0 0 0 0 0 0 Dadas a b b a e c d d c em W2 temos a b b a c d d c ac bd bd ac ac bd bd ac Ou seja a11 a22 e a12 a21 Portanto W2 é fechado para a adição Por fim sejam a b b a W2 e α R Agora vejamos α a b b a αa αb αb αa ou seja a11 a22 e a12 a21 Logo W2 fecha o produto por escalar e concluímos que W2 é subespaço de M2R