Introdução a Álgebra Linear 2 Questões

Introdução à Álgebra Linear Lista1Parte 02EST Prof Martinho da Costa Araujo Alunoa 13082025 1 Seja ℝ³ espaço vetorial sobre ℝ com as operações usuais E U1 abc ℝ³ abc0 U2 abc ℝ³ ac U3 00c ℝ³ c ℝ subconjuntos de ℝ³ a Mostre que U1 U2 e U3 são subespaços de ℝ³ b Mostre que ℝ³ U1 U2 ℝ³ U1 U3 e ℝ³ U2 U3 c Quais das somas anteriores é soma direta 2 Seja V ℝ³ o espaço vetorial com as operações usuais com λ ℝ Para que valores de λ o conjunto B v1 λ11 v2 1λ1 v3 11λ a É LI b É LD c Determine uma base B de V ℝ³ d Dado v 153 V ℝ³ Determine vB 1a U1 abc ℝ³ abc0 SE un U1 ENTÃO u n U1 Pois a soma das coordenadas é zero SE k ℝ e u U1 então ku U1 Pois kabc0 U1 é subespaço U2 abc ℝ³ ac SE un U2 então u n U2 Pois a primeira e terceira coordenadas parecem iguais SE k ℝ e e U2 então ku U2 pois kakc U2 é subespaço U3 00c ℝ³ c ℝ SE un U3 então u n U3 pois a soma mantém as duas primeiras coordenadas nulas SE k ℝ e u U3 então ku U3 pois k00c 00kc U3 é subespaço b ℝ³ U1 U2 Ax n xyz ℝ³ u1 0xzzx U1 pois 0xzzx0 u2 xyxzx U2 Então u1 u2 xyz todos os vetores de ℝ³ pode ser escrito como soma de um vetor de U1 e outro de U2 ℝ³ U1 U3 n xyz ℝ³ u1 xyxy U1 pois xyxy0 u3 00zxy U3 Então u1 u3 xyz todos os vetores de ℝ³ pode ser escrito como soma de um vetor de U1 e outro de U3 ℝ³ U2 U3 n xyz ℝ³ u2 xyx U2 pois a primeira e terceira coordenadas são iguais u3 00zx U3 u2 u3 xyz todo vetor de ℝ³ pode ser escrito como soma de um vetor de U2 e outro de U3 c uma soma U V é direta se U V 0 U1 U2 U1 abc0 U2 ac aba0 2a b0 b2a Não é soma direta U1 U3 U1 abc0 U3 00c a0 b0 c0 U1 U3 0 É soma direta U2 U3 U2 aba U3 00c a0 b0 c0 é soma direta U2 U3 0 U1 U3 e U2 U3 2a B v1 λ11 v2 1λ1 v3 11λ A λ 1 1 1 λ 1 1 1 λ detA λλ²1 1λ1 11 λ λ³ 3λ 2 detA λ 1²λ 2 Se detA 0 B LI Se detA 0 B LD a B é LI se e somente se R 1 2 b B é LD se e somente se 1 2 c B é uma base de R³ se e somente se for LI ou seja R 1 2 d v 1 5 3 αv1 b v2 c v3 1 5 3 λa b c 1 a λb c 5 a b λc 3 detA λ 1²λ 2 a detA1 detA 1 λ 2 b detA2 detA 5λ 7 λ 1λ 2 c detA3 detA 3λ 3 λ 1λ 2 d 1 λ 2 5λ 7 λ 1λ 2 3λ 3 λ 1λ 2