Vetores e Espaços Vetoriais

210 PROBLEMAS PROPOSTOS Nos problemas 1 a 7 apresentase um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas Verificar quais deles são espaços vetoriais Para aqueles que não são espaços vetoriais citar os axiomas que não se verificam 1 IR3 x y z x y z x x y y z z k x y z 0 0 0 2 x 2x 3x x IR com as operações usuais 3 IR2 a b c d a b e αa b αa αb 4 IR2 x y x y x x y y e αx y a2x a2 y 5 IR2 x y x y x x y y e αx y αx 0 6 A x y IR2 y 5x com as operações usuais 7 A 0 a b 0 M2 2 a b IR com as operações usuais Nos problemas 8 a 13 são apresentados subconjuntos de IR2 Verificar quais deles são subespaços vetoriais do IR2 relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais 8 S xyy x 9 S x x2 x IR 10 S xyx 3y 0 11 S yy y IR 12 S xyy x 1 13 S xyx 0 Nos problemas 14 a 25 são apresentados subconjuntos de IR3 Verificar quais são seus subespaços em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais Para os que são subespaços mostrar que as duas condições estão satisfeitas Caso contrário citar um contraexemplo 14 S xyzx 4y e z 0 15 S x y zz 2x y 16 S x y zx z2 17 S x y zy x 2 e z 0 18 S x x x x IR 19 S x x 0x IR 20 S x y zxy 0 21 S x y zx 0 e y z 22 S x 3x 4x x IR 23 S x y zx 0 24 S x y zx y z 0 25 S 4t 2t t t IR 26 Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de M2 2 a S a b c d c a b e d 0 b S a b 0 c a b c IR matrizes triangulares superiores c S a b b c a b c IR matrizes simétricas d S a a b a b b a b IR e S a 1 a b a b IR f S a b c d ad bc 0 conjunto de matrizes inversíveis 27 Sejam os vetores u 2 3 2 e v 1 2 4 em IR3 a Escrever o vetor w 7 11 2 como combinação linear de u e v b Para que valor de k o vetor 8 14 k é combinação linear de u e v c Determinar uma condição entre a b e c para que o vetor a b c seja uma combinação linear de u e v 28 Consideremos no espaço P2 at² bt ca b c IR os vetores p1 t² 2t 1 p2 t 2 e p3 2t² t a Escrever o vetor p 5t² 5t 7 como combinação linear de p1 p2 e p3 b Escrever o vetor p 5t² 5t 7 como combinação linear de p1 e p2 c Determinar uma condição para a b e c de modo que o vetor at² bt c seja combinação linear de p2 e p3 d É possível escrever p1 como combinação linear de p2 e p3 29 Seja o espaço vetorial M2 2 e os vetores v1 1 0 1 1 v2 1 2 0 1 e v3 0 1 2 1 Escrever o vetor v 1 8 0 5 como combinação linear dos vetores v1 v2 e v3 30 Escrever o vetor 0 IR2 como combinação linear dos vetores a v1 1 3 e v2 2 6 b v1 1 3 e v2 2 5 31 Sejam os vetores v1 1 2 1 v2 1 0 2 e v3 2 1 0 Expressar cada um dos vetores u 8 4 1 v 0 2 3 e w 0 0 0 como combinação linear de v1 v2 e v3 32 Expressar o vetor u 1 4 4 6 IR4 como combinação linear dos vetores v1 3 3 1 0 v2 0 1 1 2 e v3 1 1 0 0 33 Seja S o subespaço do IR4 definido por S x y z t IR4 x 2y z 0 e t 0 Perguntase a 1 2 3 0 S b 3 1 4 0 S c 1 1 1 1 S 34 Seja S o subespaço de M2 2 S a b 2a a b b a b IR Perguntase a 5 6 1 2 S b Qual deve ser o valor de k para que o vetor 4 k 2 3 pertença a S 35 Determinar os subespaços do IR3 gerados pelos seguintes conjuntos a A 2 1 3 b A 1 3 2 2 2 1 c A 1 0 1 0 1 1 1 1 0 d A 1 1 0 0 1 2 2 3 1 e A 1 2 1 1 1 0 3 0 1 2 1 1 f A 1 2 1 1 1 0 0 0 2 2 1 0 36 Seja o conjunto A v₁ v₂ sendo v₁ 1 3 1 e v₂ 1 2 4 Determinar a O subespaço GA b O valor de k para que o vetor v 5 k 11 pertença a GA 37 Sejam os vetores v₁ 1 1 1 v₂ 1 2 0 e v₃ 1 3 1 Se 3 1 k v₁ v₂ v₃ qual o valor de k 38 Determinar os subespaços de P₂ espaço vetorial dos polinômios de grau 2 gerados pelos seguintes vetores a p₁ 2x 2 p₂ x² x 3 e p₃ x² 2x b p₁ x² p₂ x² x c p₁ 1 p₂ x p₃ x² 39 Determinar o subespaço GA para A 1 2 2 4 O que representa geometricamente esse subespaço 40 Mostrar que os vetores v₁ 2 1 e v₂ 1 1 geram o ℝ² 41 Mostrar que os vetores v₁ 1 1 1 v₂ 0 1 1 e v₃ 0 0 1 geram o ℝ³ 42 Seja o espaço vetorial M2 2 Determinar seus subespaços gerados pelos vetores a v₁ 1 2 1 0 e v₂ 2 1 1 1 b v₁ 1 0 0 1 v₂ 1 1 0 0 e v₃ 0 1 1 0 43 Determinar o subespaço de P₃ espaço dos polinômios de grau 3 gerado pelos vetores p₁ x³ 2x² x 3 e p₂ 2x³ x² 3x 2 44 Determinar o subespaço de ℝ⁴ gerado pelos vetores u 2 1 1 4 v 3 3 3 6 e w 0 4 4 0 45 Verificar se o vetor v 1 3 2 0 pertence ao subespaço do ℝ⁴ gerado pelos vetores v₁ 2 1 3 0 v₂ 1 0 1 0 e v₃ 0 1 1 0 Nos problemas 1 a 7 apresentase um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas Verificar quais deles são espaços vetoriais Para aqueles que não são espaços vetoriais citar os axiomas que não se verificam 1 ℝ³ x y z x y z x x y y z z kx y z 0 0 0 Não é pois não obedece que 1x y z x y z x y z ℝ³ 2 V x 2x 3x x ℝ com as operações usuais Sim é um espaço vetorial Propriedades 1 Fechamento pela soma x 2x 3x y 2y 3y x y 2x y 3x y V 2 Fechamento por multiplicação de escalar α ℝ αx 2x 3x αx 2αx 3αx V 3 Associatividade da adição e 4 Comutividade da adição Como todo vetor do tipo x 2x 3x está em ℝ³ V possui esses 2 propriedades 5 Elemento Neutro da Adição 0 0 0 x 2x 3x x 2x 3x logo possui 6 Elemento inverso da Adição x 2x 3x x 2x 3x V 0 0 0 logo possui 7 Compatibilidade da Multiplicação Escalar α β R x 2x 3x V αβx 2x 3x αβx 2βx 3βx αβx 2αβx 3αβx αβx 2x 3x 8 Elemento neutro da Multiplicação escalar 1 x y z x y z x y z V 9 Distributiva em relação à soma vetorial αx 2x 3x y 2y 3y αxy 2xy 3xy αx αy α2x α2y α3x α3y αx 2x 3x αy 2y 3y 10 Distributiva em relação à soma de escalar α β R α β x 2x 3x αx βx α2x β2x α3x β3x αx 2x 3x βx 2x 3x 3 R² ab cd ab e αab αa αb Não é pois falta na comutatividade da soma ab cd ab cd ab cd Não é preciso que seja igual 4 R² xy x y xx yy e αxy α²x α²y Não é pois falta na distributividade em relação à soma de escalares α β R α β²xy α β²x α β²y Não são iguais sempre αxy βxy α²x β²x α²y β²y 5 R² xy x y xx yy e αxy αx 0 Não é pois não possui elemento neutro da multiplicação por escalar 1 xy x0 xy 6 A xy R² y 5x com as operações usuais Sim é um espaço vetorial Propriedades 1 Fechamento pela soma x 5x A y 5y A xy 5xy A 2 Fechamento por multiplicação de escalar α R αx 5x αx 5αx A 3 Associatividade da adição 4 Comutividade da adição como todo vetor do tipo x 5x está em R² A possui essas 2 propriedades 5 Elemento Neutro da Adição 00 x 5x x 5x logo possui 6 Elemento inverso da Adição x 5x x 5x A 00 logo possui 7 Compatibilidade da Multiplicação Escalar α β R x 5x A αβx 5x αβx 5βx αβx 5αβx αβx 5x 8 Elemento neutro da Multiplicação escalar 1 x y x y x y A 9 Distributiva em relação à soma vetorial αx 5x y 5y αxy 5xy αx αy α5x α5y αx 5x αy 5y 10 Distributiva em relação à soma de escalar α β R α β x 5x αx βx α5x β5x αx 5x βx 5x A 0 a b 0 M2 2 a b IR com as operações usuais Sim é um espaço vetorial Propriedades 1 Fechamento pela soma 0 a1 b1 0 0 a2 b2 0 0 a1a2 b1b2 0 A A A 2 Fechamento por multiplicação de escalar α IR α0 a b 0 0 αa αb 0 A 3 Associatividade da adição e 4 Comutividade da adição como toda matriz do tipo 0 a b 0 está em M2 2 A possui essas 2 propriedades 5 Elemento Neutro da Adição 0 0 0 0 0 a b 0 0 a b 0 Logo possui 6 Elemento inverso da Adição 0 a b 0 0 a b 0 0 0 0 0 A logo possui 7 Compatibilidade da Multiplicação Escalar α β IR 0 a b 0 A αβ0 a b 0 α0 βa βb 0 0 αβa αβb 0 αβ0 a b 0 8 Elemento neutro da Multiplicação escalar 1 0 a b 0 0 a b 0 9 Distributiva em relação à soma vetorial α0 a1 b1 0 0 a2 b2 0 α0 a1a2 b1b2 0 0 αa1a2 αb1b2 0 α0 a1 b1 0 α0 a2 b2 0 10 Distributiva em relação à soma de escalar α β IR α β 0 a b 0 0 αa βa αb βb 0 α0 a b 0 β0 a b 0 Nos problemas 8 a 13 são apresentados subconjuntos de IR2 Verificar quais deles são subespaços vetoriais do IR2 relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais 8 S x y y x x x É subespaço 1 Fechado pela soma x1 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x2 S S S 2 Fechado por multiplicação de escalar α IR αx x αx αx S S Logo como obedece 1 e 2 é subespaço 9 S x x2 x IR Não é subespaço pois não é fechado pela soma x1x2 x1x22 x1x2 x12 2x1x2 x22 x1x2 x12 x22 10 S x y x 3y 0 3y y 1 Fechado pela soma 3y1 y1 3y2 y2 3y1 y2 y1 y2 S S S 2 Fechado pela multiplicação de escalar α IR α3y y 3αy αy S S Logo por 1 e 2 é subespaço 11 S y y y IR 1 Fechado pela Soma y1 y1 y2 y2 y1 y2 y1 y2 S S S 2 Fechado pela multiplicação de escalar α IR αy1 y1 αy1 αy2 S Sxyzz2xy xy2xy 1 Fechado pela soma S ux₁y₁2x₁y₁ S vx₂y₂2x₂y₂ uvx₁x₂y₁y₂2x₁x₂y₁y₂ S 2 Fechado pela multiplicação de escalar α R ux₁y₁2x₁y₁ αuαx₁y₁2x₁y₁αx₁αy₁2αx₁αy₁ S Logo é subespaço Sxyzxz² Não pois não é fechado pela soma 101 S 402 S 503 S Sxyzyx2 e z0 xx20 Não é pois não é fechado pela soma 130 S 350 S 480 S SxxxxR 1 Fechado pela soma S ux₁x₁x₁ S vx₂x₂x₂ uvx₁x₂x₁x₂x₁x₂ S 2 Fechado por mult de escalar ux₁x₁x₁ α R αuαx₁x₁x₁αx₁αx₁αx₁ S Logo é subespaço Não é pois não é fechado por multi de escalar α 1 u 1 0 0 S αu 1 0 0 S 24 S x y zx y z 0 1 Fechado pela soma u x1 y1 z1 x1 y1 z1 0 v x2 y2 z2 x2 y2 z2 0 u v x1 x2 y1 y2 z1 z2 x1 x2 y1 y2 z1 z2 0 u v S 2 Fechado por mult de escalar u x1 y1 z1 x1 y1 z1 0 α R αu αx1 y1 z1 αx1 αy1 αz1 αx1 αy1 αz1 αx1 y1 z1 0 αu S logo é subespaço 25 S 4t 2t t t R 1 Fechado pela soma u 4t1 2t1 t1 v 4t2 2t2 t2 u v 4t1 t2 2t1 t2 t1 t2 S 2 Fechado por mult de escalar u 4t1 2t1 t1 α R αu α 4t1 2t1 t1 4αt1 2αt1 αt1 S logo é subespaço Sxx0xR 1 Fechado pela soma S ux₁x₁0 S vx₂x₂0 uvx₁x₂x₁x₂0 S 2 Fechado por mult de escalar ux₁x₁0 α R αuαx₁x₁0αx₁αx₁0 S Logo é subespaço 26 Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de M2 2 a S a b c d c a b e d 0 a b ab 0 1 Fechado pela soma A a1 b1 a1b1 0 B a2 b2 a2b2 0 A B a1a2 b1b2 a1a2b1b2 0 S 2 Mult de escalar A a b ab 0 α R αA αa αb αab 0 S logo é subespaço b S a b 0 c abc R matrizes triangulares superiores 1 Fechado pela soma A a1 b1 0 c1 B a2 b2 0 c2 A B a1a2 b1b2 0 c1c2 S 2 Mult de escalar A a b 0 c α R αA αa αb 0 αc S logo é subespaço Sxyzxy0 Não pois não é fechado pela soma 100 S 010 S 110 S c S a b b c abc R matrizes simétricas 1 Fechado pela soma A a1 b1 b1 c1 B a2 b2 b2 c2 A B a1a2 b1b2 b1b2 c1c2 S 2 Mult de escalar A a b b c α R αA αa αb αb αc S logo é subespaço d S a ab ab b a b R 1 Fechado pela soma A a1 a1b1 a1b1 b1 B a2 a2b2 a2b2 b2 A B a1a2 a1a2b1b2 a1a2b1b2 b1b2 S 2 Mult de escalar A a ab ab b α R αA αa αab αab αb S Sxyzx0 e yz Não pois não é fechado pela soma 011 S 011 S 020 S e S a 1 a b a b R Não pois não é fechado pela soma 1 1 1 0 S 0 1 0 0 S 1 2 1 0 S f S a b c d ad bc 0 conjunto de matrizes inversíveis Não pois não é fechado pela soma 1 0 0 1 S 1 0 0 1 S 0 0 0 0 S 27 Sejam os vetores u 2 3 2 e v 1 2 4 em IR³ a Escrever o vetor w 7 11 2 como combinação linear de u e v 7 11 2 α2 3 2 β1 2 4 7 2α β 11 3α 2β 2 2α 4β I III 5 β 4β β 1 2 2α 41 2α 6 α 3 em II 11 33 21 Logo 7 11 2 32 3 2 11 2 4 Sx3x4xxR 1 Fechado pela soma ux₁3x₁4x₁ vx₂3x₂4x₂ uvx₁x₂3x₁x₂4x₁x₂ S 2 Fechado por mult de escalar ux₁3x₁4x₁ α R αuαx₁3x₁4x₁αx₁3αx₁4αx₁ S Logo é subespaço b Para que valor de k o vetor 8 14 k é combinação linear de u e v 8 14 k α2 3 2 β1 2 4 8 2α β 14 3α 2β k 2α 4β 16 4α 2β 14 3α 2β 2 α 8 22 β β 8 4 β 4 Quero k 22 44 k 4 16 k 12 c Determinar uma condição entre a b e c para que o vetor a b c seja uma combinação linear de u e v a b c α2 3 2 β1 2 4 a 2α β b 3α 2β c 2α 4β III I c a 4β β c a 5β β c a5 1 a 2α c a5 a c a5 2α 5a c a5 2α α 4a c10 2 1 2 em II b 34a c10 2c a5 b 12a 3c 4c 4a10 b 16a c10 28 Consideremos no espaço P₂ at² bt ca b c IR os vetores p₁ t² 2t 1 p₂ t 2 e p₃ 2t² t a Escrever o vetor p 5t² 5t 7 como combinação linear de p₁ p₂ e p₃ 5t² 5t 7 αt² 2t 1 βt 2 δ2t² t α 2δ 5 2α β δ 5 α 2β 7 α 9 β 1 δ 2 Logo 5t² 5t 7 9t² 2t 1 1t 2 22t² t b Escrever o vetor p 5t² 5t 7 como combinação linear de p₁ e p₂ 5t² 5t 7 αt² 2t 1 βt 2 5 α 5 2α β 7 α 2β α 5 β 5 7 5 210 Falso Logo não é possível escrever como combinação linearf c Determinar uma condição para a b e c de modo que o vetor at² bt c seja combinação linear de p₂ e p₃ at² bt c αt 2 β2t² t a 2β b α β c 2α β a2 α c2 b c2 a2 b c a2 d É possível escrever p₁ como combinação linear de p₂ e p₃ Não pois ele não obedece que b c a2 29 Seja o espaço vetorial M2 2 e os vetores v1 1 0 1 1 v2 1 2 0 1 e v3 0 1 2 1 Escrever o vetor v 1 8 0 5 como combinação linear dos vetores v1 v2 e v3 30 Escrever o vetor 0 IR2 como combinação linear dos vetores a v1 1 3 e v2 2 6 00 α 13 β26 0 α 2β 03α 6β α 2β por ex β 1 α 2 00 213 26 b v1 1 3 e v2 2 5 00 α 13 β 25 αβ0 αβ 3α 5β 0 β α 0 Logo não é possível escrever como CL a não ser 013 025 32 Expressar o vetor u 1 4 4 6 IR4 como combinação linear dos vetores v1 3 3 1 0 v2 0 1 1 2 e v31 1 0 0 1 4 4 6 α3 3 1 0 β0 1 1 2 γ1 1 0 0 1 3α γ 4 3α β γ 4 α β 6 2β α 1 β 3 γ 2 1 4 4 6 13 3 1 0 30 1 1 2 21 1 0 0 33 Seja S o subespaço do IR4 definido por S x y z t IR4 x 2y z 0 e t 0 Perguntase a 1 2 3 0 S x 2y z 1 22 3 1 4 3 0 1 2 3 0 S b 3 1 4 0 S x 2y z 3 21 4 3 2 4 1 Logo 3 1 4 0 S c 1 1 1 1 S Logo 1 1 1 1 S 34 Seja S o subespaço de M2 2 Perguntase S a b 2a a b b a b R a 5 6 1 2 S a b 5 a b 1 2a 6 b 2 b 2 a 3 logo 5 6 1 2 S b Qual deve ser o valor de k para que o vetor 4 k 2 3 pertença a S a b 4 2a k a b 2 b 3 b 3 a 1 21 k k 2 35 Determinar os subespaços do IR³ gerados pelos seguintes conjuntos a A 2 1 3 α2 1 3 α IR x y z 2α α 3α z 3y x 2y logo x y z IR³ z 3y x 2y Reta com diretor 2 1 3 b A 1 3 2 2 2 1 x y z α1 3 2 β2 2 1 x α 2β y 3α 2β x y 2α z 2α β 2x 2α 4β z 2α β z 2x5 β z x y z 2x5 45 z 7x5 y 0 x y z IR³ 45 z 7x5 y 0 Plano no IR³ c A 1 0 1 0 1 1 1 1 0 x y z α1 0 1 β0 1 1 γ1 1 0 x α γ α β x y y β γ x y z z α β x y z IR³ z x y Plano no IR³ d A 1 1 0 0 1 2 2 3 1 x y z α1 1 0 β0 1 2 γ2 3 1 x α 2γ y α β 3γ gera todo IR³ Sempre acho α β γ z 2β γ Logo será o IR³ e A 1 2 1 1 1 0 3 0 1 2 1 1 x y z α1 2 1 β1 1 0 γ3 0 1 δ2 1 1 x α β 3γ 2δ y 2α β δ z x y 3 x y x y3 x1 0 13 y0 1 13 z α γ δ Logo subespaço x y z IR³ x y z α1 0 13 β0 1 13 f A 1 2 1 1 1 0 0 0 2 2 1 0 x y z α1 2 1 β1 1 0 γ3 0 1 δ2 1 1 x α β 3γ 2δ y 2α β δ gera todo IR³ Sempre consigo α β γ δ z α γ δ Logo IR³ 36 Seja o conjunto A v₁ v₂ sendo v₁ 1 3 1 e v₂ 1 2 4 Determinar a O subespaço GA x y z α1 3 1 β1 2 4 x α β y 3α 2β z x 3 β x α z x3 α z x3 x α z 4x3 y β z 4x3 2z x3 z 4x 1 23 z 4x3 logo GA x y z IR³ y z 4x3 b O valor de k para que o vetor v 5 k 11 pertença a GA Quest y z 4x 3 k 11 45 3 k 11 20 3 k 9 3 k 3 37 Sejam os vetores v1 111 v2 120 e v3 131 Se 31k v1 v2 v3 qual o valor de k v1 v2 v3 x y z α111 β120 γ131 x α β γ y α 2β 3γ y x β 2γ z α γ x z β 2γ x z y x z y 2x 0 logo v1 v2 v3 x y z IR3 z y 2x 0 se 31k v1 v2 v3 k 1 23 0 k 1 6 0 k 7 38 Determinar os subespaços de P2 espaço vetorial dos polinômios de grau 2 gerados pelos seguintes vetores a p1 2x 2 p2 x² x 3 e p3 x² 2x a x² b x c α2x 2 βx² x 3 γx² 2x a β γ b 2α β 2γ c 2α 3β c b 2β 2γ cb2 β γ a b c2 a β γ 31 Sejam os vetores v11 2 1 v2 1 0 2 e v3 2 1 0 Expressar cada um dos vetores u 8 4 1 v 0 2 3 e w 0 0 0 como combinação linear de v1 v2 e v3 α1 2 1 β1 0 2 γ2 1 0 8 4 1 u α β 2γ 8 2α γ 4 α 2β 1 α 113 β 73 γ 343 1131 2 1 731 0 2 3432 1 0 u α1 2 1 β1 0 2 γ2 1 0 0 2 3 v 2 β 2γ 0 2α γ 2 α 2β 3 α1 β1 γ0 11 2 1 11 0 2 02 1 0 v α1 2 1 β1 0 2 γ2 1 0 0 0 0 w α β 2γ 0 2α γ 0 α 2β 0 α β γ 0 Logo única possível b c2 t² b t c bt²2 t ct²2 1 logo subespaço p P2 p bt²2 t ct²2 1 b c R b p1 x² p2 x² x a t² b t c α x² βx² x a α β b β c 0 a α b logo subespaço p P2 p a x² x a R c p1 1 p2 x p3 x² a t² b x c α 1 β x γ x² a γ b β c α subespaço P2 39 Determinar o subespaço GA para A 1 2 2 4 O que representa geometricamente esse subespaço x y α 1 2 β 2 4 x α 2β 2x 2α 4β y 2α 4β y 2x logo GA x y IR2 y 2x Geometricamente é uma reta 40 Mostrar que os vetores v1 2 1 e v2 1 1 geram o IR² Tome x y IR² x y α2 1 β1 1 x 2α β x y 2 y α β β y x y 2y x logo x y IR² sempre há α e β tais que x y α2 1 β1 1 logo 2 1 e 1 1 geram IR² 41 Mostrar que os vetores v1 1 1 1 v2 0 1 1 e v3 0 0 1 geram o IR³ Tome x y z IR³ x y z α1 1 1 β0 1 1 γ0 0 1 x α α x y α β y x β β y x z α β γ z y γ γ z y logo x y z IR³ existem α β γ tais que x y z α1 1 1 β0 1 1 γ0 0 1 logo geram o IR³ 42 Seja o espaço vetorial M22 Determinar seus subespaços gerados pelos vetores a v1 1 2 1 0 e v2 2 1 1 1 a b c d α1 2 1 0 β2 1 1 1 a α 2β b 2α β c α β d β β d a c β d a c d c b d2 d 2c 3d b b 2c 3d logo c d 2c 3d c d c1 2 1 0 d1 3 0 1 Subespaço M M22 M c1 2 1 0 d1 3 0 1 cd R b v1 1 0 0 1 v2 1 1 0 0 e v3 0 1 1 0 a b c d α1 0 0 1 β1 1 0 0 γ0 1 1 0 a α β b β σ c γ d α a d β b β c a b d c c a b d logo a b abd d a1 0 1 0 b0 1 1 0 d0 0 1 1 logo Subespaço M M22 M a1 0 1 0 b0 1 1 0 d0 0 1 1 abd R 43 Determinar o subespaço de P3 espaço dos polinômios de grau 3 gerado pelos vetores p1 x3 2x2 x 3 e p2 2x3 x2 3x 2 ax3 bx2 cx d αx3 2x2 x 3 β2x3 x2 3x 2 a α 2β b 2α β c α 3β d 3α 2β a c β d 3b a c2 2a c b 2α a c α b a c 2 d 3b 3a 3c 4a 4c2 d 7a 3b 7c2 logo ax3 bx2 cx 7a 3b 7c2 ax3 72 bx2 32 cx 72 logo Subespaço p P2 p ax3 72 bx2 32 cx 72 abc R