Lista 1 Resolvida- Conjuntos-2022 2 -2022 2

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciˆencias Fısicas e Matematicas Departamento de Matematica MTM3412 Laboratorio de Matematica II Lista 1 Unidade 1 Conjuntos Profa Luciane Inˆes Assmann Schuh 1 Considere os conjuntos A B C D C E 1 2 2 3 a Diga quantos elementos possuem cada um dos conjuntos acima b Verifique quais das sentencas sao Verdadeiras V ou Falsas F D C D C D C D E 3 E 2 E 2 3 E c Determine o conjunto das partes de D PD e nPD d Determine nPE 2 E possıvel encontrar um conjunto que possua exatamente 5 subconjuntos 3 Num grupo de 29 pessoas sabese que 10 sao socias de um clube A 13 sao socias de um clube B e 6 sao socias de A e B Perguntase a Quantas pessoas do grupo nao sao socias de A e nem de B b Quantas sao socias somente de A c Quantas sao socias de A ou B 4 Considere os seguintes conjuntos A 1 2 1 2 B 1 2 e C 1 1 2 Verifique se sao verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas a B C 1 b B A c BC A B d A PA 1 2 5 Mostre que se A B E entao a EA B EA EB b EA B EA EB 6 Generalize e prove o resultado acima para n subconjuntos A1 A2 An de um conjunto E 7 Sejam A B e C conjuntos tais que nA B 8 nA C 9 nB C 10 nA B C 11 e nA B C 2 Entao nA nB nC e igual a a 11 b 14 c 15 d 18 e 25 8 Numa pesquisa de mercado foram entrevistadas varias pessoas acerca de suas preferˆencias em relacao a 3 produtos A B e C Os resultados da pesquisa indicaram que 210 pessoas compram o produto A 210 pessoas compram o produto B 250 pessoas compram o produto C 20 pessoas compram os trˆes produtos 100 pessoas nao compram nenhum dos trˆes produtos 60 pessoas compram os produtos A e B 70 pessoas compram os produtos A e C 50 pessoas compram os produtos B e C Perguntase a Quantas pessoas foram entrevistadas b Quantas pessoas compram apenas o produto A c Quantas pessoas compram apenas o produto B d Quantas pessoas compram apenas o produto C e Quantas pessoas compram apenas um dos produtos 9 Um subconjunto A N possui 12 multiplos de 4 7 multiplos de 6 5 multiplos de 12 e 8 numeros ımpares E possıvel A ser um conjunto infinito com estas condicoes Se A possuir somente os numeros acima citados qual seria sua cardinalidade ou seja NA 10 Verifique que um numero natural e ımpar se e somente se o seu quadrado tambem for ımpar 11 O que significa m n com m n N Verifique em N os seguintes resultados a m n m2 n2 use a tricotomia para provar a volta b Se m n e p q entao mp nq c Se m n e p q entao m p n q d Se m p n p entao m n use a tricotomia e Se mp np p 0 entao m n use a tricotomia 12 Verifique em R os seguintes resultados a x0 0 x R b xy xy xy x y R c xy xy x y R 13 O que significa dizer que x y para x y R Verifique em R os seguintes resultados a Se x y e z t entao x z y t b Se x y e z 0 entao xz yz Por outro lado se z 0 entao xz yz em particular x y c 0 x y e 0 z t entao xz yt d Todo quadrado e maior ou igual que 0 e Paratodo x 0 temos que x1 possui o mesmo sinal que x e se 0 x y entao y1 x1 14 Mostrar que se x e y sao nuimeros racionais tal que x y entao existe um racional z tal que x z y 15 Sejam abcd Qe p um numero primo mostre que a bp c dp se e somente se a c e bd 16 Considere os seguintes nuimeros reais da forma n n 1 1V75 1V5 S Qn n n V5 9 2 d e assinale a alternativa correta justificando a Todos estes ntimeros sao irracionais b Alguns sao irracionais e outros racionais c Todos sao racionais nao inteiros d Todos sao racionais mas e alguns nao todos sao inteiros e NDA D a elements b V30 F A d O V CE D B LAY 1 F EY D C 244447 2 V C CD D 4404Cy 2 V ACE E 41222331 4 V GEE F 2223774 E c n D 2 n PCD 22 4 PLD 40445204440401 d NCE 4 N PIE 24 16 2 Nat é possivel Se A possui n elements enter A possui 2 subconjuntos I ne IN 27 5 3 so 2 4 6 7 29 2 17 29 2 12 29 a 12 b 4 c 4 6 7 17 4 A 212 21237 B 441727 C 412172273 La BAC 2414 VO b Ley A B A a BIC 229 An B 424 AaB BIC d PCA LO 417227 441273 4127 4144277 4321271 A AnPLA 44129 5 LAKE EI LAMB E NE E e a ANB NE E e x A on a B GEE ex A on EE at B see EIA on NE EIB KE ELA U EIB E EI CAMB EIA VEIB b NE ElAUB e ne E ead AUB ne E e nd A eat B fee E eat A e CeeE eat B NEELA e ne EIB NE ELA n EIB E E CARB EIA NEB 6 Se Ai An CE enter a El Ann in An EIA U VELAN Suponha que a igualdade vatha para n k 1 entao definindo Be An n o n AR n E Ann nAnd El Brae Ed EIB U Elk ninth El A V VEI Ae U ElAK i Vale para ne k e a proposicao segue por induced b El Ar U UAn ElAn n n El An Suponha que a igualdade vatha para n k 1 entao definindo Be An V VAR n E Anu U AR El BUAE EU EIB n Elk hinter El Arn A El Ake n ElAK i Vale para no te e a moponicas segue por inducat 7 n CAv Buc nCA t n B n C n Anb n Anc n Bnc n An Bnc 11 n Alt n B ncc nCAn B n Anc n Bnc Z N AUB n A t n B n AnB 8 n A n B n AaB n Arc n A t ncc n Anc s 9 n CA ncc n Anc h Buc n 3 ncc n Bnc no ne B ncc n Bnc 27 26 A nB nca ncanB n Sega ne n A t n B t n ca e y n Anb n Anc n Bnc enter M a y 2 4 a y 9 27 22 y 31st n A n B ncc 18 8 a 610 e too 120 150 370 b 100 c 120 d 150 100 150 100 120 40 30 50 20 610 9 todo multiple de la é multiple de Ge de 4 enistem 7 multiplies a 4 que nai said 12 Y todos Sciopores enistem 2 multiplies de 6 que nai sais de 12 Como su multiple de 4 e nai su de 12 Lambem nai é de 6 or dois riltimes conjunhes acima sat disjuntas Se A so possuir esser elements n A 7 2 5 8 i nCA 22 Apode see infinite pois pode possuiros terms do sequence 2 10 1826 34 que had no multiples de 46 out Ze bio pares so Se n é imper I KE Ini no 2kt I M2 2kt 1 2 4kt 4kt 1 2 2442k I Como 2442K E N Segue que 2 242 26 1 n é impar Se n é impar F RE IN i nt 2kt I n n é por n 1 Gen Ch D Como nel en i him a memo paridade rogue que ambossad impares on pares Como o produto de impares é impar ambos sat pares Asim nu é por y F R E IN n I ZI no 2kt 1 i e n é impar 11 men mine in significs que eniste a c IN mta n a se m In a Fae m i ne mta n mt 2am al Como 2am ate IN segue que nz m2 suponha que me n Pelt tricotomia i m n Fae IN Koy M n a ME nt Zant a2 zantate IN Koy e m2 n o que é false on ii men m2 n2 ME n On iii men F a E IN1206 m tain neat 2am me e n2 m I n Zz m Portanto men on m on men b Fa be in tous que mea ne ptb g ng mta ptb mptmbtgptab smg amp o Fa be in tous que mta n e ptb g neg a ptb mtp Iggy ntfa mtp d se hype mtp Fae in nap map ta Pila tricotomia pode se ter i m n s F be inKoy me ntb me p i n ptb me p nap o que é absurdo ID n n mtp ntp Mtp Itp yn iii men I be in key mtb n mt ptb ntp ntp mtp nepa mtp Portanto segue que men on men men e Suponha que m p e n p p to Pila tricotomia tem se que i m n F a E IN the i m nta mp up tap Tinkey mp np o que é absurdo ii men mp np mp enp V iii men Fae N 1204 m a n mp tap np Finno hp mp mpe np Portanto segue que m n ou m r n men 12 a Dado ne IR se O se Ot 0 se 0 t se O 2 O H o 2 Ot 2 O a 05 O a O 0 I 2 O 0 b Dados R Y E IR seC y sey se by y se o ko Portauto pea unicidade do oposto RC y Ky easy ay k e a y o y Pels unicidade do oporto or ay Gaby Cay Asim C a y set y ay c Dados MY E IR C a C y t c se y 20 by y Ga O É Por b L e C y é o oposto de ay Pelo unicidade do oporto Como C cays ay segue que C e C y sey 13 Rey N ye IR significs que y 220 La se ne y Zet entao yet att y31 15720 portauto yttentz b se hey 220 etat yz 22 4 0520 portauto Yz 2 NZ Se Z s o z z 60 Z E O E Z Aplicando o resultado acima para z kinos que yC z 2 NE E y z 2 at Yz y z azz NZ atty z Nz a yz YZ az Em particular para Z 1 K CD ne y G y a Se O E R Ey Of Ze t yt xz yt yztyz az 1 lt 1159320 ytz at d Dado y EIR i se y Zo por co com se t o t y tem se que y y y 200 0 ii se y so y 0 entao pelo resultado anterior g y L y 20 Por 12 a Ey y y y y 2 i 4220 e Dado at 0 se se to possui sinal difuente de K por exempla 220 e set so por b 2 24 1 6 o e que é fatso pertanto see a possum o mes mo sinal Em particular se or see y of a e o e y pertanto O e se y e por b 062 Get y D E y at y o s a 1 y e y y at O 6 1 y E l N l or y e a 1 14 x y e G Rey entai at yea e ng e Q Como ay a iz Lyng any a e y aye z tyg y my portauto to mando z Ny E Q as z s y 15 se a b c d e G p éprime e at b p c dip into a c p d b Como a naiz quadrade de primo é inocional e d bed Mp d b to a memes que d b o Per outro lado a c e a Mp d b eh Segue que d b o es d b e P d b o a c a c Se a c deb entail at bop et dip 16 anti tan CET E CET E t EE GE Y CE Est FEIGE CE CED REIT E FED HEY LET tf E y e ane portanto antz anti an t ne in Como an EE E E E EZ a EE E GE GE 471 1 e a Peta formula de recorrincia to segue que por inducat an E 21 no 1 2