Lista Labmat2 Resolvida-2022 2

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciˆencias Fısicas e Matematicas Departamento de Matematica MTM3412 Laboratorio de Matematica II Entregar ate dia 23092022 Lista de Exercıcios para Entregar Profa Luciane Inˆes Assmann Schuh 1 Sejam a b c d Q e p um numero primo mostre que a bp c dp se e somente se a c e b d 2 Numa pesquisa feita com 1000 famılias para se verificar a audiˆencia dos programas de televisao os seguintes resultados foram encontrados 510 famılias assistem ao programa A 305 ao programa B e 386 assistem ao programa C Sabese ainda que 180 famılias assistem aos programas A e B 60 assistem aos programas B e C 25 assistem a A e C e 10 famılias assistem aos trˆes programas a Quantas famılias nao assistem nenhum destes 3 programas b Quantas famılias assistem somente o programa A c Quantas famılias nao assistem nem ao programa A nem ao programa B 3 Mostre que 1 xn 1 nx para todo n N e x R com x 1 4 Sejam x y inteiros ımpares Mostre que x2 y2 e par mas nao e divisıvel por 4 5 Determine o domınio da funcao fx 15 2x x2 x2 8x 16 6 Sejam as funcoes reais gx 2x 3 e f gx 2x2 4x 1 Determinar a lei de formacao da funcao f 7 Seja fx 2x3 5x1 Restrinja o domınio e contradomınio da funcao de tal forma que a mesma possua inversa Neste caso sabese que a inversa de f e uma funcao que pode ser escrita da forma f 1x xb cxd Determine o valor de b c d 8 Considere o polinˆomio px x4 4x2 3x 6 Sabendo que p2 0 qual e o produto das outras trˆes raızes 9 Um Polinˆomio Px dividido por x 1 da resto 3 O quociente desta divisao e entao dividido por x 2 obtendose resto 2 Qual o resto da divisao de Px por x 1x 2 10 Resolva as inequacoes em R a 6x2 12x 17 2x2 7x 5 1 b x2 6x 5 x 2 abcd ℚ e p primo Mostram que a bp c dp se e somente se a c e b d Vamos provar duas implicações i a c e b d a bp c dp Partindo da Hipótese que a c e b d temos que bx dx x ℝ por propriedades da multiplicação Fixo x p então bp dp e a c Somando ambas igualdades temos a c bp dp a bp c dp concluí a tese iii a bp c dp a c e b d Como a bp c dp então a c d bp e logo a c d bp Como a c ℚ a c ℚ e a c ℚ pois ℚ é fechado pela adição e subtração Como a c ℚ e d b d bp ℚ Sabemos que p ℚ pois p é primo Então d p deve ser zero logo d bp é irracional Assim d b 0 d b a c d bp 0 a c 0 a c Então a c e b d o que conclui a tese iii Como vale a ida e a volta vale a equivalência e temos que a bp c dp a c e b d Total 1000 pessoas 510 assistem A vii 305 assistem B vi 388 assistem C v 180 assistem A e B iv 60 assistem B e C iii 25 assistem A e C ii 10 assistem A B e C i Quantas não assistem nenhum Soma 315 170 75 15 15 50 311 X 1000 946 X 1000 X 1000 946 X 54 54 não assistem nenhum dos 3 programas Somente A 315 assistem somente o programa A Nem A nem B Quem assiste só C e que não assistem nenhum 311 54 365 não assistem nem A nem B Mostrar que 1 xn 1 nx n ℕ e x ℝ x 1 Faremos a demonstração por indução finita Passo base Se n 1 temos 1 x1 1 x 1 1x Vale para algum n ℕ então é base da indução Passo indutivo Supondo que para um n ℕ vale que 1 xn 1 nx queremos mostrar que vale também 1 xn 1 1 n 1x Então isto que 1 xn 1 1 x1 xn 1 nx x 1 n 1x Note que como x ℝ então x 0 e n2 0 pelos ℕ Então 1 xn 1 nx nx2 1 n 1x Assim 1 xn 1 1 n 1x concluindo a tese Por fim pelo Princípio de indução finita vale para todo n ℕ e x 1 a desigualdade 1 xn 1 nx xyZ ímpares mostre que x²y³ é par mas não divisível por 4 fx152xx²x²8x16 gx2x3 e fgx2x²4x1 fx 2x 3 5x 1 px x4 4x2 3x 6 p2 0 Px x 1 tem resto 3 6x² 12x 17 2x² 7x 5 x³ 6x 5 x 2