Lista 2 Resolvida- Conjuntos -2022 2

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática MTM3412 Laboratório de Matemática II Lista 2 Unidade 1 Conjuntos Profa Luciane Inês Assmann Schuh 1 Mostre que 4 23 4 23 é um número inteiro 2 Demonstre usando o Princípio da Indução Finita que 1² 2² 3² n² nn 12n 1 6 n N 3 Mostre que n k1 1 1k n 1 n N 4 Mostre que 823n 1 para todo n N 5 Mostre que 3n³ 2n para todo n N 6 Mostre que 1 xⁿ 1 nx para todo n N e x R com x 1 7 Mostre que existem infinitos números primos Dica Use o resultado se n 2 um número inteiro então existe um número primo p tal que pn 8 Quaisquer que sejam o número irracional a e o número racional b podese afirmar que a a a é irracional b a² b é racional c a b é racional d b a 2 é irracional e b 2a é irracional 9 Mostre que o produto de três inteiros consecutivos é divisível por 6 10 Sejam x y inteiros ímpares Mostre que x² y² é par mas não é divisível por 4 11 Mostre que um número natural é divisível por 3 se e somente se a soma de seus algarismos na representação na base 10 for divisível por 3 12 Defina para dois números inteiros m n mdcm n e mmcm n 13 Mostre que mdcmp np pmcdm n para m n Z e p N 14 Mostre que mdcn n 1 1 n N ou seja n e n 1 são primos entre si Seja Z 4 23 4 23 Elevar à 2 Z² 4 23 4 23² Z² 4 23 24 234 23 4 23 Z² 8 216 83 43² Z² 8 216 24 12 Z² 8 24 Z² 8 22 Z² 4 Z 2 que é um inteiro Demonstre usando o Princípio da Indução Finita que 1² 2² 3² n² nn 12n 1 6 n N Base da indução n 1 1² 11 12 1 OK É válida para n 1 Hipótese de indução HI n K Suponha que para algum K N seja válido 1² 2² K² KK 1K 2 6 Passo indutivo n K 1 1² 2² 3² K² K 1² KK 1K 2 6 K 1² KK 1K 2 K 1² continua Kk1k2 6 k1² 16 Por indução sobre n n 111 1n 1 Por congruência modular Elova 3 3 mod 8 Elova a 2 3² 1 mod 8 Elova a n 3²ⁿ 1 mod 8 Subtrai 1 3²ⁿ 1 0 mod 8 Mostre que 3n³ 2n para todo n N É equivalente a mostrar que n³ 2n é um múltiplo de 3 ou seja que é da forma 3k Por indução sobre n Base da indução n0 0³ 20 30 ok é válida para n0 Hipótese de indução HI n Suponha que para algum nN seja válido n³ 2n 3K Passo indutivo n1 n1³ 2n1 n³ 3n² 3n 1 2n 2 n³ 3n² 3n 1 2n 2 n³ 2n 3n² 3n 3 HI 3K 3n² n 1 como tratase da soma de dois múltiplos de 3 é um múltiplo de 3 como queríamos demonstrar Mostre que 1xn 1 nx para todo n ℕ e x ℝ com x 1 Por indução sobre n Base da indução n1 1x1 1x Ok É válida para n1 Hipótese de indução HI n 1xn 1nx x 1 para algum n ℕ Passo indutivo n1 1xn1 1xn1x H I 1xn1x 1nx1x 1xn1 1nxxnx2 1xn1 1 nx x nx2 Como nx2 0 temos 1xn1 1 nx x 1xn1 1 n1x como queríamos demonstrar Mostre que existem infinitos números primos Dica Use o resultado se n 2 um número inteiro então existe um número primo p tal que pn Suponha por contradição que exista um número finito de primos Sejam os p₁ p₂ p₃ pₖ Seja N o produto de todos estes primos N p₁p₂p₃pₖ o seu sucessor N1 é da forma N p₁p₂p₃pₖ 1 Portanto é primo ou é divisível por ao menos um primo mas não é divisível por p₁ p₂ p₃ pₖ Portanto a hipótese de apenas p₁ p₂ pₖ serem primos é um absurdo Logo existem infinitos números primos Quaisquer que sejam o número irracional a e o número racional b podese afirmar que Sejam n n 1 e n 2 três inteiros consecutivos então Seja x 2k₁ 1 e y 2k₂ 1 então Mostre que um número natural é divisível por 3 se e somente se a soma de seus algarismos na representação na base 10 for divisível por 3 Seja n αnα2α1α0 um número divisível por 3 então n α0 10α1 102α2 10nαn n α0 91α1 991α2 9991αn n α0 α1 αn 9α1 11α2 111αn É divisível por 3 Portanto n é divisível por 3 se e somente se a soma dos algarismos for divisível por 3 Defina para dois números inteiros m n mdcm n e mmcm n Um número d 1 é máximo divisor comum de m n se dm e dn d é divisível por todo divisor comum de m e n Um número M 0 é mínimo múltiplo comum dos números m n se Mm e Mn M é divisor de todo múltiplo comum dos números m n Seja d mdcmp np então d mp x np y d pmx ny mdcm m d pmdcm n Mostre que mdcnn 1 1 n ℕ ou seja n e n 1 são primos entre si Temos que d mdcnn 1 Aplicando a propriedade mdcab mdcaba temos d mdcnn 1 n d mdcn1 d 1