Lista de Exercícios para Entregar 2 Resolvida-2022 2

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática MTM3412 Laboratório de Matemática II Lista de Exercícios para Entregar 2 Profa Luciane Inés Assmann Schuh 1 Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência de equação 2x² 2y² 4x 1 0 e é perpendicular a reta da equação x 2y 1 0 2 Determinar a interseção da circunferência x² y² 17 com a hipérbole x² y² 1 3 Resolve as equações ou inequações a 2 log₃ xlog₃ x log₃ x1 log₃ x 2 b 3²ˣ¹ 2³ˣ¹ 4 A soma dos termos de ordem ímpar de uma PG infinita é 20 e a soma dos termos de ordem par é 10 Obter o primeiro termo 5 Determinar o primeiro termo e a razão de uma PA de 60 termos em que a soma dos 59 termos iniciais é 12 e a soma dos últimos termos é 130 6 Determinar x tal que x 1 2 x 3x 2x 0 1 1 3x x 1 2x 4 x 7 Resolver o sistema 2 x 1y 1z 1 1x 1y 1z 0 3x 2y 1z 4 8 Determinar o valor de a para que o sistema abaixo seja indeterminado e calcular a solução x 3y 2z 0 2x 5y az 0 3x 7y z 0 9 Um químico possui 10 tipos de substâncias De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se entre as dez duas somente não podem ser juntas porque produzem mistura explosiva 10 Uma bolinha contém 100 bolinhas numeradas de 1 a 100 Uma bolinha é escolhida e observado seu número Admitindose probabilidades iguais a 1100 para todos os eventos elementares qual a probabilidade de a Observamos um múltiplo de 6 e 8 simultaneamente b Observamos um múltiplo de 6 ou de 8 c Observamos um número não múltiplo de 5 Equação da circunferência 2𝑥2 2𝑦2 4𝑥 1 0 Vamos reescrever a equação para deixar na for geral 2𝑦 02 2𝑥2 4𝑥 1 0 2𝑦 02 2𝑥2 2𝑥 1 0 2𝑦 02 2𝑥2 2𝑥 1 1 1 0 2𝑦 02 2𝑥2 2𝑥 2 1 0 2𝑦 02 2𝑥2 2𝑥 1 1 0 2𝑦 02 2𝑥 12 1 0 2𝑦 02 2𝑥 1 2 1 0 2𝑦 02 2𝑥 1 2 1 𝑦 02 𝑥 1 2 1 2 𝑦 02 𝑥 1 2 1 2 2 A circunferência está centrada em 𝑥 𝑦 10 e tem raio 𝑟 1 2 Equação da reta dada no enunciado 𝑠 𝑥 2𝑦 1 0 𝑦 1 2 𝑥 1 2 O coeficiente angular dessa reta é 𝑚𝑠 1 2 A reta t que estamos procurando é perpendicular à s isto é tem coeficiente angular 𝑚𝑡 1 𝑚𝑠 1 1 2 2 A equação da reta t será 𝑦 𝑦0 𝑚𝑡𝑥 𝑥0 Esta reta passa pelo ponto de centro da circunferência então vamos escrever 𝑦 0 2𝑥 1 Logo 𝑡 𝑦 2𝑥 2 Isolando 𝑥2 nas duas equações 𝑥2 17 𝑦2 𝑥2 1 𝑦2 Agora vamos igualar 17 𝑦2 1 𝑦2 Isolando 𝑦2 2𝑦2 1 17 16 2𝑦2 16 𝑦 16 2 8 22 Vamos usar estes valores de y na equação da hipérbole 𝑥2 𝑦2 1 𝑦 22 𝑥2 22 2 1 𝑥2 8 1 𝑦 22 𝑥2 9 𝑥 9 3 Então temos 4 pontos em que as equações se interceptam 𝐴 3 22 𝐵 3 22 𝐶 3 22 𝐷 3 22 x² y² 17 x² y² 1 a Vamos reescrever a expressão para deixar tudo sobre o mesmo denominado no lado esquerdo 2 log3𝑥 log3𝑥 log3𝑥 1 log3𝑥 2 2 log3𝑥1 log3𝑥 log3𝑥 1 log3𝑥 log3𝑥 log3𝑥 1 log3𝑥 log3𝑥 2 2 2 log3𝑥 log3𝑥 log3𝑥2 log3𝑥2 1 log3𝑥 log3𝑥 2 2 3 log3𝑥 2log3𝑥2 1 log3𝑥 log3𝑥 2 Multiplicando ambos os lados por 1 log3𝑥 log3𝑥 2 3 log3𝑥 2log3𝑥2 21 log3𝑥 log3𝑥 2 3 log3𝑥 2log3𝑥2 2 log3𝑥 2log3𝑥2 Rearranjando 2 3 log3𝑥 2 log3𝑥 2log3𝑥2 2log3𝑥2 2 log3𝑥 0 log3𝑥 2 Pela propriedade log𝑎𝑏 𝑘 𝑎𝑘 𝑏 log3𝑥 2 32 𝑥 𝑥 1 32 1 9 b 32𝑥1 23𝑥1 Vamos aplicar logaritmo natural em todos os termos com a propriedade ln𝑎𝑏 𝑏 ln𝑎 ln32𝑥1 ln23𝑥1 2𝑥 1 ln3 3𝑥 1 ln2 2𝑥 ln3 ln3 3𝑥 ln2 ln2 Vamos colocar tudo o que tem x do esquerdo 2𝑥 ln3 3𝑥 ln2 ln3 ln2 Para o lado direito vamos usar ln𝑎 ln𝑏 ln𝑎𝑏 𝑥2 ln3 3 ln2 ln3 2 𝑥2 ln3 3 ln2 ln6 Para o lado esquerdo vamos usar ln𝑎𝑏 𝑏 ln𝑎 para cada um dos termos dentro dos colchetes 𝑥ln32 ln23 ln6 𝑥ln9 ln8 ln6 Usando ln𝑎 ln𝑏 ln 𝑎 𝑏 𝑥 ln9 8 ln6 Assim 𝑥 ln6 ln 9 8 𝑥 1521 Como a soma dos termos pares é igual a 10 e a soma dos termos ímpares vale 20 a soma total é 30 e podemos escrever 𝑆 𝑎 1 𝑞 𝑎 𝑎𝑞 𝑎𝑞2 𝑎𝑞3 𝑎𝑞4 30 Queremos o primeiro termo que é ímpar Ímpares 𝑆𝐼 𝑎 1 𝑞2 20 Então 𝑆 𝑆𝐼 𝑎 1 𝑞 𝑎 1 𝑞2 𝑎 1 𝑞 1 𝑞2 𝑎 30 20 𝑆 𝑆𝐼 1 𝑞2 1 𝑞 30 20 3 2 𝑆 𝑆𝐼 1 𝑞1 𝑞 1 𝑞 3 2 1 𝑞 3 2 𝑞 3 2 1 1 2 Usando a expressão geral 𝑆 𝑎 1𝑞 30 𝑆 𝑎 11 2 30 𝑎 1 2 30 2𝑎 30 𝑎 30 2 15 Logo 𝑆 15 1 1 2 15 15 1 2 15 1 2 2 30 O primeiro termo é 𝑎 15 P A 𝑎1 𝑎2 𝑎59 𝑎60 Soma dos 59 termos iniciais 𝑎1 𝑎2 𝑎59 12 Soma dos 59 últimos termos 𝑎2 𝑎59 𝑎60 130 Fazendo a segunda soma menos a primeira 𝑎60 𝑎1 130 12 118 Então podemos escrever 𝑎1 59𝑟 𝑎1 118 A razão da PA é 𝑟 118 59 2 Usando a fórmula geral da P A 𝑎59 𝑎1 𝑎5959 𝑟 𝑎1 𝑎5959 2 12 𝑎1 𝑎1 2 5859 𝑟 𝑎1 𝑎1 2 5859 2 2 12 𝑎1 𝑎1 2 5859 2𝑎1 11659 24 59 2𝑎1 116 2𝑎1 24 59 116 24 59 116 59 6820 59 𝑎1 6820 2 59 6820 118 3410 59 O primeiro termo é 𝑎1 3410 59 E a razão é 𝑟 2 Os determinantes das duas matrizes devem ser iguais Matriz 3x3 𝑑𝑒𝑡 𝑥 112𝑥 𝑥 11 213𝑥 02𝑥 𝑥0𝑥 1 13𝑥 𝑑𝑒𝑡 𝑥 12𝑥 𝑥 1 23𝑥 𝑥3𝑥 𝑑𝑒𝑡 3𝑥2 𝑥 3𝑥 1 6𝑥 3𝑥2 𝑑𝑒𝑡 8𝑥 1 Matriz 2x2 𝑑𝑒𝑡 3𝑥𝑥 2𝑥4 3𝑥2 8𝑥 Igualando as expressões 8𝑥 1 3𝑥2 8𝑥 Cortando 8𝑥 em ambos os lados 3𝑥2 1 Isolando x 𝑥 1 3 1 3 Vamos somar as duas primeiras equações 2 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 0 2 𝑥 1 𝑥 1 3 𝑥 1 𝑥 3 Vamos somar a primeira e a terceira equações 2 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 3 𝑥 2 𝑦 1 𝑧 1 4 2 𝑥 1 𝑦 3 𝑥 2 𝑦 3 Usando o valor de x calculado 2 3 1 𝑦 1 2 𝑦 3 3 𝑦 3 1 2 3 14 3 𝑦 9 14 Usando a segunda equação 1 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 0 1 𝑧 1 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 3 1 9 14 1 3 14 9 3 14 9 17 9 𝑧 17 9 Vamos escrever em forma de matriz Matriz estendida Vamos reescrever a segunda linha como 𝐿2 𝐿2 2𝐿1 E a terceira linha como 𝐿3 𝐿3 3𝐿1 Agora fazemos 𝐿3 𝐿3 2𝐿2 Como 2𝑎 3𝑧 0 e 𝑧 0 temos 2𝑎 3 𝑎 3 2 Então podemos escrever Daqui podemos perceber que 𝑧 𝑧 infinitas soluções 𝑦 5 2 𝑧 0 𝑦 5 2 𝑧 𝑥 3𝑦 𝑧 0 𝑥 3𝑦 2𝑧 3 5 2 𝑧 2𝑧 11 2 𝑧 O conjunto solução para este sistema indeterminado é Combinação de 6 substâncias com 10 disponíveis 𝐶𝑇 10 6 10 6 10 9 8 7 6 6 4 10 9 8 7 4 5040 4 3 2 1 5040 24 210 Esse é o número total de combinações possíveis de 6 em 6 substâncias Existem 2 delas que não podem ficar lado a lado Então vamos calcular quantas são essas possibilidades e depois subtrair esse número do número total Fixando 2 substâncias sobram 4 vagas e 8 possibilidades 𝐶 8 484 87654 44 8765 4 8765 4321 70 Assim 𝐶𝑇 𝐶 210 70 140 a Precisamos calcular o mmc de 6 e 8 𝑚𝑚𝑐 2 2 2 3 24 De 1 a 100 temos 4 múltiplos A probabilidade é 𝑃 4 100 1 25 4 b Múltiplos de 6 𝑛6 16 Múltiplos de 8 𝑛8 12 Vamos excluir as possibilidades de múltiplos simultâneos 𝑛6 𝑜𝑢 8 16 12 4 24 Probabilidade 𝑃 24 100 24 c Múltiplos de 5 𝑛5 20 Probabilidade 𝑃 100 20 100 80