Lista 2 Unidade 1 - Conjuntos- Resolvida-2022 2

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática MTM3412 Laboratório de Matemática II Lista 2 Unidade 1 Conjuntos Profa Luciane Inês Assmann Schuh 1 Mostre que 4 23 4 23 é um número inteiro 2 Demonstre usando o Princípio da Indução Finita que 1² 2² 3² n² nn 12n 16 n N 3 Mostre que from k1 to n1 1k n 1 n N 4 Mostre que 83n 1 para todo n N 5 Mostre que 3n³ 2n para todo n N 6 Mostre que 1 xⁿ 1 nx para todo n N e x R com x 1 7 Mostre que existem infinitos números primos Dica use o resultado se n 2 um número inteiro então existe um número primo p tal que pn 8 Quaisquer que sejam o número irracional a e o número racional b podese afirmar que a a a é irracional b a² b é racional c a b é racional d b a 2 é irracional e b 2a é irracional 9 Mostre que o produto de três inteiros consecutivos é divisível por 6 10 Sejam x y inteiros ímpares Mostre que x² y² é par mas não é divisível por 4 11 Mostre que um número natural é divisível por 3 se e somente se a soma de seus algarismos na representação na base 10 for divisível por 3 12 Defina para dois números inteiros m n mdcm n e mmcm n 13 Mostre que mdcmp np pmcdm n para m n Z e p N 14 Mostre que mdcn n 1 1 n N ou seja n e n 1 são primos entre si 1 4 23 4 23 4 23 4 23 1 3 23 1 23 3 1 3² 1 3 1 3 4 23 1 3 23 1 23 3 1² 213 3² 1 3² 1 3 4 23 4 23 1 3 1 3 1 3 1 3 23 n 1 1² 1 66 126 1236 11 12 16 Supõese que 1² n² nn 12n 16 ¹² n² n 1² 1² n² n 1n 1 nn 12n 16 n 1n 1 n 1nn 1 2n 16 n 12n² 7n 66 n 1n2n 3 22n 3 n 1n 1n 22n 36 n 1n 12n 1 16 prodk1n left1frac1kright prodk1n frack1k frac111 cdot frac212 cdot frac313 cdots fracn11n1 cdot fracn1n n 1 32n1 32n cdot 1 9n1 81n1 n32n 3qr323qr 27q33cdot 9q2r3cdot 3q r2r36q2r 27q327q2r9qr26rr32r c Falso 2 1 2 I d Falso 1 2 2 1 Q e Verdadeiro a I 2a II b 2a II 9 n Z n 1n 1 nn 1n 1 nn² 1 n³ n q Z r 0 1 2 3 4 5 r q n 6q r n³ n 6q r³ 6q r 216q³ 336q²r 36qr² r³ r 216q³ 108q²r 18qr² 6q r dividido por 6 r 0 r³ r 0 6 n³ n r 1 r³ r 0 6 n³ n r 2 r³ r 8 2 6 6 n³ n r 3 r³ r 27 3 24 6 n³ n r 4 r³ r 64 4 60 6 n³ n r 5 r³ r 125 5 120 6 n³ n 6 n³ n 10 m n Z tais que x 2m 1 y 2n 1 x² 4m² 4m 1 y² 4n² 4n 1 x² y² 4m² m n² n 2 22m² m n² n 1 por dividido por 4 x² y² não é divisível por 4 3 n 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 tais que d₀ dₖ e dₒ 3 d₁ d₂ dₖ tal que n d₀ 10d₁ 10²d₂ 10ᵏdₖ para algum k N d₀ 99d₂ 99 1dₖ k dígitos 9d₂ 99d₂ gₗ dₖ d₀ d₁ d₂ dₖ k dígitos dividido por 3 Como 3 n e 3 9d₂ 990₂ 3 d₀ d₁ dₖ 3 d₀ d₁ dₖ 3 d₀ 10d₁ 10²d₂ 10ᵏdₖ n 1 mdcmn es tal que a mdcmn mdcmn mn b si d m d n d mdcmn 2 mmcmn es tal que a m mmcmn n mmcmn b m d n d mmcmn d 3 a b ℤ tal que mn am dcmn b y mdcab 1 Ley de d ℕ tal que d n d n1 Como d n d n1 d 1 d 1 Como d es arbitrario cualquier divisor común entre n y n1 es 1 e 1 mdcn n1 1