Lista 4 Resolvida-2022 2

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciˆencias Fısicas e Matematicas Departamento de Matematica MTM3412 Laboratorio de Matematica II Lista 4 Unidade 2 Funcoes Profa Luciane Inˆes Assmann Schuh 1 Considere a funcao fx x2 7x 12 Determine o conjunto de todos os pontos para os quais a funcao e crescente E em quais pontos a funcao e decrescente 2 Seja f uma funcao afim definida por fx kx 1 Se f e crescente e ff2 0 qual e o valor de 2k 3 Dadas as funcoes fx x 3 e gx x2 1 qual e o valor de g f0 4 Sejam as funcoes reais fx 2x 7 e f gx x2 2x 3 Determinar a lei de formacao da funcao g 5 Sejam as funcoes reais gx 2x 3 e f gx 2x2 4x 1 Determinar a lei de formacao da funcao f 6 Uma funcao f e definida no conjunto A e tem imagem no conjunto B Sabese que A tem 2K 2 elementos e B tem K 3 elementos Se f e injetora quais sao os possıveis valores de K 7 Determine o valor de b e B y Ry b de modo que a funcao f definida de R em B definida por fx x2 4x 6 seja sobrejetora 8 Sejam f A B e g B C funcoes tais que fA B Se as funcoes f e g sao injetivas Mostre que g f tambem e injetora 9 Sejam f A B e g B C funcoes sobrejetoras Mostre que g f tambem e sobrejetora 10 Seja f A B uma funcao a Mostre que f e injetiva se e somente se existe g B A tal que g f IdA b Mostre que f e sobrejetiva se e somente se existe g B A tal que f g IdB c Mostre que f e bijetiva se e somente se existe g B A tal que g f IdA e h B A tal que f h IdB neste caso g h e e a unica funcao que satisfaz as condicoes estabelecidas 11 Qual e o valor de a para que a funcao inversa de fx 3x a seja gx x 3 1 12 Seja f uma funcao real definida por fx mxp Se o grafico de f passa pelos pontos 0 4 e 3 0 por qual dos pontos a seguir passa o grafico da funcao inversa de f a 8 4 b 8 3 c 8 2 d 8 3 e 8 2 13 Determine uma restricao de domınio e contradomınio de forma que a funcao fx x2 5x 6 seja bijetiva Encontre sua inversa neste caso 14 Seja fx 2x3 5x1 Restrinja o domınio e contradomınio da funcao de tal forma que a mesma possua inversa Neste caso sabese que a inversa de f e uma funcao que pode ser escrita da forma f 1x xb cxd Determine o valor de b c d 15 Uma funcao f R R e dita ser par se fx fx para todo x R e e ımpar se fx fx para todo x R Mostre que toda funcao f R R pode ser escrita como a soma de uma funcao par e de uma funcao ımpar 16 Assinale as alternativas corretas a Se f e uma funcao continua e crescente no intervalo a b entao f tem sua inversa f 1 definida no intervalo fa fb b Se f e uma funcao inversıvel e o grafico de f passa pelo ponto 1 3 entao o grafico de f 1 passa pelo ponto 1 13 c A funcao fx x2 x e par d Se f e g sao funcoes ımpares entao f g e uma funcao impar e Se f e par e g e ımpar entao fg e par 17 Considere as funcoes f g e h de R em R dadas por fx x3 1 gx 3x e hx x 1 Podese afirmar que a f g nao e invertıvel b f e sobrejetiva c g g e invertıvel d g h e a funcao inversa de f e h g e a funcao inversa de f 1 Considere a função 𝑓𝑥 𝑥2 7𝑥 12 Determine o conjunto de todos os pontos para os quais a função é crescente E em quais pontos a função é decrescente Raízes de 𝑓𝑥 𝑥2 7𝑥 12 0 𝑥 7 72 4 112 2 1 7 49 48 2 7 1 2 7 1 2 𝑥 4 𝑥 3 Seja 𝑓𝑥 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 um polinômio de grau 2 Sabendo que o sinal de 𝑎 nos denota a concavidade do gráfico da função 𝑐 é onde o gráfico de 𝑓 cruza o eixo 𝑦 e os valores encontrados acima são onde o gráfico intercepta o eixo 𝑥 temos o gráfico de 𝑓 Veja que o ponto 𝑥𝑉 que nos denota a coordenada 𝑥 do vértice da parábola é o ponto de máximo do gráfico da função Assim como 𝑎 1 0 como visto no gráfico a concavidade da parábola é para baixo Logo antes do 𝑥𝑉 temos que 𝑓 é 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 enquanto depois de 𝑥𝑉 𝑓 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒 Matematicamente 𝑥𝑉 𝑏 2𝑎 7 2 1 7 2 35 Assim seja 𝐷1 o conjunto de todos os pontos onde a 𝑓 é crescente 𝑫𝟏 𝒙 ℝ 𝒙 𝟕 𝟐 De maneira análoga 𝐷2 é o conjunto de todos os pontos onde 𝑓 é decrescente 𝑫𝟐 𝒙 ℝ 𝟕 𝟐 𝒙 2 Seja 𝑓 uma função afim definida por 𝑓𝑥 𝑘𝑥 1 Se 𝑓 é crescente e 𝑓𝑓2 0 qual é o valor de 2𝑘 Temos que 𝑓𝑥 𝑘𝑥 1 Fazendo 𝑓𝑓𝑥 temos 𝑓𝑘𝑥 1 𝑘𝑘𝑥 1 1 𝑘2𝑥 𝑘 Para 𝑥 2 temos que 2𝑘2 𝑘 0 Não é necessário usar Bhaskara para resolver essa equação Veja que os dois termos dessa equação algébrica possuem fatores em comum Basta colocar esse fator comum em evidencia 2𝑘2 𝑘 𝑘2𝑘 1 0 Temos um produto igual a 0 Assim 𝑘 0 ou 2𝑘 1 0 𝑘 1 2 𝑘 0 𝑘 0 𝑘 0 Quando o enunciado garante que 𝑓 é crescente ele está nos informando a natureza do valor 𝑘 Lembra no exercício 1 eu falando da natureza do número 𝑎 da parábola Aqui o valor 𝑘 tem mais ou menos o mesmo sentido observe os gráficos Assim note que se 𝑘 0 temos que a função 𝑓 é constante Não implica nenhum crescimento na mesma Logo consideraremos como relevante o valor 𝑘 1 2 0 Assim 2𝑘 2 1 2 𝟐 3 Dadas as funções 𝑓𝑥 𝑥 3 e 𝑔𝑥 𝑥2 1 qual é o valor de 𝑔 𝑓0 Condição de existência de uma função composta O contradomínio de 𝑓 deve ser igual ao domínio da 𝑔 Assim veja que o contradomínio da 𝑓 é dada por 𝐶𝐷𝑓 ℝ Domínio de 𝑔 𝐷𝑔 ℝ Assim assumindo que 𝐷𝑔 ℝ isto é considerando apenas os valores positivos de 𝑥 𝐷𝑔 temos 𝑔 𝑓𝑥 𝑔𝑓𝑥 𝑥 3 2 1 𝑥 3 1 𝑥 2 Assim 𝑔 𝑓0 0 2 𝟐 4 Sejam as funções reais 𝑓𝑥 2𝑥 7 e 𝑓 𝑔𝑥 𝑥2 2𝑥 3 Determinar a lei de formação da função 𝑔 Olha que besta Temos que 𝑓𝑥 2𝑥 7 Se eu trocar 𝑥 por 𝑔𝑥 temos que 𝑓𝑔𝑥 2𝑔𝑥 7 Sabendo que 𝑓𝑔𝑥 𝑓 𝑔𝑥 assim 2𝑔𝑥 7 𝑥2 2𝑥 3 Agora basta isolar 𝑔 2𝑔𝑥 𝑥2 2𝑥 3 7 𝑔𝑥 𝑥2 2𝑥 4 2 𝒈𝒙 𝒙𝟐 𝟐 𝒙 𝟐 5 Sejam as funções reais 𝑔𝑥 2𝑥 3 e 𝑓 𝑔𝑥 2𝑥2 4𝑥 1 Determinar a lei de formação da função 𝑓 De maneira análoga ao exercício passado Se 𝑔𝑥 2𝑥 3 e 𝑓𝑔𝑥 2𝑥2 4𝑥 1 temos que fazendo 𝑔𝑥 𝑢 2𝑥 3 temos que 𝑥 𝑢 3 2 Substituindo em 𝑓𝑔𝑥 temos 𝑓𝑢 2 𝑢 3 2 2 4 𝑢 3 2 1 𝑢 32 2 2𝑢 3 1 𝑢2 6𝑢 9 2 2𝑢 6 1 Assim 𝑓𝑢 𝑢2 2 6𝑢 2 9 2 2𝑢 5 𝑓𝑢 𝑢2 2 3𝑢 9 2 2𝑢 5 𝑓𝑢 𝑢2 2 𝑢 1 2 Voltando 𝑢 para 𝑥 temos que 𝒇𝒙 𝒙𝟐 𝟐 𝒙 𝟏 𝟐 6 Uma função 𝑓 é definida no conjunto 𝐴 e tem imagem no conjunto 𝐵 Sabese que 𝐴 tem 2𝐾 2 Elementos e 𝐵 tem 𝐾 3 elementos Se 𝑓 é injetora quais são os possíveis valores de 𝐾 Temos que por definição uma função é injetora é quando o número de elementos do domínio é menor ou igual ao número de elementos da imagem isto é 𝑛𝐴 𝑛𝐵 2𝐾 2 𝐾 3 2𝐾 𝐾 2 3 𝐾 5 Considerando que 𝐴 tem pelo menos 1 elemento então 𝟏 𝑲 𝟓 7 Determine o valor de 𝑏 e 𝐵 𝑦 ℝ𝑦 𝑏 de modo que a função 𝑓 definida de ℝ em 𝐵 definida por 𝑓𝑥 𝑥2 4𝑥 6 seja sobrejetora Para uma função ser sobrejetora temos que considerar que o contradomínio da função coincida com a imagem da mesma Assim vamos esboçar o gráfico de 𝑓 onde 𝑎 1 0 concavidade para cima 𝑏2 4𝑎𝑐 16 24 8 0 não tem solução real o grafico nao toca o eixo 𝑥 𝑦𝑉 4𝑎 8 4 2 Assim O contradomínio da 𝑓 é o próprio eixo 𝑦 Para que 𝑓 seja sobrejetora devemos forçar que 𝐵 𝐼𝑚𝑓 isto é 𝒃 𝟐 Assim 𝒇 ℝ 𝑩 𝒇𝒙 𝒙𝟐 𝟒𝒙 𝟔 𝑩 𝒚 ℝ𝒚 𝟐 8 Sejam 𝑓 𝐴 𝐵 e 𝑔 𝐵 𝐶 funções tais que 𝑓𝐴 𝐵 Se as funções 𝑓 e 𝑔 são injetivas mostre que 𝑔 𝑓 também é injetora Sejam 𝑥1 𝑥2 𝐴 𝑥1 𝑥2 Como 𝑓 é injetiva temos que 𝑓𝑥1 𝑓𝑥2 De maneira análoga a 𝑔 Sejam 𝑦1 𝑦2 𝐵𝑦1 𝑦2 Como 𝑔 é injetiva temos que 𝑔𝑦1 𝑔𝑦2 Assim teremos consequentemente que como 𝑓𝐴 𝐵 então 𝑦1 𝑓𝑥1 e 𝑦2 𝑓𝑥2 Assim tomando 𝑔𝑓𝑥1 𝑔𝑓𝑥2 Tornando 𝑔 𝑓 injetora também 9 Sejam 𝑓 𝐴 𝐵 e 𝑔 𝐵 𝐶 funções sobrejetoras Mostre que 𝑔 𝑓 também é sobrejetora Considerando as seguintes verdades temos 𝑔 é sobrejetora 𝑦 𝐵 𝑔𝑦 𝑧 𝑓 é sobrejetora 𝑥 𝐴 𝑓𝑥 𝑦 Assim temos que 𝑔 𝑓𝑥 𝑔𝑓𝑥 𝑔𝑦 𝑧 Tornando 𝑔 𝑓𝑥 sobrejetora 10 Seja 𝑓 𝐴 𝐵 uma função a Mostre que 𝑓 é injetiva se e somente se existe 𝑔 𝐵 𝐴 tal que 𝑔 𝑓 𝐼𝑑𝐴 b Mostre que 𝑓 é sobrejetiva se e somente se existe 𝑔 𝐵 𝐴 tal que 𝑓 𝑔 𝐼𝑑𝐵 c Mostre que 𝑓 é bijetiva se e somente se existem 𝑔 𝐵 𝐴 tal que 𝑔 𝑓 𝐼𝑑𝐴 e ℎ𝐵 𝐴 tal que 𝑓 𝑔 𝐼𝑑𝐵 neste caso 𝑔 ℎ é a única função que satisfaz as condições estabelecidas 11 Qual é o valor de 𝑎 para que a função inversa de 𝑓𝑥 3𝑥 𝑎 seja 𝑔𝑥 𝑥 3 1 Todo polinômio de grau impar é bijetora e consequentemente invertível Assim para 𝑦 3𝑥 𝑎 E 𝑦 𝑥 3 1 Temos 𝑦 3𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 3𝑥 𝑥 𝑦 𝑎 3 Trocando 𝑥 por 𝑦 temos 𝑦 𝑥 𝑎 3 𝑥 3 𝑎 3 Assim 𝑥 3 𝑎 3 𝑥 3 1 𝑎 3 1 𝒂 𝟑 12 Seja 𝑓 uma função real definida por 𝑓𝑥 𝑚𝑥 𝑝 Se o gráfico de 𝑓 passa pelos pontos 0 4 e 3 0 por qual dos pontos a seguir passa o gráfico da função inversa de 𝑓 a84 b83 c8 2 d8 3 e32 Simples Sabendo que uma reta pode ser definida por dois pontos temos que Para 𝑥 0 e 𝑦 𝑓0 4 temos 4 0 𝑚 𝑝 𝑝 4 Assim 𝑓𝑥 𝑚𝑥 4 Agora tomando 𝑥 3 𝑦 𝑓3 0 temos 0 3𝑚 4 𝑚 4 3 Assim 𝑓𝑥 4𝑥 3 4 Sabese que toda função dada por um polinômio de primeiro grau é bijetora sendo consequentemente invertível Assim 𝑦 4𝑥 3 4 𝑦 4𝑥 3 12 3 3𝑦 4𝑥 12 3𝑦 12 4𝑥 𝑥 3𝑦 12 4 Assim trocando 𝑥 por 𝑦 𝑓1𝑥 3𝑥 4 3 Assim basta testar os pontos acima e ver qual satisfaz a equação 𝑦 3𝑥 4 3 Para 84 4 3 8 4 3 3 2 3 6 3 3 4 3 Naaaaah Para 83 3 3 8 4 3 3 2 3 3 3 3 Naaaaah Para 8 2 2 3 8 4 3 6 3 3 2 3 Naaaaah Para 8 3 3 3 8 4 3 6 3 3 3 3 Costuma ser rs Para 82 2 3 8 4 3 6 3 3 2 3 Naaaaah Assim o ponto é 𝟖 𝟑 13 Determine uma restrição de domínio e contradomínio de forma que a função 𝑓𝑥 𝑥2 5𝑥 6 seja bijetiva Encontre sua inversa neste caso Temos que 𝑓𝑥 𝑥2 5𝑥 6 C o m o a c o n c a v i d a d e d e s s a p a r á b o l a é p a r a c i 𝑦𝑉 4𝑎 𝑏2 4𝑎𝑐 4𝑎 52 4 1 6 2 25 24 2 1 2 Assim tomando o contradomínio igual a imagem garantimos que a 𝑓𝑥 seja sobrejetora Para a mesma ser injetora veja que 𝑥 𝑥𝑉 é o eixo de simetria dessa parábola dado por 𝑥𝑉 𝑏 2𝑎 5 2 Podemos restringir o gráfico de 𝑓 em duas situações 𝐷𝑓 𝑥 ℝ𝑥 𝑥𝑉 ou 𝐷𝑓 𝑥 ℝ𝑥 𝑥𝑉 Os dois garantem a injetividade da 𝑓 Assim 𝑓𝑥 𝑥2 5𝑥 6 se torna bijetora Para a primeira condição de injetividade 𝑦 𝑥2 5𝑥 6 Lembrando que 𝑎 𝑏2 𝑎2 2𝑎𝑏 𝑏2 𝑦 𝑥2 5𝑥 6 𝑥2 5𝑥 25 4 25 4 6 𝑥 5 2 2 1 4 Assim 𝑦 1 4 𝑥 5 2 2 𝑦 1 4 𝑥 5 2 Considerando 𝑥 𝑥𝑉 𝑦 1 4 𝑥 5 2 𝑥 5 2 𝑦 1 4 𝒇𝟏𝒙 𝟓 𝟐 𝒙 𝟏 𝟒 Considerando 𝑥 𝑥𝑉 𝑦 1 4 𝑥 5 2 𝑥 5 2 𝑦 1 4 𝒇𝟏𝒙 𝟓 𝟐 𝒙 𝟏 𝟒 Observe os gráficos 14 Seja 𝑓𝑥 2𝑥 3 5𝑥 1 Restrinja o domínio e contradomínio da função de tal forma que a mesma possua inversa Neste caso sabese que a inversa de 𝑓 é uma função que pode ser escrita da forma 𝑓1𝑥 𝑥 𝑏 𝑐𝑥 𝑑 Determine o valor de 𝑏 𝑐 𝑑 Temos que 𝑓𝑥 2𝑥 3 5𝑥 1 Domínio 𝐷𝑓 𝑥 ℝ𝑥 1 5 Imagem Para 𝑦 𝑓𝑥 temos 𝑦 2𝑥 3 5𝑥 1 𝑦5𝑥 1 2𝑥 3 5𝑥𝑦 2𝑥 𝑦 3 𝑥5𝑦 2 𝑦 3 𝑥 𝑦 3 5𝑦 2 Assim 𝐼𝑚𝑓 𝑦 ℝ𝑦 2 5 Veja que 𝑓𝑥 é injetora Para ser sobrejetora tomaremos que 𝐶𝐷𝑓 𝐼𝑚𝑓 𝑦 ℝ𝑦 2 5 Assim como feito acima trocando 𝑥 por 𝑦 temos que 𝒇𝟏𝒙 𝒙 𝟑 𝟓𝒙 𝟐 Finalmente 𝑏 𝑐 𝑑 3 5 1 𝟕 15 Uma função 𝑓 ℝ ℝ é dita ser par se 𝑓𝑥 𝑓𝑥 para todo x R e é ímpar se 𝑓𝑥 𝑓𝑥 para todo 𝑥 ℝ Mostre que toda função 𝑓 ℝ ℝ pode ser escrita como a soma de uma função par e de uma função ímpar Esse é interessante Tomando 𝑔𝑥 e 𝑔𝑥 funções onde 𝑔 é par e ℎ é impar isto é 𝑔𝑥 𝑔𝑥 ℎ𝑥 ℎ𝑥 Partindo da hipótese que 𝑓𝑥 𝑔𝑥 ℎ𝑥 Assim 𝑓𝑥 𝑔𝑥 ℎ𝑥 𝑔𝑥 ℎ𝑥 Assim considere o seguinte sistema 𝑓𝑥 𝑔𝑥 ℎ𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 ℎ𝑥 Resolvendo esse sistema onde as incógnitas são 𝑔𝑥 e ℎ𝑥 temos 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑓𝑥 2 Que de fato é par Se trocarmos 𝑥 por 𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑓𝑥 2 𝑓𝑥 𝑓𝑥 2 ℎ𝑥 𝑓𝑥 𝑓𝑥 2 Que de fato é impar pois ℎ𝑥 𝑓𝑥 𝑓𝑥 2 𝑓𝑥 𝑓𝑥 2 𝑓𝑥 𝑓𝑥 2 Veja que alterou o sinal apenas Assim se podemos confirmar que 𝑔𝑥 é par e ℎ𝑥 é impar 𝑔𝑥 ℎ𝑥 𝑓𝑥 𝑓𝑥 2 𝑓𝑥 𝑓𝑥 2 2𝑓𝑥 2 𝑓𝑥 Provado 16 Assinale as alternativas corretas a Se 𝑓 é uma função continua e crescente no intervalo 𝑎 𝑏 então 𝑓 tem sua inversa 𝑓1 definida no intervalo 𝑓𝑎 𝑓𝑏 Verdadeiro pois para uma 𝑓 𝐴 𝐵 𝑎 𝑏 𝐴 e 𝑓𝑎 𝑓𝑏 𝐵 Assim como a inversa é dada por 𝑥 𝑓1𝑦 então 𝑓1 𝐵 𝐴 Verdadeiro b Se 𝑓 é uma função invertível e o gráfico de 𝑓 passa pelo ponto 1 3 então o gráfico de 𝑓1 passa pelo ponto 1 1 3 Falsa pois essa afirmação não quer dizer nada Contra exemplo Seja 𝑓𝑥 𝑥 2 A inversa dessa função é dada por 𝑓1𝑥 𝑥 2 Veja que o ponto 13 pertence a 𝑦 𝑥 2 mas o ponto 1 1 3 não pertence a 𝑦 𝑥 2 Falso c A função 𝑓𝑥 𝑥2 𝑥 é par Seja 𝑓𝑥 𝑥2 𝑥 𝑓𝑥 𝑥2 𝑥 𝑥2 𝑥 𝑓𝑥 Não é par 𝑓𝑥 𝑥2 𝑥 𝑥2 𝑥 Não é ímpar Falso d Se 𝑓 e 𝑔 são funções ímpares então 𝑓 𝑔 é uma função ímpar Para 𝑓𝑥 onde 𝑓𝑥 𝑓𝑥 e para 𝑔𝑥 onde 𝑔𝑥 𝑔𝑥 Seja ℎ𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 Assim ℎ𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 ℎ𝑥 Assim para 𝑓 e 𝑔 impar 𝑓 𝑔 é ímpar Verdadeiro e Se 𝑓 é par e 𝑔 é ímpar então 𝑓 𝑔 é par Para 𝑓𝑥 onde 𝑓𝑥 𝑓𝑥 e para 𝑔𝑥 onde 𝑔𝑥 𝑔𝑥 Seja ℎ𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 Assim ℎ𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥𝑔𝑥 Assim para 𝑓 par e 𝑔 impar 𝑓 𝑔 é ímpar Falso 17 Considere as funções 𝑓 𝑔 e ℎ de ℝ em ℝ dadas por 𝑓𝑥 𝑥3 1 𝑔𝑥 𝑥 3 e ℎ𝑥 𝑥 1 Podese afirmar que a 𝑓 𝑔 não é invertível Temos que 𝑓 ℝ ℝ e 𝑔 ℝ ℝ Assim a composição das duas é safe sendo assim 𝑓𝑔𝑥 𝑥 3 3 1 𝑥 1 Como dito anteriormente todo polinômio de grau impar é invertível sem qualquer manipulação no seu domínio Assim a letra a é falsa b 𝑓 é sobrejetiva Sim pois foi garantido que 𝑓 ℝ ℝ O contradomínio de 𝑓 é a própria imagem da função Verdadeiro c 𝑔 𝑔 é invertível 𝑔𝑔𝑥 𝑥 3 3 𝑥 1 31 3 𝑥 1 9 𝑥 9 Veja que 𝑔𝑔𝑥 também está definida em todos os reais e a sua imagem também Logo a mesma é invertível Verdadeiro d 𝑔 ℎ é a função inversa de 𝑓 𝑦 𝑥3 1 𝑦 1 𝑥3 𝑥 𝑦 1 3 𝑓1𝑥 𝑥 1 3 𝑔ℎ𝑥 ℎ𝑥 3 𝑥 1 3 𝑓1𝑥 Verdadeiro e ℎ 𝑔 é a função inversa de 𝑓 𝑓1𝑥 𝑥 1 3 ℎ𝑔𝑥 𝑔𝑥 1 𝑥 3 1 𝑥 1 3 Falso