Lista 16 Resolvida- Numeros Complexos-2022 2

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática MTM3412 Laboratório de Matemática II Lista 16 Números Complexos Profa Luciane Inés Assmann Schuh 1 Seja z1 4 x 2i z2 x 2y 6i e z3 y 2x yi Determine os valores dos números reais x e y de modo que z1 z2 z3 4 8i 2 A soma das raízes distintas da equação z² 2Rz 1 0 onde z ℂ e Rz denota a parte real de z é igual a a 0 b 1 c 1 d 2i e 2i 3 Considere z w números complexos arbitrários e u z w z w então o conjugado de u será necessariamente a Igual a z w b Um número imaginário puro c Igual ao dobro da parte real de z w d Igual ao dobro da parte real do número z w e Diferente de u 4 Encontre o valor real de b de modo que o quociente 2 bi 1 i seja um número real 5 Se S i i² i³ i²003 em que i² 1 Determine S 6 Determine o módulo do número complexo z 1 2i 3 4i 7 A soma de todas as soluções da equação em ℂ z² z² iz 1 0 é igual a a 2 b 1 2 c 0 d 1 2 e 2i 8 Determine o argumento θ de z 1 i 9 Sejam os números complexos z1 1 2 i 1 e z2 1 1 2 i Determine o argumento principal de z1 z2 10 Dentro dos números complexos z a bi não nulos que têm argumento igual a π 4 determine aquele cuja representação geométrica está sobre a parábola y x² 11 Considere os números complexos z cos π 18 i sen π 18 e z e i π 9 cos π 9 i sen π 9 a Mostre que o produto z w é igual a 3 i b Mostre que z¹⁸ é igual a 1 12 É dado 2 cos θ 1 x x Demonstre que 2 cosmθ 1 m xm 13 Determine os números complexos z de modo que z³ 8i Seja z1 4 x 2i z2 x 2y 6i e z3 y 2x yi Determine os valores dos números reais x e y de modo que z1 z2 z3 4 8i z1 z2 z3 4 8i 4 x 2i x 2y 6i y 2x yi 4 8i Somar parte real com parte real e imaginária com imaginária 4 x 2y y x 2 6 2x yi 4 8i 4 x y 3x y 8i 4 8i Comparar os membros obtendo um sistema de equações 4 x y 4 3x y 8 8 4 x y 4 3x y 8 8 Somando as eq I e II temos 4 x y 4 8 3x y 8 12 4x 12 4x 24 x 6 Substituindo x 6 em I 4 6 y 4 2 y 4 y 4 2 y 2 y 2 Solução x 6 e y 2 A soma das raizes distintas da equação z² 2Rz 1 0 onde z C e Rz denota a parte real de z é igual a 1º Caso Se a0 a²2abib²2a10 b²10 b²1 b1 Soluções i i 2º Caso Se b0 a²2a10 a1²0 a1 Soluções 1 Soma das soluções raízes S i i 1 S i i 1 S 1 1 Solução Utilizando contas Seja z a bi e W c di Então z a bi e w c di 2 Solução Utilizando propriedades u zW zW u zW zW Para efetuar a divisão de números complexos basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador Se S i i² i³ i²⁰⁰³ em que i² 1 Determine S z 1 2i 3 4i 3 4i3 4i Siga z a bi então z a² b² Determine o argumento θ de z 1 i calcular o módulo de z z 1²1² 9 Sejam os números complexos z₁ 12 i e z₂ 1 12 i Determine o argumento principal de z₁ z₂ z 2 z₁ z₂ 14 14 22 colocar 2 em evidência cos θ 22 e sen θ 22 z 1 i Z ρ cosα senαi z 212 12 i ZW cosπ18 i senπ18 2 cosπ9 i senπ9 Rationalizing Z18 cosπ i senπ z 222 22 i 2 cos θ frac1x x z 222 22 i x frac2 cos θ pm sqrt4 sen2 θ21 É o seno do argumento 2 cosmθ E é o cosseno do argumento cosmθ cosmθcosmθ cosmθsenmθi senmθi senmθsenmθi sen2mθsenmθi cos θ 22 e sen θ 22 2cos²mθ 2senmθcosmθi 2cosmθsenmθi 2sen²mθcosmθ cos²mθ sen²mθ Portanto θ 7π4 2cos²mθ 2senmθcos²mθi 2cosmθsenmθi 2sen²mθcosmθ cos²mθ sen²mθ 2a² b 1 0 Determina os números complexos z de modo que z³ 8i 2ab a 0 Zk 38 cosπ2 2kπ senπ2 2kπ i 2ab a 0 Soluções 3 i 2i 3 i a2b 1 0 a 0 ou 2b 1 0 b 12 1º Caso Se a 0 2a² b 1 0 b 1 Solução i 2º Caso Se b 12 2a² 12 a² 14 a 12 Solução 12 12 i 12 12 i