Lista 10 Resolvida- Geometria Analítica-2022 2

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciˆencias Fısicas e Matematicas Departamento de Matematica MTM3412 Laboratorio de Matematica II Lista 10 Unidade 7 Geometria Analıtica Profa Luciane Inˆes Assmann Schuh 1 Dados A8 7 e C2 3 vertices opostos de um quadrado ABCD Determine as coordenadas dos pontos B e D 2 Considere o triˆangulo ABC tal que A10 5 B15 5 e C6 7 Determine o ponto de encontro da bissetriz interna do ˆangulo A com o lado BC 3 Demonstrar que os pontos Aa 2a 1 Ba 1 2a 1 e Ca 2 2a 3 sao colineares para todo possıvel valor real de a 4 Num triˆangulo ABC retˆangulo em A de vertices Bt 1 e C3 2 o cateto que contem o ponto B e paralelo a reta de equacao 3x 4y 2 0 Determine a equacao da reta que contem o cateto AC 5 Se A0 a Ba 4 e C1 2 Para quais valores de a existe o triˆangulo ABC 6 Determinar a para que as retas de equacoes x 2y 2a 0 ax y 3 0 e 2x 2y a 0 sejam concorrentes no mesmo ponto 7 Demonstrar que as retas de equacoes 2m 1x 1 3my 1 0 onde m e uma variavel real passam por um mesmo ponto 8 Determinar os pontos da reta r y 2x que estao a uma distˆancia de 2 unidades da reta s 4x3y 0 9 Dados os pontos A1 4 B3 2 e C2 y Detrminar y para que a area do triˆangulo ABC seja 10 10 Achar a equacao da reta que passa pelo centro da circunferˆencia x32y22 8 e e perpendicular a reta x y 16 0 11 Determinar α β γ de modo que a equacao αx2y2βxy6x8yγ 0 represente uma circunferˆencia de raio 6 12 Determine a equacao da reta que passa pelo centro da circunferˆencia de equacao 2x2 2y2 4x1 0 e e perpendicular a reta da equacao x 2y 1 0 13 As circunferˆencias de equacao x2 y2 6x 2y 6 0 x2 y2 8x 4y 10 0 interceptamse nos pontos A e B Determinar a distˆancia do centro da circunferˆencia de maior raio a reta AB 14 O eixo maior e a distˆancia focal de uma elipse medem respectivamente 10cm e 6cm e seu centro e o ponto 4 2 Se o eixo menor e paralelo ao eixo ordenado Ox escreva a equacao reduzida dessa elipse 15 Determinar as coordenadas dos focos da hiperbole cuja equacao e 9y2 16x2 144 16 Achar as coordenadas do foco F e a equacao da diretriz da parabola y2 8x 17 Dada a parabola de equacao x y2 6y 8 determinar as coordenadas do vertice e a distˆancia do foco F ate a diretriz d 18 Caracterizar as cˆonicas a seguir ou seja classificar em elipse hiperbole ou parabola e esbocar o grafico a 9x2 16y2 90x 160y 481 0 b x 1 4y2 1 2y 5 4 c 4x2 y2 32x 8y 52 0 19 Determinar a interseccao da circunferˆencia x2 y2 17 com a hiperbole x2 y2 1 20 Obter as retas tangentes a hiperbole x2 y2 1 que sao paralelas a reta y 2x 21 Obter as retas tangentes a elipse 4x2 9y2 36 que passam por P7 2 Questao 01 i Coeficiente angular da reta que contém o vetor CA ee CA 89 oe CA 3 ii Lado do quadrado ICA 12 12 610 V136 234 12V17 iti Versor que forma um angulo de 45 com CA a CA CAcos 45 2 i 610 2V34 ve u 610 2V17 Se u xy 624 10y2V17 345yV17 2 J17 5 25x 9a 6aV17 17 25 0 342 62V17 8 0 A36176417 10017 6V17 10V17 a Mey v t 3 34CCS Vit 417 417 V17 Ul a7 it 2 VvI7 4v17 U2 17 17 iv Supondo que ui tenha mesma diregaéo de ABe que tu tenha mesma diregao de AD temos BClim 23 2VI7 95 a B 10 1 DCli 23 2V17 4H aff D05 1 A B Up UL cl Figure 1 Representacao grafica Questao 02 i Calculo do angulo A AB 250 AC 16 12 AB AC ABAC cos A 4 3 400 2520cosA cosA 5 tan A 1 it Calculando o angulo entre a bissetriz e a reta que contém AB A tan tan an an 5 2tan 4 2tand tan A 2 1 tan 4 1 tan 6 33tan6 8tand 3tan08tand30 810 A64449100 tan 1 tané 3 ou tan 3 Como A é um angulo agudo temos tan 4 0 logo 1 tané an 3 2 iti Coeficiente angular da reta que contém AB 55 MAB 0 AB 15 10 iv Coeficiente angular da reta bissetriz é igual a tan 0 pois AB é paralelo ao e1xO 1 m 3 v Reta bissetriz sabendo que A pertence a essa reta 1 yo x 85 103y415 y 3 rl0 ut Y 33 vi Reta que contém BC T5y7 y7 4 615 6 6 3 4 45 3y 214e 24 3 y 4 3 3 vit Interseccao das retas y 33 yF9 Sendo H o ponto de encontro 5 AH 10 eT EEN Figure 2 Representacao grafica Questao 03 i Se os pontos sao colineares entao o seguinte determinante é nulo 3 1 a 2a1 1 al 2a1 fa 1 a2 2a3 fa a12a3a2a12a1a2a12a12a1a2a2a3 fa 2a75a34 2a a2a3a22a a12a5a22a73a fa 0 VaeER Dessa forma os pontos sao colineares independente de a Questao 04 i Coeficiente angular da reta 3 1 3 37 4y20 y x y y a 9 m4 1 it A reta que contém o cateto AC é perpendicular 4 reta anterior logo 4 Mmym1 m2 3 iii Encontrando a reta 4 yt2 1247 3y6 3 23 Boyt 4x 3y 60 Questao 05 i Para o triangulo existir os pontos nao podem ser colineares Assim 1 0 a 1 a 440 1 1 2 2aaa7440 a 3a440 a4deal it Logo o triangulo ABC ira existir Va R 1 4 Questao 06 4 i Para que isso ocorraos coeficientes de x y e o termo independente devem ser iguais x2y2a0 2x 2ya0 ax y30 Somando as duas primeiras equacoes 34 3a0 2ra Fazendo a 2 equacao menos 2 vezes a 3 22ax6a0 22aa6a0 2a a60 3 2 Questao 07 2m 1la13my10 a ym2zx 4 3y 1 1 wry r3ey2 2x 3y 0 O ponto P 3 2 sempre vai pertencer a reta Questao 08 Sabendo que y 22 d 42743 22 16 9 9 10a 5 xl Dessa forma os pontos A 12 e B 12 Questao 09 5 l 1 1 4 A 3 1 3 2 1 2 y 20 By248124y 20 2y6 10y3 y13 0uy7 Questao 10 i Centro da circunferéncia C 3 2 it Coeficiente angular da reta m1l1 ml1 iit Calculando a reta 2 1 rtty50 z3 Questao 11 ax y Bry 6r8yy0 B0ea1 a 6a 9 y 8y 16 169y Questao 12 i Centro da circunferéncia Qn 4 2y4410 2x 2241 4 2y142 1 1y 3 C 10 6 it Coeficiente angular da reta 1 l 2 m 3 m iit CAlculo da reta 94 2a4y20 xr1 Questao 13 i Centros e raios das circunferéncias x y 6x 2y60 a 6294 y2y164941 a y 84y100 a 824 164 y 4y 4 104 1644 2 3 y1 2 Ci 31e Ri 2 2 4 y 2 V10 4 Cy 42 e Ro V10 ii Intersecgao entre as circunferéncias xy 6a 2y60 xy 8 4y100 Subtraindo as equacoes 2xr2y40 y22 x 4 y2 10 x 4 22 2 10 a 8r1627100 a 4r30 xlour3 Logo A 11 e B 31 iti Reta AB 11 yl o 20 13 21 9 iv Distancia de C2 a reta 7 d 4 2 2 1 1 d 2 2 Questao 14 i a2 b2 c2 52 b2 32 b 4 ii Equacao da elipse x x02 b2 y y02 a2 1 x 42 16 y 22 25 1 Questao 15 i y2 16 x2 9 1 ii c2 a2 b2 16 9 c 5 iii A reta que une os focos e paralela ao eixo Oy logo F1 0 5 e F2 5 0 Questao 16 y2 8x 2px p 4 Sabemos que F p 2 0 e d x p 2 8 Logo F 2 0 e d x 2 Questao 17 i x y2 6y 8 y 32 1 y 32 x 1 Vertice V 1 3 ii Calculo da distˆancia d p 1 2 d 1 2 Questao 18 a 9x2 16y2 90x 160y 481 0 9x2 10x 25 16y2 10y 25 481 225 400 9x 52 16y 52 144 x 52 16 y 52 9 1 Elipse 9 Figure 3 Elipse b 4x y2 2y 5 y2 2y 1 4 y 12 4x 1 Parabola Figure 4 Parabola c 4x2 y2 32x 8y 52 0 4x2 8x 16 y2 8y 16 52 64 16 10 y4 4 4 1 Hipérbole 9 8 eq 6 5 3 2 1 0 1 3 4 5 6 7 2 Figure 5 Hipérbole Questao 19 xy 17 or y Somando as equacoes de 18 5 y 172 1798 y42V2 Logo os pontos de interseccao sao 322 3 2V2 32V2 e Questao 20 i Coeficiente angular da reta 11 dy dx m it Reta tangente obtida por meio de derivada d Qe 2y 0 wy 0 dx v 2y 2yy1 3y1 v3 23 4 e740 y 3 62 3 a 10 2v3 v3 iit 1 caso 2 y 4 2 ye aA eS Ty y 2x V3 sy 90 2v3 v3 iv 2 caso xy 243 8 v3 y UT 2V3 crs TQ y 24 V3 12 4 9 rf hip Figure 6 Representacao grafica Questao 21 i Reta que passa por P 7 2 y2 y 27 m y mea m it Interseccao da reta com a elipse y maz 27m Ax 9y 36 4x 9ma 7m 2 36 4a 9m7a 49m 4 4max 28m 14m 36 9m 4a 126m 36ma 441m 252m 0 Como a reta é tangente a raiz da equacao é unica logo A0 m126m 36 4m9m 4441m 252 0 m15876m 9072m 1296m 15876m 9072m 7056m 4032 0 7 m4032 5760m 0 mJoum7 iit 12 caso m 0 13 r1 y 2 iv 2º caso m 7 10 r2 y 7x 10 29 10 Figure 7 Representacao grafica 14