Lista 5 Resolvida- Equações Olinômios e Inequações-2022 2

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciˆencias Fısicas e Matematicas Departamento de Matematica MTM3412 Laboratorio de Matematica II Lista 5 Unidade 3 Equacoes Polinˆomios e Inequacoes Profa Luciane Inˆes Assmann Schuh 1 Determine p e q reais tais que xx 1x 2x 3 1 x2 px q2 Indique p2 q2 2 Um polinˆomio Px x3 ax2 bx c satisfaz as seguintes condicoes P1 0 e Px Px 0 para todo x real Qual e o valor de P2 3 Sejam fx x2 bx 2 e gx a 3x2 6x c Determine condicoes sobre os valores de a b e c a fim de que a fx gx seja um polinˆomio nulo b gx fx 3x2 9x 5 c fxgx tenha grau 3 4 Determine b e c de modo que o polinˆomio px x4 x2 bx c seja divisıvel por d1x x 2 mas quando dividido por d2x x 2 deixe resto igual a 4 5 Sendo 8 e 6 os restos respectivos da divisao de um polinˆomio Px por x5 e x3 pedese determinar o resto da divisao de Px pelo produto x 5x 3 6 Mostrar que se a soma dos coeficientes de um polinˆomio P de grau n for nula entao P e divisıvel por x 1 7 Provar que Px x 22n x 1n 1 e divisıvel por x2 3x 2 n N 8 O resto da divisao do polinˆomio fx 5x2 3x 2 pelo polinˆomio gx e 12x 7 Sabendose que o quociente e 5 determine gx 9 Se um fator do polinˆomio fx x3 5x2 7x 2 e gx x2 3x 1 qual e o outro fator 10 Se os numeros 3 a b sao solucoes da equacao x3 5x2 2x 24 0 qual o valor de a b 11 Se a e b sao respectivamente a maior e a menor das raızes de x4 10x2 9 0 qual e o valor de a b 12 Dadas as equacoes x2 x 1 0 e x3 1 0 indique as afirmacaos verdadeiras a Apenas uma das raızes de x2 x 1 0 satisfaz x3 1 0 b A soma das raızes de x2 x 1 0 satisfaz x3 1 0 c As raızes da equacao x2 x 1 0 satisfazem x3 1 0 d As raızes da equacao x2 x 1 0 nao satisfazem x3 1 0 13 Em relacao ao polinˆomio px x 12x2 1 qual e a multiplicidade da raiz 1 14 Quais os valores de p e q reais para os quais a equacao x3 3 2x2 px q 0 admite uma raiz de multiplicidade trˆes Determine p e q reais tais que xx 1x 2x 3 1 x² px q² Indique p² q² Sendo assim p² q² 1² 3² Um polinômio Px x³ ax² bx c satisfaz as seguintes condições P1 0 e Px Px 0 para todo x real Qual é o valor de P2 Determine b e c de modo que o polinômio px x4 x2 bx c seja divisível por d1x x 2 mas quando dividido por d2x x 2 deixe resto igual a 4 Sendo 8 e 6 os restos respectivos da divisão de um polinômio Px por x 5 e x 3 pedese determinar o resto da divisão de Px pelo produto x 5x 3 Provar que Px x 2²ⁿ x 1ⁿ 1 é divisível por x² 3x 2 n ℕ Fatorando x² 3x 2 x 1x 2 Portanto devemos mostrar que x 1Px P1 0 x 2Px P2 0 Temos P1 12²ⁿ 11ⁿ 1 P1 1²ⁿ 1 P1 1 1 P1 0 x 1 é fator de Px P2 22²ⁿ 21ⁿ 1 P2 1ⁿ 1 P2 1 1 P2 0 x 2 é fator de Px Se os números 3 a b são soluções da equação x³ 5x² 2x 24 0 qual o valor de a b x⁴ 10x² 9 0 Em relação ao polinômio px x 1²x² 1 qual é a multiplicidade da raiz 1 Fatorando px temos px x 1²x 1x 1 px x 1³x 1 Raiz 1 Portanto a raiz 1 tem multiplicidade 3 Para que uma equação de grau 3 tenha raiz de multiplicidade 3 a soma das raízes deve ser o triplo da raiz ou seja Soma 213 231 6 Seja r a raiz temos 3r 6 r 2 Além disso a função deve ser um cubo perfeito x 2³ x³ 6x² 12x 8 13x 2³ x³3 2x² 4x 83 comparando com a eq original p 4 q 83