Lista 2 10 - Derivadas de Ordens Superiores com Resposta-2022 1

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciˆencias Fısicas e Matematicas Departamento de Matematica Calculo 1 MTM3101 e MTM3110 Lista 210 Derivadas de ordens superiores Ultima atualizacao 25 de maio de 2022 Exercıcios Principais P1 Nos itens abaixo calcule a derivada ate a ordem n indicada a fx 3x4 2x n 5 b fx ax3 bx2 cx d n 3 c fx 3 2x2 4x5 n 10 d fx 1 x 1 n 4 e fx e2x1 n 2 f fx 1 ex n 4 g fx senax n 7 P2 Mostre que se fx eax entao f nx aneax P3 A equacao do movimento de um objeto e dada por st 2t3 3t2 12t t 0 em que s esta em metros e t em segundos a Determine a velocidade vt em ms b Determine a aceleracao at em ms2 c Determine a aceleracao no instante t 1 s d Determine a aceleracao nos instantes em que a velocidade e igual a 0 P4 Encontre os valores de λ para os quais y eλx satisfaz a equacao y 3y 2y 0 P5 Encontre b 0 para que yx e6x cosbx seja solucao da equacao diferencial y 12y 45y 0 P6 Determine A B C R para que a funcao yx Ax2 Bx C seja solucao da equacao diferencial 3y 8y 4y 2x2 3x Observacao Nos proximos exercıcios vocˆe vai aplicar as leis fısicas para encontrar equacoes de movimento em situacoes comuns na Fısica Caso vocˆe nao saiba fazer consulte os gabaritos iniciais P7 Movimento retilıneo uniforme O movimento retilıneo uniforme MRU e caracterizado por um movimento que nao possui aceleracao em outras palavras at 0 Fixando condicoes iniciais s0 s0 e v0 v0 essa situacao e matematicamente resumida por determine a funcao st que satisfaz st 0 s0 s0 s0 v0 1 a Mostre que para quaisquer nimeros A e B a fungao st A Bt satisfaz st 0 b Mostre que para st A Bt satisfazer s0 so e s0 vo entao st so vot c Determine vt para a funcgao obtida no item anterior para confirmar que em um movimento em que a aceleracao é igual a 0 a velocidade é constante P8 Movimento retilineo uniformemente variado O movimento retilineo uniformemente variado MRUV é caracterizado por uma aceleracao constante isto é at a Atribua as condicoes iniciais s0 59 e u0 vo a Mostre que essa situagaéo pode ser descrita por encontrar uma fungao st que satisfaz st a s0 So s0 vo b Mostre que para quaisquer nimeros A e B a funcdo st A Bt sat satisfaz st a c Mostre que para st ABt Jat satisfazer s0 so e s0 vo entao st so uotZat d Mostre que vt vp at P9 Considere um movimento em que a aceleragao é dada por at ao kt e atribua as condicdes iniciais s0 so e v0 vo a Mostre que essa situagaéo pode ser descrita por encontrar uma fungao st que satisfaz st ao Kt s0 So s0 vo b Mostre que para quaisquer niimeros A e B a fungdo st A Bt Saot Zkt satistaz st do kt c Mostre que para st A Bt 5aot ékt satisfazer s0 so e s0 vo entao st So Uot Zaot Zkt d Mostre que vt vp aot 5kt Exercicios Complementares C1 Determine a derivada de ordem 100 das funcgoes abaixo a fx senz b fx cosa C2 Mostre que y e cosx satisfaz a equacao y 2y 2y 0 C3 Um cabo pendurado entre dois postes toma a forma de uma curva que é o grafico de uma funcao yx que satisfaz a equacao diferencial y p9 fy dv dx TT dx em que p é a densidade linear massa por unidade de comprimento do cabo g é a aceleragao da T x gravidade e T é a tensao do cabo no ponto mais baixo Mostre que a fungao yx cosh Pg é uma solugao da equacao diferencial acima 2 C4 Queda livre com resisténcia do ar Considere um objeto de massa m que é largado em queda livre numa situacgao em que a forca de resisténcia que o ar oferece é diretamente proporcional a velocidade do objeto com constante de proporcionalidade k a Coloque a origem do eixo de coordenadas na posigao inicial do objeto e com sentido positivo na direcéo do movimento Use a segunda lei de Newton para concluir que mat mg kvt b Mostre que essa situacao pode ser descrita por encontrar uma fungéo st que satisfaz ms t mg kst s0 0 s0 0 c Mostre que para quaisquer numeros A e B a fungao st Aem B t satisfaz a equagao ms t mg kst ht mg i 2 d Mostre que para st Aem B 4t satisfazer s0 0 e s0 0 entao st at a2 1 eE m m kt e Mostre que ut 441 e7 C5 Sistema massamola ideal Considere um sistema massamola sem atrito em que a massa do sistema é me aconstante de elasticidade da mola é k a Coloque a origem do eixo de coordenadas na posicao de repouso do sistema e use a segunda lei de Newton e a lei de Hooke para para concluir que mat kst b Assuma posicao inicial e velocidade inicial so so e vp respectivamente e mostre que essa situacgao pode ser descrita por encontrar uma fungao st que satisfaz ms t kst s0 So s0 vo c Mostre que para quaisquer nimeros A e B a funcao st Acoswt Bsenwt satisfaz ms t kst em que w Ve d Mostre que para st Acoswt Bsenwt satisfazer s0 so e s0 vo entao st So coswt 2 senwt e Mostre que ut vg coswt sow senwt f Determine st para so 0 e vo 0 Interprete o resultado fisicamente g Determine st para so L 0e vp 0 Interprete o resultado fisicamente 3 Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciˆencias Fısicas e Matematicas Departamento de Matematica Calculo 1 MTM3101 e MTM3110 Gabarito parcial da Lista 210 Derivadas de ordens superiores Ultima atualizacao 25 de maio de 2022 Exercıcios Principais P1 a f x 12x3 2 f x 36x2 f 3x 72x f 4x 72 f 5x 0 b f x 3ax2 2bx c f x 6ax 2b f 3x 6a c f x 4x20x4 f x 480x3 f 3 240x2 f 4x 480x f 5x 480 f kx 0 para k 6 d f x 1 x 12 f x 2 x 13 f 3x 6 x 14 f 4x 24 x 15 e f x 2e2x1 f x 4e2x1 f f x 1 ex f x 1 ex f 3x 1 ex f 4x 1 ex g f x a cosax f x a2 senax f 3x a3 cosax f 4x a4 senax f 5x a5 cosax f 6x a6 senax f 7x a7 cosax P2 P3 a vt 6t2 6t 12 ms b at 12t 6 ms2 c a1 6 ms2 d a2 18 ms2 P4 λ 1 ou λ 2 P5 b 3 P6 A 1 2 B 11 4 e C 19 4 P7 a st B e st 0 b Como s0 A s0 e s0 B v0 entao st s0 v0t c vt st v0 indicando que a velocidade e igual a velocidade inicial em todo o movimento P8 1 a Basta lembrar que a aceleracao é a derivada segunda de s b st Bate st a c Como s0 A 59 e s0 B wp entao st so uot Sat d vt st v at P9 a Basta lembrar que a aceleracao é a derivada segunda de s b st B aot kt e st ag kt c Como s0 A 9 e s0 B v9 entiao st so vot Zaot Zkt 142 d vt st vp aot 5kt Exercicios Complementares C1 a fx sen 2 b fx cosa C2 y cosx senxe e y 2e senx Assim y 2y 2y 2e sen x 2cosx sen xre 2e cosx 0 C3 C4 a A segunda lei de Newton nos diz que para cada instante de tempo ft a forca resultante que atua no objeto é igual ao produto de sua massa que é constante pela aceleracao isto é Ft mat para cada t Assim devemos descrever as forgas que atuam sobre 0 objeto em um instante de tempo genérico t Durante o movimento do objeto duas forgas atuam 1 a forga peso que é constante durante todo o movimento possui médulo igual a mg e aponta para baixo como usamos o sentido para baixo como positivo entaéo usaremos mg em nossas contas e 2 a forcga de resisténcia do ar que tende a frear 0 objeto tem mdédulo kvt essa informacao foi passada no enunciado e tem sentido para cima portanto usaremos kvut em nossas contas Com isso a forga resultante é Ft mg kvt Usando a segunda lei de Newton obtemos mat Ft mg kvt Essa equagao junto com as condig6es iniciais tem o poder de descrever todo o movimento asta substituir aceleragao por derivada segunda da posicao velocidade por derivada primeira b Basta substitui leraca derivad da d iga locidad derivada primei da posicgao e observar que segundo o enunciado o objeto é largado indicando que a velocidade inicial é 0 c st Ak emi 2 e st Ae eo Assim Ak Ak nt mg kst mgk Ses mt en ms t m k m d Como s0 AB0es0 44 2 0 entao A ma eB mg Substituindo em st obtemos st 44t ma1 em m kt e vt st 720 e 2 C5 a Assumindo que o sistema esta sobre uma superficie em que a forcga peso e a normal se cancelam entao em um instante de tempo qualquer do movimento do sistema apenas a forca eldstica da mola atua lembre que estamos desconsiderando o atrito Pela lei de Hooke a forga exercida pela mola mola ideal com deformacao dentro da regiao em que a lei de Hooke se aplica é proporcional a deformagao da mola de médulo kst Como essa forcga atua sempre em sentido contrario 4 posicaéo mola contraida posigéo negativa e forca positiva mola estendida posigao positiva e forca negativa entao a forca resultante do sistema é Ft kst Agora aplicando a segunda lei de Newton obtemos mat Ft kst b Basta substituir a aceleracdo pela derivada segunda da posigao c st Awsenwt Bw coswt e st Aw coswt Bw coswt Observe que w J e portanto mw k Assim ms t m Aw coswt Bw coswt mw A coswt B coswt kst d Como s0 A so e 80 Bw vp entao st so coswt senwt e vt st up coswt sow senwt f st 0 Em um sistema massamola em que a posicao inicial é a de repouso da mola e o sistema esta parado entao continuara parado pois nao ha forcas atuando g st Lcoswt A posigao inicial indica que a mola foi esticada até a posicao L e a equacao de movimento indica que o sistema oscilara entre as posicdes L e L indefinidamente 3