Lista 3 7 - Concavidade e Pontos de Inflexão com Resposta-2022 1

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciˆencias Fısicas e Matematicas Departamento de Matematica Calculo 1 MTM3101 e MTM3110 Lista 37 Concavidade e pontos de inflexao Ultima atualizacao 22 de junho de 2022 Exercıcios Principais P1 Nos itens abaixo dado o grafico da funcao h determine as concavidades e os pontos de inflexao Caso algum ponto necessario nao esteja explicitamente marcado na figura dˆe um nome a esse ponto e escreva sua resposta utilizandoo a 1 1 x y b a b c d e f g x y c a b c d e f x y d a b c d e x y P2 Determinar as concavidades e os pontos de inflexao das funcoes abaixo a fx 3x 5 b fx 3x2 12x 5 1 c fx x3 3x 1 d fx x4 e fx 3x4 4x3 12x2 1 f fx x 1 x g fx x x2 x 1 h fx x 3x i fx 2 cos x sen 2x j fx x 2 arctg x k fx xex2 l fx lnx2 x 1 P3 Um economista anunciou que os juros estao crescendo mas a uma taxa decrescente Interprete essa afirmacao em termos de derivadas 2 Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciˆencias Fısicas e Matematicas Departamento de Matematica Calculo 1 MTM3101 e MTM3110 Gabarito da Lista 37 Concavidade e pontos de inflexao Ultima atualizacao 22 de junho de 2022 Exercıcios Principais P1 a Os pontos de inflexao estao proximos de 1 1 e 3 vamos chamalos de a b e c respectivamente h e convexa em a b e c h e cˆoncava em a e b c b O unico ponto de inflexao e e h e convexa em e g h e cˆoncava em a b e b e Observe que mesmo sendo cˆoncava em a b e b e h nao e cˆoncava em a e c Nao ha pontos de inflexao em definicoes que nao exigem nem continuidade para poder classificar pontos de inflexao terıamos um ponto de inflexao em c pois e cˆoncava a esquerda e convexa a direita de c h e convexa em c e e e f h e cˆoncava em a b e b c d Nao ha pontos de inflexao em definicoes que nao exigem nem continuidade para poder classificar pontos de inflexao terıamos um ponto de inflexao em b pois e convexa a esquerda e cˆoncava a direita de b h e convexa em a b h e cˆoncava em b d Em d e o grafico de h e uma linha reta nesses casos e comum dizer que h nao possui concavidade neste intervalo P2 a Sem concavidades definidas e sem pontos de inflexao b Convexa em R e sem pontos de inflexao c Convexa em 0 cˆoncava em 0 e ponto de inflexao em 0 d Convexa em R e sem pontos de inflexao e Convexa em 1 7 3 e 1 7 3 cˆoncava em 1 7 3 1 7 3 e pontos de inflexao em 1 7 3 e 1 7 3 f Convexa em 0 cˆoncava em 0 e sem pontos de inflexao g Ao calcular a derivada segunda de f e apos simplificar as contas obtemos f x 2x3 3x 1 x2 x 13 Fazer a analise de sinal dessa funcao nao e uma tarefa simples Com o auxılio de um software descobrimos que f x 0 em x1 18794 x2 03473 e x3 15321 que f x 0 em x1 x2 e x3 e que f x 0 em x1 e x2 x3 De posse desses resultados con cluımos que f e convexa em x1 x2 e x3 cˆoncava em x1 e x2 x3 e com pontos de inflexao em x1 x2 e x3 h Convexa em 0 cˆoncava em 0 e sem pontos de inflexao 1 i Este exercıcio tambem nao e tao facil de resolver na mao Vocˆe precisa saber resolver equa coes e inequacoes trigonometricas Caso vocˆe tenha dificuldade com esse conteudo procure as videoaulas de Precalculo em nosso material complementar f e convexa em todos os interva los da forma π2 2kπ π arcsen14 2kπ e 3π2 2kπ 2π arcsen14 2kπ em que k Z f e cˆoncava em todos os intervalos da forma arcsen14 2kπ π2 2kπ e π arcsen14 2kπ 3π2 2kπ em que k Z Os pontos de inflexao sao todos os pontos da forma π2 kπ π arcsen14 2kπ e arcsen14 2kπ em que k Z Observe os grafico de f f e f abaixo 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 0 j Convexa em 0 cˆoncava em 0 e ponto de inflexao em 0 k Convexa em 4 cˆoncava em 4 e ponto de inflexao em 4 l Convexa em 31 2 31 2 cˆoncava em 31 2 e 31 2 e pontos de inflexao em 3 1 2 e 3 1 2 P3 Seja It a funcao que mede os juros em funcao do tempo Dizer que I esta crescendo e o mesmo que dizer que It 0 Dizer que a taxa de crescimento e decrescente e o mesmo que dizer que It e decrescente que por sua vez quer dizer que It 0 2