Lista 4 2 - Primitivas com Resposta-2022 1

Universidade Federal de Santa Catarina Ze 2 Centro de Ciéncias Fisicas e Matematicas MTM UFSC Departamento de Matematica Calculo 1 MTM3101 e MTM3110 Lista 42 Primitivas Ultima atualizacdo 22 de junho de 2022 P1 Seja F uma fungao cuja derivada é f Explique primitiva primitiva geral e integral indefinida usando Fe f P2 Seja f uma funcaéo Explique primitiva primitiva geral e integral indefinida usando f e f P3 Considere a funcao fx 2 x 7 a Encontre trés primitivas diferentes para f b Encontre uma primitiva geral para f c Encontre uma primitiva F para f que satisfaz F3 5 P4 Lembrando do que fizemos na lista Derivada da funao inversa encontre uma primitiva para as funcoes abaixo a fx arcsenz b fx arctg 2 c fx VR x em que R 0 esta fixado P5 Escreva o exercicio anterior usando a notacao de integral indefinida P6 Assim como fizemos com derivadas construiremos uma tabela de integrais indefinidas Teremos algumas integrais imediatas propriedades e regras de integracao Sem querer assustar muito pesquise por tabela de integrais para ver um pouco do que aprenderemos nas proximas semanas Abaixo estao nossos primeiros itens conhecidos grt i rae kxC k constante ii fe dx nad C n1 n eee dx dx iii InjzC iv arctgrC v Jeawe4e vi foa 0 aOeaFl na vii sons dx cosxC viii cosas senxC ix se xdxtgxC x cossee xdx cotgrC xi sx xtgxdz secxC xii corse x cotgxdx cossecx C xiii de C xiv Rioja kf feae x arcsen xiv V1l 2x x file 9ede pleae foayae Govt ta gleae f Aloar f gx ae 1 Antes de usar os itens vamos entendeélos a Como verificar se as integrais imediatas da tabela estao corretas Mais geralmente como testar se uma integral indefinida esta correta b Os itens iii iv e xiii tém uma notagéo estranha Essas notagoes sao feitas usando dx como se fosse algo que multiplica a fungao dentro da integral Reescreva esses itens na notagao usual com a fungao seguida do dz c Seguindo a mesma ideia do item anterior como seriam as duas possiveis notagoes para a integral da fungao constante igual a 1 d Verifique que os itens i a xiii exceto o item iii estao corretos isto é calcule a derivada do resultado e verifique que é igual a funcao que esta dentro da integral e Explique as restrigdes para n e a dos itens ii e vi 1 f Vocé viu no estudo de derivadas que a derivada de Inx é De acordo com o que vimos entao x 1 a integral de deveria ser In Como vocé justifica a presenga do médulo no item iii x g Os itens xiv xv e xvi nao nos dao integrais imediatas sao propriedades que usamos durante o calculo de uma integral Basicamente elas nos dizem que escalares podem sair de dentro da integral que a integral da soma é a soma das integrais e que a integral da diferenga é a diferenca das integrais Diga se ha algo de errado no calculo abaixo e justifique por que a constante ao final ficou 4C e nao apenas C 73 or dx x ax f 2az 3 fo dxt 2dz 3 5 c 424C 2 2240 P7 Utilize a tabela do exercicio acima para calcular as integrais indefinidas abaixo a Je 2x 4 dz b Jo 8x 16x dz c oe Vx x dx d Jo x22 2 dx 4 3 2 sec x e G33 dx f een Se0s0 dx c 2 Vx 7 3 x z1 x 2 g Kc 4e 32 da h a v ae 22 3 i dr j dz 0 0 fie 1 22 P8 Use o item i do exercicio anterior para resolver a equacao diferencial yx Te com a condicao x inicial y1 10 P9 Seja f uma funcao que satisfaz fx 1 cosx Determine a versio mais geral possivel para f P10 Seja f R R uma fungao integravel Determine b R sabendo que te dx 30 barctgx 2x C e que f1 5 2 Universidade Federal de Santa Catarina Ze 2 Centro de Ciéncias Fisicas e Matematicas MTM UFSC Departamento de Matematica CAlculo 1 MTM3101 e MTM3110 Gabarito da Lista 42 Primitivas Ultima atualizacdo 22 de junho de 2022 P1 F é uma primitiva de f Assumindo que estamos trabalhando em um dominio que é um intervalo entao FxC em que C é uma constante representa todas as possiveis primitivas de f cada valor de C diferente dé origem a uma primitiva diferente A integral indefinida de f é uma primitiva genérica isto 6 fxdx Fx C Note que o resultado da integral indefinida é uma fungao ou uma familia de fungdes se pensarmos para cada C diferente enquanto o da integral definida é um numero P2 f é uma primitiva de f Assumindo que estamos trabalhando em um dominio que é um intervalo entao fxzC em que C é uma constante representa todas as possiveis primitivas de f cada valor de C diferente da origem a uma primitiva diferente A integral indefinida de f é uma primitiva genérica isto 6 f fxdx fx C P3 a Ha infinitas primitivas possiveis Trés delas sao 3 2 3 2 3 2 ue ue ue FE 47zx F 47rle F 7r42 1 x 3 5 Tt x Fx 3 5 Tt x1e F3x 3 5 Tt x 3 2 ue b Fx gg tere 3 2 x x Al c Fa 4 7x4 F S45 P4 a Fx xarcsenz V1 2 1 b Fx rarctg x 5 In1 2 1 x c Fx 3 e aresen aR w Olhando para as respostas desse exercicio fica evi dente que o problema de encontrar primitivas nao é tao simples As que encontramos nesse exercicio foi porque ja tinhamos o resultado pronto la da lista Derivada da funao inversa Nessa lista de exercicio e em varias préximas veremos técnicas para encontrar integrais indefi nidas que basicamente 6 o mesmo que encontrar primitivas Ja alertamos que os métodos sao consideravelmente mais trabalhosos do que os métodos para calcular derivada Além disso nao sao todas as fungoes para as quais é possivel escrever explicitamente uma primitiva e também nao é facil saber quando é posstvel 1 P5 a sresen sede axarcsenx V1 2C l 2 b arctg x dx xarctgx 5 In1 x C 1 x c ve 2dr 3 2 aresen aV R 2 C P6 a Quando te dx Fx C sabemos que F é uma primitiva para f Assim a resposta de uma integral indefinida esta correta quando calculamos a derivada de F e o resultado é f 1 b dx InzC x 1 Joe dx arctg C 1 dr arcsenxC V1l 2 c ldzx ou dx Na ultima notacao interpretase que ha um produto 1 dz que é igual a dz d e A restrigdo para a no item vi é apenas pela construgao da fungao exponencial que so definimos comaeal Jaa restricgao n 1 no item ii primeiro deve ser entendida como uma restricao a propria expressao Como n 1 é um denominador entao nao podemos ter n 1 1 Outra forma de interpretar é que quando queremos integrar devemos procurar por x 1 uma funcao cuja derivada é igual a x e sabemos que tal funcao é 0 logaritmo natural e x nao uma poténcia de x f A explicagao esta em uma andlise de dominios Sejam fx Inz gx In2x e hx Inz Observemos que Domf 000 Domg co 0 e Domh oo 0 U 000 Vamos 1 l 1 calcular a derivada de cada uma delas fx e gx Como Ax fx se x x 2 1 x O0ehz gx se x 0 entao hx Todas possuem a mesma derivada mas como x cada uma tem dominio diferente entaéo suas derivadas sao validas em dominios diferentes Em resumo 1 e A derivada de fx Ina é fx e é valida em Domf 0 00 x 1 e A derivada de gx In2 é gx e é valida em Domg co 0 x 1 e A derivada de hx Inz 6 hx e é valida em Domh o0 0 U 0 00 x 1 1 Se olharmos para a fungado apenas em 0 00 entao Inz é a integral Mas se olharmos em x x todo o seu dominio que é oo 0 U 000 devemos usar a integral que esta definida em todo o seu dominio que é Inz g Dependendo do ponto de vista ha ou nao ha erros no desenvolvimento As tnicas considera coes sao sobre o uso da constante Quando resolvemos uma integral a constante usada nao necessariamente é a mesma usada na outra Assim a rigor deverfamos ter usado 73 3 fords f2ar3 5 01 27 Co 2 Esse seria 0 possivel erro no desenvolvimento Mas quando juntamos todas as constantes que aparecerem de todas as integrais podemos trocar todas elas por uma tinica constante C Entao em desenvolvimentos nos quais vocé separa uma integral em varias menores 6 mais pratico e adequado nao usar a constante nas integrais menores apenas um tinico C ao final conforme desenvolvimento abaixo 3 or 2ar fsiace rdes fardes frar3 2 420 0 a 42040 P7 73 a o 22 Ayav zt act b Jo 82 16x dx x 27 427 C 9 32 3 43 5 95 c wer Ve 24 dx 5 0 x x d fo 222dr ata a2rC 4 3 2 3 e G33 du Alne 55 4vaC 2 t f 2sena 3cosx dz 2cosx 3senxz 0 x z1 x x z1 32 g e 4e 3 2 dr e 4e 75 te n a 3 te x dx 3arctgr x tgrC te x dx 3arctgra4 142 9 2 9 52 D4 i tena 2 cnet 0 3 arcsen x j dz C i 21 2 2 Qx7x 28 P8 yx 4x av 5 73 P9 fr at be cx G7 sens P10 b6 3