Lista 2 9 - Derivada da Função Inversa com Resposta-2022 1

Universidade Federal de Santa Catarina Ze 2 Centro de Ciéncias Fisicas e Matematicas MTM UFSC Departamento de Matematica Calculo 1 MTM3101 e MTM3110 Lista 29 Derivada da funcao inversa Ultima atualizacgao 25 de maio de 2022 P1 Uma nova regra de derivagao foi deduzida nesse tépico a derivada da fungao inversa A tabela da esquerda representa trés formas de escrever a mesma regra apenas em notacoes diferentes A tabela da direita apresenta a derivada das inversas das fungdes seno cosseno e tangente jd com a regra da cadeia embutida PY 5 Fx aresen fx ff Vi Ww uty 4 fz fa u oul x arccos u Lr dx du 1 u t du dx dudx Px aretgu fx 1u Utilize a tabela para determinar a derivada das fungoes abaixo 3x 1 x a x arcsen b x arccos a fo aresen b fe arocos sen3z c x arctg2z d y c fe P arctg2x y e y e arcsen2zr Exercicios Complementares C1 Verifique que d in E arcsen xz V1 arcsen x x C2 Verifique que d 1 xarcte x In1 27 arctez dx 2 C3 Seja y Vz para x 0 Escreva y x e derive implicitamente para confirmar que y De para x 0 Aplique o processo andlogo a funcéo y Inz para x 0 para confirmar que 4 para x0 1 C4 Seja R 0 um ntmero real fixado Mostre que d 1 x 2 arcsen av R 2 VR 2 dx 2 R C5 A derivada da fungao inversa escrita na notacao de Leibniz ultima linha da tabela do exercicio P1 pode confundir um pouco a nossa cabega pois nem aparece uma funcao inversa efetivamente na formula A explicacao para isso é que essa férmula esta adaptada para a situacaéo que normalmente usamos em problemas aplicados Imagine um objeto cuja velocidade em fungao do tempo é dada por ut 5e dv a Calcule a 7 b Isole t e determine tv dt c Calcule c dv dv dt d A resposta do item a para Tt ficou em fungao de t enquanto a resposta do item c para qo v ficou em funcao de v Como sabemos que v e estao relacionados pela fungao do enunciado du dt ou pela resposta ou item b podemos escrever Th em funcao de v e do em funcao de t Use Vv d it fi dt alguma dessas escritas para confirmar que 6 P Ie dw dwdt 2 Universidade Federal de Santa Catarina Ze oY Centro de Ciéncias Fisicas e Matematicas MTM UFSC Departamento de Matematica Calculo 1 MTM3101 e MTM3110 Gabarito parcial da Lista 29 Derivada da fungao inversa Ultima atualizacgao 25 de maio de 2022 Pl 1 x a x V 842 6x41 1 b XL DDW 0 0 Goa c Jv Wwaretg20 x 2x arctg2x7 6 1 42 a y 3 1 16x cos3z arctg4x 4sen3zr ye 1 16x arctg4x 2 e y e 3 arcsen27 aah e y 6 aresen20 a Exercicios Complementares C1 Veja que usando a regra do produto temos d 1 d x arcsen arcsen x x arcsen x dx dx Pela derivada da funcgao inversa temos d 1 arcsen dx V1 2 e portanto 1 z arcsen x arcsen x dx V1 72 Ainda mais d x V1 2 2 dx v V1 x Somando as expressoes em 1 e 2 obtemos o resultado C2 1 C3 C4 C5 a dv dt 10e2t b tv lnv5 2 c dt dv 1 2v d 2