Lista 3 9 - Problemas de Maximização e Minimização com Resposta-2022 1

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciˆencias Fısicas e Matematicas Departamento de Matematica Calculo 1 MTM3101 e MTM3110 Lista 39 Problemas de maximizacao e minimizacao Ultima atualizacao 22 de junho de 2022 Exercıcios Principais P1 Um fabricante de um determinado produto sabe que se x produtos forem produzidos cada um podera ser vendido por 1000 x reais Sabese que o custo de producao de x produtos e de Cx 200x Quantos produtos o fabricante deve produzir para obter um lucro maximo e qual sera o valor desse lucro P2 Encontre o ponto P da curva y 3 x x 0 que esta mais proximo da origem P3 Um fabricante de latas cilındricas de conservas recebe um pedido muito grande de latas com deter minado volume V0 Quais as dimensoes que minimizarao a area total da superfıcie de uma lata como esta e portanto de metal necessario para fabricala P4 Duas partıculas P e Q movemse respectivamente sobre os eixos x e y A funcao de posicao P e x t e a de Q y t2 34 t 0 Determine o instante em que a distˆancia entre P e Q e a menor possıvel P5 Encontre dois numeros positivos cuja soma e 16 e cujo produto e o maximo possıvel P6 Ao preco de R 150 um vendedor pode vender 500 unidades de uma certa mercadoria que custa R 070 cada Para cada centavo que o vendedor abaixa no preco a quantidade vendida aumenta em 25 unidades Que preco de venda maximizara o lucro P7 Um homem lanca seu bote em um ponto A na margem de um rio reto com uma largura de 3 km e deseja atingir tao rapido quanto possıvel um ponto B na outra margem 8 km rio abaixo Ele pode dirigir seu barco para o outro lado de forma perpendicular ao sentido do rio chegando ate um ponto C e entao seguir andando ate B ou remar diretamente para B ou remar ate algum ponto D entre C e B e entao andar ate B Se ele pode remar a 6 kmh e andar a 8 kmh onde ele deveria aportar para atingir B o mais rapido possıvel Estamos supondo que a velocidade da agua e desprezıvel comparada com a velocidade na qual o homem rema P8 Dois produtos A e B sao manufaturados em uma determinada fabrica O custo total de producao e C x2 14y em que x e o numero de maquinas usadas para produzir A e y o numero de maquinas para produzir B Com 5 maquinas em funcionamento determine quantas destas maquinas devem produzir A e quantas B para que o custo total seja mınimo P9 Determine o numero real positivo cuja soma com o inverso do seu quadrado seja mınima P10 Um jardim retangular de 50 m2 de area deve ser protegido contra animais Se um lado do jardim ja esta protegido por uma parede de celeiro quais devem ser as dimensoes do jardim para que o comprimento de cerca usado seja mınimo 1 P11 Um solido sera construıdo acoplandose a um cilindro circular reto de altura h e raio r uma se miesfera de raio r conforme figura abaixo Desejase que a area da superfıcie do solido seja 5π Determine r e h para que o volume do solido seja maximo r h P12 Uma caixa com base quadrada e sem tampa tem um volume de 32000 cm3 Encontre as dimensoes da caixa que minimizam a quantidade de material usado 2 Universidade Federal de Santa Catarina Ze 2 Centro de Ciéncias Fisicas e Matematicas MTM UFSC Departamento de Matematica CAlculo 1 MTM3101 e MTM3110 Gabarito da Lista 39 Problemas de maximizacao e minimizacao Ultima atualizacgao 22 de junho de 2022 P1 Para que o lucro seja maximo o fabricante devera produzir 400 unidades e o valor do lucro sera R 16000000 3 P2 V3 5 LY YK P32 r 42 ce h 20 rr P4 t0 P5 Ambos iguais a 8 P6 R 120 9 P7 O homem deve aportar o bote no ponto Va km aproximadamente 34km rio abaixo a partir do inicio P8 c5 e y0 P9 x v2 P10 10m para a medida que usa o celeiro como um dos lados e 5m para a outra medida Pll r1leh1 P12 Base com lado igual a 40cm e altura 20cm 1