Lista 3 6 - Critérios para Determinar Máximos e Mínimos com Resposta-2022 1

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciˆencias Fısicas e Matematicas Departamento de Matematica Calculo 1 MTM3101 e MTM3110 Lista 36 Criterios para determinar maximos e mınimos Ultima atualizacao 22 de junho de 2022 Exercıcios Principais P1 Nos itens abaixo para a funcao h cujo grafico e mostrado identifique todos os pontos crıticos os valores crıticos e os pontos do domınio nos quais a derivada nao existe a 1 1 x y b a b c d e f g x y c a b c d e f x y d a b c d e x y P2 Em cada item determine os pontos crıticos a fx 3x 5 b fx 3x2 12x 5 1 c fx x3 3x 1 d fx x4 e fx 3x4 4x3 12x2 1 f fx x 1 x g fx x x2 x 1 h fx x 3x i fx 2 cos x sen 2x j fx x 2 arctg x k fx xex2 l fx lnx2 x 1 P3 Determine os pontos crıticos da funcao fx xn1 xm em que m n 0 P4 Considere a funcao fx x2 bx cex Sabese que 1 e o unico ponto crıtico de f Determine b e c P5 Considere a funcao fx x2 bx c Sabese que 3 e ponto crıtico e que 16 e valor crıtico de f Determine b e c P6 Para cada item do exercıcio P2 utilize o criterio da derivada primeira para determinar se esses pontos crıticos sao pontos de maximomınimo locais ou nenhum dos dois P7 Repita o exercıcio acima agora testando os pontos crıticos pelo teste da derivada segunda P8 Em todos os itens abaixo vocˆe ja encontrou os pontos crıticos no exercıcio P2 e ja verificou se sao maximos ou mınimos locais nos exercıcios P6 e P7 Determine o maximomınimo absoluto e os pontos de maximomınimo absoluto nos intervalos considerados a fx 3x 5 2 3 b fx 3x2 12x 5 0 3 c fx x3 3x 1 0 3 d fx x4 2 2 e fx 3x4 4x3 12x2 1 2 3 f fx x 1 x 1 5 4 g fx x x2 x 1 0 3 h fx x 3x 1 4 i fx 2 cos x sen 2x 0 π2 j fx x 2 arctg x 0 4 k fx xex2 3 1 l fx lnx2 x 1 1 1 P9 Encontre dois numeros maiores ou iguais a 0 cuja soma e 16 e cujo produto e o maior possıvel P10 Um empresario deseja abrir uma pequena fabrica Segundo um estudo feito por ele se x funcionarios forem contratados seu lucro Lx anual em reais sera de Lx 90x2 x3 0 x 80 O estudo considera a possibilidade de contratar ate 80 funcionarios Quantos funcionarios devem ser contratados para que o lucro anual seja o maior possıvel E qual o valor desse lucro Exercıcios Complementares C1 Considere a funcao fx x 115x 116 8 a Sejam p1 p2 pn todos os pontos crıticos de f Determine a soma p1 p2 pn b Sejam q1 q2 qm todos os pontos de maximomınimo locais de f Determine a soma q1 q2 qm 2 C2 Um fio de comprimento m e cortado em dois pedacos Com um deles se fara um cırculo e com o outro um quadrado a Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas areas compreendidas pelas figuras seja mınima b Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas areas compreendidas pelas figuras seja maxima 3 Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciˆencias Fısicas e Matematicas Departamento de Matematica Calculo 1 MTM3101 e MTM3110 Gabarito da Lista 36 Criterios para determinar maximos e mınimos Ultima atualizacao 22 de junho de 2022 Exercıcios Principais P1 Neste exercıcio e nos proximos estamos usando que pontos crıticos sao os pontos em que a derivada e igual a 0 Uma outra definicao usada em alguns livros e considerar pontos crıticos os pontos do domınio da funcao em que a derivada e igual a 0 ou a derivada nao existe a Os pontos crıticos sao 2 0 2 e 4 Os numeros crıticos sao h2 h0 h2 e h4 Nao ha pontos nos quais a derivada nao existe b Os pontos crıticos sao c e f Os numeros crıticos sao hc e hf A derivada nao existe em a b e g Observacao Nos pontos a e g existem derivadas laterais a direita e a esquerda respectivamente Dependendo do livro as vezes considerase que a funcao e derivavel nesses pontos pois eles sao os extremos do seu domınio e h e derivavel pelo lado em que e possıvel calcular a derivada c O ponto crıtico e d O numero crıtico e hd A derivada nao existe em b c e e f d O ponto crıtico e c O numero crıtico e hc A derivada nao existe em b e e P2 a Nao ha b 2 c 1 e 1 d 0 e 1 0 e 2 f 1 e 1 g 1 e 1 h 1 3 3 e 1 3 3 i π 6 2kπ 5π 6 2kπ e 3π 2 2kπ em que k Zj 1 e 1 k 2 l 1 2 P3 0 e ponto crıtico se n 1 1 e ponto crıtico se m 1 n n m sempre e ponto crıtico P4 b 0 e c 1 P5 b 6 e c 7 P6 a 1 b 2 e ponto de mınimo local c 1 e ponto de mınimo local e 1 e ponto de maximo local d 0 e ponto de mınimo local e 1 e 2 sao pontos de mınimo locais e 0 e ponto de maximo local f 1 e ponto de mınimo local e 1 e ponto de maximo local g 1 e ponto de mınimo local e 1 e ponto de maximo local h 1 3 3 e ponto de mınimo local e 1 3 3 e ponto de maximo local i Para todo k Z 5π 6 2kπ e ponto de mınimo local e π 6 2kπ e ponto de maximo local Para todo k Z 3π 2 2kπ nao e nem ponto de maximo nem ponto de mınimo j 1 e ponto de mınimo local e 1 e ponto de maximo local k 2 e ponto de mınimo local l 1 2 e ponto de mınimo local P7 As respostas estao no item anterior Mas cabe ressaltar aqui que este metodo seria inconclusivo no item d e tambem nos pontos da forma 3π 2 2kπ no item i P8 a Ponto de mınimo absoluto 2 e mınimo absoluto f2 11 Ponto de maximo absoluto 3 e maximo absoluto f3 4 b Ponto de mınimo absoluto 2 e mınimo absoluto f2 7 Ponto de maximo absoluto 0 e maximo absoluto f0 5 c Ponto de mınimo absoluto 1 e mınimo absoluto f1 1 Ponto de maximo absoluto 3 e maximo absoluto f3 19 d Ponto de mınimo absoluto 0 e mınimo absoluto f0 0 Pontos de maximo absolutos 2 e 2 e maximo absoluto f2 f2 16 e Ponto de mınimo absoluto 2 e mınimo absoluto f2 31 Ponto de maximo absoluto 2 e maximo absoluto f2 33 f Ponto de mınimo absoluto 1 e mınimo absoluto f1 2 Ponto de maximo absoluto 1 5 e maximo absoluto f 1 5 26 5 g Ponto de mınimo absoluto 0 e mınimo absoluto f0 0 Ponto de maximo absoluto 1 e maximo absoluto f1 1 h Ponto de mınimo absoluto 1 3 3 e mınimo absoluto f 1 3 3 2 3 3 Ponto de maximo absoluto 4 e maximo absoluto f4 4 3 4 i Ponto de mınimo absoluto π2 e mınimo absoluto fπ2 0 Ponto de maximo absoluto π6 e maximo absoluto fπ6 3 3 2 j Ponto de mınimo absoluto 1 e mınimo absoluto f1 1 π 2 Ponto de maximo absoluto 4 e maximo absoluto f4 4 2 arctg4 k Ponto de mınimo absoluto 2 e mınimo absoluto f2 2 e Ponto de maximo absoluto 1 e maximo absoluto f1 e12 2 1 1 Ponto de minimo absoluto 3 minimo absoluto f5 In34 Ponto de maximo absoluto 1 e maximo absoluto f1 In3 P9 Ambos iguais a 8 P10 60 funcionarios e o lucro anual serd de R 10800000 Exercicios Complementares C1 a pit pete Pr b a tt4m 10 C2 ys As Mma a Para que a area seja minima o pedaco usado para a circunferéncia deve medir Toa e o pedaco T usado para o quadrado m an 4 7 b Para que a area seja maxima o fio deve ser usado inteiramente para a circunferéncia Vejamos abaixo a resolucao completa desse exercicio Dividimos o fio em duas partes uma de tamanho x que sera usada pra a circunferéncia que x tera um raio r a e outra de tamanho m x que sera usada para o quadrado que tera 1 m2x lado L 7 Assim a soma das areas 4 dada por 2 2 x m x A 2 f pecan me Te 16 a assim A Ax 4 uma fungao de z para 0 x m Aplicaremos o Método do Intervalo Fechado para a fungao Ax Passo 1 Encontrar os pontos criticos de Aa em 0m Temos comet Alx 2 27 8 e assim Ax 0 quando x 7 Como 7 47 segue que eleassim0 4 4 4 m Em outras palavras o ponto critico encontrado esta no intervalo considerado 2 2 m m P 2 T A0 A asso emos A0 16 m me 2 At 4 44 7 1 1 1 m mm Como 47 16 44 7 segue que e portanto 44m segue que 77 7g a oP 444n 16 4m ou seja mr A7 A0 Am Pt A Alm eos ys MT Assim a funcgao Ax tem maximo global em m e minimo global em x a Isto é T e a soma maxima das areas é pegar todo o fio para a circunferéncia 2 m mar e a soma minima das areas é cortar o fio no ponto 7 Toa para fazer a circunferéncia e usar T 4m o restante m x para fazer o quadrado A 7 3