Prova 1 - Cálculo 3 2021-2

Universidade Federal de S˜ao Carlos Departamento de Matem´atica Primeira Prova Escrita de C´alculo 3 (ENPE) Professores Respons´aveis: Edivaldo L. Santos, Marcelo J. D. Nascimento, Bruna O. Okamoto Data: 09/03/2022 Aten¸c˜ao: Todas as quest˜oes devem ser resolvidas com t´ecnicas que vocˆe aprendeu neste curso de C´alculo 3. Respostas sem justificativa n˜ao ser˜ao consideradas. Quest˜ao 01: (2.5 pontos) Calcule a ´area da regi˜ao limitada pelas curvas (x − 1)2 + y2 = 2 (com y ≥ 0), x = √y + 1 e y = −x + 1. Quest˜ao 02: (2.5 pontos) Usando uma mudan¸ca de vari´aveis conveniente, calcule a integral dupla ¨ D (4x + 8y)dxdy, onde D ´e o paralelogramo com v´ertices (−1, 3), (1, −3), (3, −1) e (1, 5). Quest˜ao 03: (2.5 pontos) Calcule ˆ 1 0 ˆ 1 k√y sec2(xk+1)dxdy, onde k ´e um n´umero inteiro maior que ou igual a 1. Quest˜ao 04: (2.5 pontos) Encontre o volume da regi˜ao E delimitada pela esfera x2+y2+z2 = 4 e que est´a dentro do cilindro x2 + y2 = −2x. Boa Prova!