Exercícios - Linearização e Variáveis Desvio - Modelagem e Simulação de Processos 2021-1

Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Modelagem e Simulação de Processos Prof. Jader da Silva Aula 04 – Linearização e variáveis desvio Exercício Um tanque esférico descarrega um líquido através de uma válvula. A altura do nível do líquido no interior do tanque pode ser descrita pela seguinte equação diferencial: dh(t) dt = 1 π (D − h(t))h(t) {qi(t) − CV√h(t)} onde D é diâmetro do tanque, h é altura do nível do líquido, qi é a vazão de entrada e CV é a constante da válvula. Determine o modelo em variáveis desvio na seguinte descrição 𝑑ℎ̂(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑎ℎ̂(𝑡) + 𝑏𝑞̂𝑖(𝑡) Resolução Análise da equação diferencial: dh(t) dt = 1 π (D − h(t))h(t) {qi(t) − CV√h(t)} 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑅 + [𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥 ] 𝑥𝑅 (𝑥 − 𝑥𝑅) + [𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦 ] 𝑦𝑅 (𝑦 − 𝑦𝑅) dh(𝑡) dt = 𝐹(𝑞𝑖, ℎ) = 𝑞𝑖 − 𝐶𝑉√ℎ π (𝐷 − ℎ) h Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Modelagem e Simulação de Processos Prof. Jader da Silva 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑅 + [𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥 ] 𝑥𝑅 (𝑥 − 𝑥𝑅) + [𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦 ] 𝑦𝑅 (𝑦 − 𝑦𝑅) 𝐹(𝑞𝑖, ℎ) ≅ 𝐹𝑅 + 𝜕𝐹(𝑞𝑖, ℎ) 𝜕ℎ | 𝑅 ℎ̂(t) + 𝜕𝐹(𝑞𝑖, ℎ) 𝜕𝑞𝑖 | 𝑅 𝑞̂𝑖(t) 𝐹 ≅ ℎ̂(t) + 𝜕𝐹(𝑞𝑖, ℎ) 𝜕𝑞𝑖 | 𝑅 𝑞̂𝑖(t) 𝑎 = 𝜕𝐹(𝑞𝑖, ℎ) 𝜕ℎ | 𝑅 𝑒 𝑏 = 𝜕𝐹(𝑞𝑖, ℎ) 𝜕𝑞𝑖 | 𝑅 𝐹𝑅 = 𝑞𝑖𝑅 − 𝐶𝑉√ℎ𝑅 π (𝐷 − ℎ𝑅) h𝑅 ∂F ∂qi | R = ∂ ∂qi { qi π (D − h) h} + ∂ ∂qi { −CV√h π (D − h) h} 𝜕𝐹 𝜕𝑞𝑖 | 𝑅 = 1 π (𝐷 − ℎ𝑅) h𝑅 𝜕 𝜕𝑞𝑖 {𝑞𝑖} + 𝜕 𝜕𝑞𝑖 { −C𝑉√ℎ π (𝐷 − ℎ) h} ⏟ = 0 ⏞ Constante em relação a q𝑖 𝜕𝐹 𝜕𝑞𝑖 | 𝑅 = 𝑏 = 1 π (𝐷 − ℎ𝑅) h𝑅 𝜕𝐹 𝜕ℎ| 𝑅 = 𝜕 𝜕ℎ { 𝑞𝑖 − 𝐶𝑉√ℎ π (𝐷 − ℎ) h}| 𝑅 = 𝜕 𝜕ℎ { 𝑞𝑖 π (𝐷 − ℎ) h}| 𝑅 − 𝐶𝑉 𝜕 𝜕ℎ { √ℎ π (𝐷 − ℎ) h}| 𝑅 𝜕𝐹 𝜕ℎ| 𝑅 = {0 × (π (𝐷 − ℎ𝑅) ℎ𝑅) − 𝑞iR × (π D − 2π ℎ𝑅) [π (𝐷 − ℎ𝑅) ℎ𝑅]2 }| 𝑅 − ⋯ 𝒂 = 𝝏𝑭 𝝏𝒉| 𝑹 = {−𝒒iR(π D − 𝟐π 𝒉𝑹) [π (𝑫 − 𝒉𝑹) 𝒉𝑹]𝟐 }| 𝑹 … . . . −𝑪𝑽 𝟏 𝟐 𝟏 √𝒉𝑹 × (π (𝑫 − 𝒉𝑹) 𝒉𝑹) − √𝒉𝑹 × (π D − 𝟐π 𝒉𝑹) [π (𝑫 − 𝒉𝑹) 𝒉𝑹]𝟐 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Modelagem e Simulação de Processos Prof. Jader da Silva No regime estacionário dh(t) dt = 1 π (D − h(t))h(t) {qi(t) − CV√h(t)} 𝑑ℎ(𝑡) 𝑑𝑡 | 𝑅 = 0 = 1 π (D − ℎ𝑅) ℎ𝑅 × {𝑞𝑖𝑅 − CV√ℎ𝑅} Assim, a única possibilidade é que: 𝑞𝑖𝑅 − 𝐶𝑉√ℎ𝑅 = 0 Portanto, a equação diferencial em variáveis desvio é: 𝑑ℎ̂(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜕𝐹 𝜕ℎ| 𝑅 ℎ̂(𝑡) + 𝜕𝐹 𝜕𝑞𝑖 | 𝑅 𝑞̂𝑖(𝑡) ⇒ 𝑑ℎ̂(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜕𝐹 𝜕ℎ| 𝑅 ⏟ 𝑎 ℎ̂(𝑡) + 𝜕𝐹 𝜕𝑞𝑖 | 𝑅 ⏟ 𝑏 𝑞̂𝑖(𝑡) 𝑑ℎ̂(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑎ℎ̂(𝑡) + 𝑏𝑞̂𝑖(𝑡) dh(t) dt = 1 π(D − h(t))h(t) {qi(t) − CV√h(t)} Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Modelagem e Simulação de Processos Prof. Jader da Silva ORIENTAÇÃO/RECOMENDAÇÃO DE ESTUDOS Exemplos resolvidos: 4.6, 4.7 e 4.8. Exercícios: 4.12 e 4.13. Dale E. Seborg, Thomas F. Edgar, Duncan A. Mellichamp. Process Dynamics and Control. 3rd Edition, John Wiley & Sons.